Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350802 писал(а):

Идея была простая - подчеркнуть, что в "волновых уравнениях" производные $i\frac{\partial}{\partial t}$ и $-\frac{\partial^2}{\partial t^}$ в некотором смысле равноправны (ИМХО).

А вот они не совсем равноправны. От второй производной можно перейти к первой (заменяя одно уравнение на систему), а в обратную сторону - не всегда. То есть, тут не биекция, а инъекция.

[Red_Herring]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350802 писал(а):

Идея была простая - подчеркнуть, что в "волновых уравнениях" производные $i\frac{\partial}{\partial t}$ и $-\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ в некотором смысле равноправны

Ух! Ну вот давайте возьмем $i\frac{\partial}{\partial t}\psi -\Delta \psi=0$ и заменим, как Вы сказали:
$-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi -\Delta \psi=0$. Получим не волновое, а эллиптическое уравнение. Смысл уж больно тонкий--постоянно рвется

[Cos(x-pi/2)]

Red_Herring в сообщении #1350829 писал(а):

Ух! Ну вот давайте возьмем $i\frac{\partial}{\partial t}\psi -\Delta \psi=0$ и заменим, как Вы сказали:

Не понимаю, с какой целью Вы мне приписываете такой идиотизм. Я нигде не "сказал" про подобную с очевидностью ошибочную замену (пример же я приводил: там не было подобного "ух!").

Munin в сообщении #1350811 писал(а):

А вот они не совсем равноправны. От второй производной можно перейти к первой (заменяя одно уравнение на систему), а в обратную сторону - не всегда.

А вот когда "нельзя"/"можно", Вы решили здесь не рассказывать, и примера/контрпримера не разбирать. Ну и ладно, ваше право.

(Оффтоп)

О себе. Скорее всего это что-то моё возрастное, а может быть, плюс и сезонное, также может быть, тому есть и внешние причины, но факт: мне стало неприятно продолжать писать на этом форуме. Раньше писал, потому что считал это полезным для топикстартеров, и потому что это доставляло мне немалую радость. Но должен с сожалением признать: я состарился (и быстрее, чем мог предполагать). Самому не хочется в это верить, но... стал стариком, притом обидчивым. Помимо того, что всё хуже и хуже вижу, появились прочие проблемы со здоровьем, и в связи с этим всё меньше остаётся времени на форумную переписку, так теперь я ещё и не радуюсь ей, как раньше, а обижаюсь. Поэтому решил здесь умолкнуть. Извините, если неуместно вклинивался в чьи-то выступления.

Всем всего наилучшего, успехов и творческого удовлетворения.
Синус :-)

[Red_Herring]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350859 писал(а):

Не понимаю, с какой целью Вы мне приписываете такой идиотизм. Я нигде не "сказал" про подобную с очевидностью ошибочную замену (пример же я приводил: там не было подобного "ух!").

Этого идиотизма я не приписывал, но решил свести к абсурду.

Если бы Вы написали, что в некотором контексте у-е Шредингера и волновое уравнение проявляют общие черты, то я бы согласился. Но Ваше утверждение вне контекста может "сбить с пути и панталыку" нетвердые умы.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350859 писал(а):

А вот когда "нельзя"/"можно", Вы решили здесь не рассказывать

А я этого и сам не знаю. Это очень суровая математика, вот пусть господа уровня Red_Herring высказываются, а мне лучше помалкивать. Я только сам факт знаю.

Извините, если это вас обидело.

(Оффтоп)

И насчёт вашего участия на форуме: оно меня в 99 % просто чисто радует. А тут увидел возможность внести поправку и завязать разговор. У меня плохо получилось. Надеюсь, примете с извинениями и такой взгляд со стороны.

Red_Herring в сообщении #1350865 писал(а):

Если бы Вы написали, что в некотором контексте у-е Шредингера и волновое уравнение проявляют общие черты, то я бы согласился.

Вы знаете, физики набираются наглости даже называть уравнение Шрёдингера волновым уравнением :-)

Red_Herring в сообщении #1350829 писал(а):

Ну вот давайте возьмем $i\frac{\partial}{\partial t}\psi -\Delta \psi=0$ и заменим, как Вы сказали

Следуя рецепту Cos(x-pi/2), должно получиться $-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi -\Delta^2\psi=0.$ Тип такого уравнения мне не известен.

-- 01.11.2018 20:12:14 --

(Глупый вопрос: а почему не $-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi-2i\frac{\partial}{\partial t}\Delta\psi+\Delta^2\psi=0$?)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1350899 писал(а):

Тип такого уравнения мне не известен.

Если 1-мерно то будет уравнение колебания упругого стержня.
Если 2-мерно--пластины.
Если 3-мерно, то, очевидно, трехмерной пластины в четырехмерном пространстве.

В любом случае, это неклассические уравнения (равно как и Шредингер).

[Munin]

Red_Herring
Это Шрёдингер-то неклассический? Как-то я сильно разочарован в теории ДУЧП в таком случае.

[g______d]

Munin в сообщении #1350912 писал(а):

Как-то я сильно разочарован в теории ДУЧП в таком случае.

Прямо вот так из-за слова "классические"?

[Munin]

Пожалуй, да.

Я "классические" понимаю как "давным-давно рассмотренные и наиболее понятные".

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1350957 писал(а):

Я "классические" понимаю как "давным-давно рассмотренные и наиболее понятные".

В данном контексте "классические" означает "эллиптические, гиперболические, параболические" (да и то 2го порядка, которые появились 200 лет назад и водят в любые учебники. В конце 19го века Шредингера не знали, а вот $u_{tt}+ u_{xxxx}=0$ было уже известно.

[Munin]

В таком случае, развейте моё недоумение, и подтвердите (или опровергните), что уравнение $iu_t+u_{xx}=0$ не менее изучено на сегодняшний день, чем $u_{tt}+u_{xxxx}=0$ (а хотелось бы, чтобы и чем $u_t+u_{xx}=0,\quad u_{tt}+u_{xx}=0$).

[Red_Herring]

Разумеется $iu_t +u_{xx}=0$ изучено не уже, чем $u_{tt}+u_{xxxx}=0$. Но следует отметить, что существуют тонкие вопросы, тривиальные для одного типа уравнений и трудные для другого.

Например, краевые задачи для уравнения Трикоми $u_{xx}+xu_{yy}=0$ в области, содержащей и точки с $x<0$ и с $х>0$ это болото

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350677 писал(а):

Я не маэстро)), просто подставляю $\psi=\text{Re}\, \psi_1+i\,\text{Im}\, \psi_2$ в уравнение

$i\dfrac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi.$

Получается:

$i\dfrac{\partial \psi_1}{\partial t}-\dfrac{\partial \psi_2}{\partial t}=H \psi_1+iH \psi_2.$

Гамильтониан считаю вещественным (и не зависящим от $t).$ Тогда имеем систему двух связанных вещественных уравнений:

$\dfrac{\partial \psi_1}{\partial t}=H\psi_2,$

$-\dfrac{\partial \psi_2}{\partial t}=H\psi_1.$

Чтобы расцепить уравнения, берём в каждом из них производную по $t$ в левой и правой стороне и выражаем получившиеся под знаком гамильтониана производные первого порядка через правые стороны выписанных выше уравнений. Результат - пара независимых уравнений (притом одинаковых, чего и следовало ожидать):

$\dfrac{\partial^2 \psi_1}{\partial t^2}=-H^2\psi_1,$

$\dfrac{\partial^2 \psi_2}{\partial t^2}=-H^2\psi_2.$

(Решаем всё как обычно - методом разделения переменных $t,\,x.$ Линейно независимые решения: $\psi_1\propto \cos(-Et),$ $\psi_2 \propto \sin(-Et);$ из них собирается обычный комплексный ответ: $\psi(x,t)=\varphi(x)e^{-iEt},$ где $\varphi(x)$ - собственная функция гамильтониана (вещественная): $H\varphi=E\varphi.$)

Кстати, не могли бы Вы просветить меня, как решается полученная система двух ДУ с действительной и мнимой частью для случая, когда гамильтониан действителен, но зависит явно от времени (к примеру, коллапс потенциальной ямы). Мои познания для нестационарного УШ ограничиваются лишь нестационарной теорией возмущения.

[Sicker]

Извините мой французский, а возмущения в волновом пакете для свободной частицы распространяются мгновенно (как следует из функции Грина), или с групповой скоростью?

[pogulyat_vyshel]

ну можно классифицировать Шредингера как гамильтонову систему....... Волновое уравнение тоже гамильтонова система. Вот они и оказались в одном классе