Функциональное уравнение

[underline]

На просторах встретил такое уравнение. Даже подстановку какую-либо придумать не могу, чтобы упростить. Через дифференцирование тоже не берется.

$f(x + f(x)) = {x^2} + 2x + 3$

Пробовал подбирать функцию. Так среди дробно-рациональных их быть не может - поскольку среди дробей вида $\frac{{{P^n}(x)}}{{{Q^m}(x)}}$ после преобразований вида $f(x + f(x))$ может получится только степень (если удастся сократить знаменатель) вида ${n^2}$. Также решением не может быть многочлен с рациональными показателями его членов, иначе будут образовываться члены с показателями степеней вида ${n^2}$. Есть еще вариант, что корнем уравнение является иррациональное выражение, или дробно-рациональное выражение, но вот там совсем дебри, без какой-либо конкретной подстановки его не установить.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[worm2]

У меня такое же впечатление.
Не похоже, чтобы среди элементарных функций нашлось решение.
Например, $f(f(x))=x^2$ имеет очевидное решение $f(x)=x^\sqrt{2}$, но вот с $f(f(x))=x^2+1$ уже ничего нельзя сделать. Ну, кроме методов тяжёлой артиллерии. Например, раскладывать в ряд Тейлора (в предположении аналитичности решения) и решать систему из бесконечного числа уравнений с бесконечным числом неизвестных.

Возможно, подразумевалось как-то доказать, что такой функции не существует. Тут у меня тоже идей нету.

[grizzly]

worm2 в сообщении #1349586 писал(а):

но вот с $f(f(x))=x^2+1$ уже ничего нельзя сделать.

Думаю, Вы усложняете. Если в стартовом условии последний знак плюс заменить на минус, то задача решается совсем просто, как я понимаю. "В просторах" могли допустить опечатку, либо ТС, что не менее вероятно.

[Lia]

underline

[math]$f(x + f(x)) = {x^2} + 2x + 3$[/math]

Фигурная скобка в набранном Вами коде случайна или нет? Как в точности ставилась задача "на просторах"? Приведите ссылку дополнительно, пожалуйста.

[underline]

Lia
"Внешний" вид такой, как и здесь: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=41903

[Lia]

underline
Ну что - "решение"? Одно дело - решать в классе непрерывных функций, другое - абы каких, третье - показывать, что решений не существует... То, что делается с уточнением о непрерывности, не обязательно будет получаться в общем случае.

Дурная формулировка, все-таки.

[DeBill]

Ну, если все-таки "плюс 3", то у меня получилось: в классе непрерывных функций (да, вроде, и гладких) - решений до фига...
Возможно, в классе аналитических будет что - то интересное, не знаю.
А вот если "минус 3" - то grizzly грит, что все просто (а я что-то не вижу, увы).
И, похоже, совсем интересно будет (возможно) - в классе непрерывных (гладких???) - для "плюс 2"
Поправил: Пардон, для "плюс 1"

[grizzly]

DeBill в сообщении #1350411 писал(а):

А вот если "минус 3" - то grizzly грит, что все просто (а я что-то не вижу, увы).

Это я ерунду сказал. Какая-то дурацкая идея показалась мне тогда решением, всем сорри.