2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение31.10.2018, 18:53 
Аватара пользователя


13/08/13
3745
sinx
Потому что все фундаментальные уравнения физики почему-то второго порядка - Ньютона, Максвелла, Шредингера и т.д.

 i  Eule_A: Отделено от темы «Скорость изменения ускорения».

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение31.10.2018, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70711
Пора два балла ставить. Уравнения Максвелла - первого порядка. Уравнение Шрёдингера - первого порядка по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение31.10.2018, 21:08 
Аватара пользователя


13/08/13
3745
Munin в сообщении #1350623 писал(а):
Пора два балла ставить. Уравнения Максвелла - первого порядка. Уравнение Шрёдингера - первого порядка по времени.

Я имел ввиду, что при решении этой системы вылезают уравнения второго порядка, те же уравнения в потенциалах и т.д. А УШ второго порядка по пространству :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение31.10.2018, 21:17 
Заслуженный участник


29/09/14
914
Sicker в сообщении #1350643 писал(а):
А УШ второго порядка по пространству

Всё равно два балла. Дело в другом: нестационарное у.Ш. - оно первого порядка для комплексной волновой функции, т.е. это система связанных двух уравнений для двух действительных функций (мнимой и действительной части в.ф.). Если же "расцепить" эту систему на два независимых уравнения для обеих действительных функций, то для каждой из них получаются уравнения второго порядка по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70711
Sicker в сообщении #1350643 писал(а):
Я имел ввиду

Не знаете вы физики, а лезете про неё рассуждать, вот что вы имели в виду.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350645 писал(а):
Если же "расцепить" эту систему на два независимых уравнения для обеих действительных функций

Что маэстро конечно тут же и продемонстрирует! Просим!

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 01:37 
Заслуженный участник


29/09/14
914
Я не маэстро)), просто подставляю $\psi=\text{Re}\, \psi+i\,\text{Im}\, \psi=\psi_1+i\psi_2$ в уравнение

$i\dfrac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi.$

Получается:

$i\dfrac{\partial \psi_1}{\partial t}-\dfrac{\partial \psi_2}{\partial t}=H \psi_1+iH \psi_2.$

Гамильтониан считаю вещественным (и не зависящим от $t).$ Тогда имеем систему двух связанных вещественных уравнений:

$\dfrac{\partial \psi_1}{\partial t}=H\psi_2,$

$-\dfrac{\partial \psi_2}{\partial t}=H\psi_1.$

Чтобы расцепить уравнения, берём в каждом из них производную по $t$ в левой и правой стороне и выражаем получившиеся под знаком гамильтониана производные первого порядка через правые стороны выписанных выше уравнений. Результат - пара независимых уравнений (притом одинаковых, чего и следовало ожидать):

$\dfrac{\partial^2 \psi_1}{\partial t^2}=-H^2\psi_1,$

$\dfrac{\partial^2 \psi_2}{\partial t^2}=-H^2\psi_2.$

(Решаем всё как обычно - методом разделения переменных $t,\,x.$ Линейно независимые решения: $\psi_1\propto \cos(-Et),$ $\psi_2 \propto \sin(-Et);$ из них собирается обычный комплексный ответ: $\psi(x,t)=\varphi(x)e^{-iEt},$ где $\varphi(x)$ - собственная функция гамильтониана (вещественная): $H\varphi=E\varphi.$)

upd: опечатку в первой строчке исправил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 02:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70711
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350677 писал(а):
Гамильтониан считаю вещественным

Вот это место можно поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 02:12 
Заслуженный участник


29/09/14
914
$H^*=H$

Подробнее: $H=-\frac{1}{2m}\Delta+U(x),$ где $U(x)^*=U(x)$ - вещественный потенциал; всё как обычно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70711
На моей памяти, на него накладывалось только условие $H^+=H.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 02:20 
Заслуженный участник


29/09/14
914
Он к тому же вещественный, так уж он устроен.

Условие $H^+=H$ это скорее условие на пространство функций, на которых он действует:

$\langle \varphi | H\chi \rangle \equiv  \langle H^+\varphi | \chi \rangle =\langle H \varphi | \chi \rangle.$

(Ссылка на авторитетных маэстро: в ЛЛ-3 в конце страницы 79 есть равенство $\hat H=\hat H^*=...$ и где-то там ещё, сходу не вспомнил.

upd: см. также текст в конце стр. 77.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70711
Ландау-Лифшиц с годами перевёрстывался, так что ссылки на страницы невозможно найти. По нему лучше ссылаться по параграфам.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1350682 писал(а):
Ссылка на авторитетных маэстро

Там всё-таки упоминается не произвольный гамильтониан, а частный случай. А вот если залезть в район главы 15, например, §§ 111, 112, то мы увидим в гамильтониане в чистом виде $i.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 03:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9294
Hogtown
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350680 писал(а):
$H^*=H$

Подробнее: $H=-\frac{1}{2m}\Delta+U(x),$ где $U(x)^*=U(x)$ - вещественный потенциал; всё как обычно.

Упражнение правильное, но достаточно бессмысленное (IMHO).

А если $H=\frac{1}{2m} (-i\hbar\nabla -A(x))^2 +V(x)$?

И вообще, для операторов вещественность и самосопряженность понятия из довольно разных опер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение01.11.2018, 04:09 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
875
Red_Herring в сообщении #1350685 писал(а):
Упражнение правильное, но достаточно бессмысленное (IMHO).
Я бы сказал так: по сравнению с предшествующим разговором это продолжение хотя и чистый оффтоп, вообще говоря, но в нём есть смысл. Однако принципиально, пожалуй, соглашусь...

Munin в сообщении #1350684 писал(а):
Там всё-таки упоминается не произвольный гамильтониан, а частный случай. А вот если залезть в район главы 15, например, §§ 111, 112, то мы увидим в гамильтониане в чистом виде $i.$
У Ландау в таких случаях везде стоит оговорка: кроме случая, когда есть магнитное поле. Собственно, к чему и пришли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 05:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70711
А потом оказалось, что кроме магнитного поля векторным потенциалом обладают ещё куча полей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 14:21 
Заслуженный участник


29/09/14
914
Я согласен, что в приведённом мной упражнении с вещественным $H$ смысла мало, т.к. оно тривиальное. Но я и не собирался здесь со всей полнотой углубляться в общий случай. Идея была простая - подчеркнуть, что в "волновых уравнениях" производные $i\frac{\partial}{\partial t}$ и $-\frac{\partial^2}{\partial t^}$ в некотором смысле равноправны (ИМХО).

Если есть желающие выписать здесь явно доказательство того, что у. Ш. c $i\frac{\partial}{\partial t}$ и с эрмитовым комплексным гамильтонианом (скажем, как в упомянутых выше примерах Munin) не может быть сведено к системе уравнений с $\frac{\partial^2 }{\partial t^2}$ для неких вещественных функций, то с интересом взгляну; заранее спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group