Формальная запись определения модуля числа

[Tilq]

Вопрос у меня следующий, я видел нечто похожее на этом форуме, но так и не выяснил оттуда для себя верного понимания. Вопрос, собственно заключается в следующем: почему в определения модуля числа используют фигурные скобки?

$$ |x|= \begin{cases} x, x \ge 0\\ -x, x < 0 \end{cases} $$

По хорошему, это выражение должно быть записано следующим образом:

$$ |x| = \left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} x\\ x \ge 0 \end{cases}\\ \begin{cases} -x\\ x < 0 \end{cases} \end{array} \right. $$

так как у нас фигурная скобка - это пересечение множеств, а квадратная - объединение? Правильно ли я все понимаю? Наверное, запись предложенная мной формально правильно, однако каждый раз рисовать такое неудобно и везде пишут как в первом варианте. Подскажите мне, пожалуйста, правильно ли я все понимаю, и верна ли моя запись определения модуля?

[demolishka]

Tilq в сообщении #1348077 писал(а):

Правильно ли я все понимаю?

Нет. Это общепринятая запись кусочно заданной функции.

[Tilq]

Зачем мне это нужно? Для формализации записи таких неравенств:

$$ |x-1|<5 $$

То есть, по определению модуля, которое я написал:

$$ |x-1| = \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x-1\\ x-1 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -(x-1)\\ x-1 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $$

и наше исходное неравенство превращается в нечто следующее:

$$ |x-1| < 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x-1 < 5\\ x-1 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -(x-1) < 5\\ x-1 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $$

Решая верхнюю систему неравенств, получаю следующее

$$ \begin{cases} x < 6\\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow x \in [1;6) $$

Решая нижнюю, получаю следующее:

$$ \begin{cases} x > -4\\ x < 1 \end{cases} \Rightarrow x \in (-4;1) $$

Так как скобка между двумя этими системами квадратная, которая обозначает союз "или", а значит объединение множеств, заключаю что ответ исходного неравенства следующий:

$$ \left[ \begin{gathered} x \in [1;6)\\ x \in (-4;1) \end{gathered} \Rightarrow x \in [1;6) \cup x \in (-4;1) \Rightarrow x \in (-4;6) \right. $$

Заранее извиняюсь, но ответ demolishka мне кажется формальной отпиской, да, мол, так стандартно записываются кусочно-заданные функции, но сказано что я неправильно все понимаю. Мои записи мне кажутся формально правильными, укажите, пожалуйста, где я ошибся?

[mihaild]

Tilq в сообщении #1348083 писал(а):

$$ |x-1| < 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x-1 < 5\\ x-1 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -(x-1) < 5\\ x-1 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. $$

Вот эта запись, и те, что за ней - правильные. До того - скорее нет (хотя можно договориться об обозначениях, конечно).

Разница в том, что $x$ и $x = 0$ - существенно разные объекты. $x$ - терм, его значение - число. $x = 0$ - формула, ее значение - истина / ложь. Уравнения тоже являются формулами.
Квадратные и фигурные скобки можно навешивать на утверждения, и получать из них новые утверждения (соответствуют дизъюнкции и конъюнкции).
А вот что такое "$x$ и $x \geqslant 0$" (которое получается, если читать фигурную скобку в вашем определении модуля стандартным образом) - непонятно.
При записи кусочно-заданных функций фигурная скобка используется в другом смысле, чем при записи системы уравнений, и она объединяет не утверждения, а пары вида "условие на аргумент - т.е. формула; значение функции при выполнении этого условия - т.е. терм", записанные через запятую.

Итого у фигурной скобки есть два стандартных значения (конъюнкция и выбор случая), у квадратной - одно (дизъюнкция), и ваши определения под них не подходят. Понятно, как можно доопределить, чтобы сделать вашу запись корректной, но непонятно, зачем.

[ewert]

Tilq в сообщении #1348077 писал(а):

так как у нас фигурная скобка - это пересечение множеств, а квадратная - объединение?

Нет, это не множества, это -- логические операции между высказываниями. Фигурная скобка тупо означает логическую операцию "AND", квадратная -- операцию "OR". (Конечно, это тесно связано с операциями над множествами, но сейчас речь не об этом.)

Так вот, фигурная скобка в стандартной записи именно операцию "И" и означает. С двумя подразумеваемыми договорённостями. Во-первых, за эту скобку вынесен сам модуль икса со знаком равенства. Во-вторых, запятая означает импликацию. Тогда всё нормально -- утверждается, что одновременно выполняется: "если $x\geqslant0$, то $|x|=x$" и "если $x<0$, то $|x|=-x$". Всё честно.

А вот имеет ли смысл квадратная скобка (операция "ИЛИ") в Вашем варианте -- даже и думать лень.

[Sender]

Tilq в сообщении #1348077 писал(а):

так как у нас фигурная скобка - это пересечение множеств, а квадратная - объединение?

Боюсь, запись "x" или "-x" сама по себе не задаёт никакого множества. О способах задания множеств и об их принятых обозначениях можете почитать, например, здесь.

[Tilq]

Спасибо за ответы. Просто, как мне кажется, если использовать такую форму записи, то ребятам (школьникам, ученикам) легко будет определять где какая операция: объединение или пересечение (AND или OR). Просто когда ребята глядят на определение модуля, видят скобку фигурную, и хотят результаты объединить операцией AND а не OR, и поэтому выходят неверные решения.

[ewert]

Tilq в сообщении #1348095 писал(а):

Просто когда ребята глядят на определение модуля, видят скобку фигурную, и хотят результаты объединить операцией AND а не OR, и поэтому выходят неверные решения.

Вот конкретно с такими глюками, кажется, никогда не сталкивался. Просто потому, что ребята к тому времени, когда дело доходит до решения задач, о формальном определении модуля напрочь забывают. Им достаточно того, что модуль для них очевиден.

А вот что нужно -- приучать их к тому, что скобки суть именно логические операции. И лишь после того, как те операции дали какие-то конкретные множества -- лишь после этого надо переходить к операциям над множествами. Типичный пример (хотя и глупый):

$$|2x-4|<x+7\ \Leftrightarrow\ \left[\begin{matrix}\begin{cases}x\geqslant2\\2x-4<x+7\end{cases}\\\begin{cases}x<2\\-2x+4<x+7\end{cases}\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow\ \left[\begin{matrix}\begin{cases}x\geqslant2\\x<11\end{cases}\\\begin{cases}x<2\\x>-1\end{cases}\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow\ \left[\begin{matrix}x\in[2;11)\\x\in(-1;2)\end{matrix}\right.$$

-- и вот только после этого можно писать $\Leftrightarrow\ x\in[2;11)\cup(-1;2)=(-1;11)$. (А глупый он потому, что значок объединения, конечно, не нужен -- ответ надо выписывать сразу.)

[vend]

Фигурная скобка означает что это множество, то есть выбор равнозначных неупорядоченных вариантов, неважно в каком порядке записаны строки. Запятая в этой записи равнозначна обычным определяемым условия вхождения в множество знакам : и |.

[ewert]

vend в сообщении #1412141 писал(а):

Фигурная скобка означает что это множество

Это неверно по двум причинам. Во-первых, множество описывается не одной, а двумя фигурными скобками. Во-вторых, большинство даже и стандартных значков в математике сильно неоднозначны. Даже вот и пара фигурных скобок -- вполне традиционно многими используются не только для множества, но и для последовательности (что лично мне не нравится, однако и с традицией спорить глупо).

[Connector]

ewert в сообщении #1412180 писал(а):

Даже вот и пара фигурных скобок -- вполне традиционно многими используются не только для множества, но и для последовательности .

Последовательность понимается большинством авторов как функция с областью определения $\mathbb{N}$, т. е. множество пар вида $(n, x)$, $n \in \mathbb{N}$. Поэтому обозначение $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ вполне естественно (в том смысле, что согласуется с употреблением фигурных скобок в обозначении множеств).

[vend]

ewert в сообщении #1412180 писал(а):

vend в сообщении #1412141 писал(а):

Фигурная скобка означает что это множество

Это неверно по двум причинам. Во-первых, множество описывается не одной, а двумя фигурными скобками.

Это верно потому что это неважно, вторая скобка это закрывающая фигурная скобка чисто синтаксический парный элемент когда пишут в одну строку. Это именно что множество и эквивалентно записи $\left\lbrace -x : x < 0\right\rbrace \cup \left\lbrace x : x >0 \right\rbrace$ от которой она и произошла как сокращение.

Цитата:

Во-вторых, большинство даже и стандартных значков в математике сильно неоднозначны. Даже вот и пара фигурных скобок -- вполне традиционно многими используются не только для множества, но и для последовательности (что лично мне не нравится, однако и с традицией спорить глупо).

Стандартно как множество, а договориться об использовании любого знака в качестве любого смысла можно всегда, любой знак может значить что угодно по желанию автора. Хоть буквы могут означать цифры, а цифры буквы. А тем более что в последовательности имеются в виду что это множество пар чисел, а не простые числа, так что там именно множество пар.

[ewert]

Connector в сообщении #1412184 писал(а):

Поэтому обозначение $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ вполне естественно (в том смысле, что согласуется с употреблением фигурных скобок в обозначении множеств).

Нет, не вполне согласуется, и вот почему. Конечно, можно оговорить такое исключение: дескать, вообще говоря -- это множество, но в данном случае будем обозначать так последовательность. Жаль, что ли -- казалось бы.

Так вот жаль. Потому что наряду с последовательностью как таковой имеет смысл и множество её значений. Именно как функции, Вы угадали. Притом существенный смысл, отнюдь не чистоплюйский: в связи с частичными пределами и прочим. И вот тут-то использование фигурных скобок для собственно последовательности начинает серьёзно мешать.

[arseniiv]

vend в сообщении #1412186 писал(а):

Это именно что множество и эквивалентно записи $\left\lbrace -x : x < 0\right\rbrace \cup \left\lbrace x : x >0 \right\rbrace$ от которой она и произошла как сокращение.

Извините, но это бред. Как минимум, $|x|$ зависит от $x$, а ваше множество — нет.

Запись с фигурной скобкой аналогична выражениям switch/case в тех языках программирования, где они есть именно как выражения, или набору вложенных друг в друга условных выражений. Когда альтернативы две и хоть одно из условий в них всегда выполняется — тогда даже просто одному, $|x| := \operatorname{\mathsf{if}} x \geqslant 0 \mathbin{\mathsf{then}} x \mathbin{\mathsf{else}} -x$.

Если вы так убеждены в своей правоте, сначала спросите себя, а почему, и чем ваше объяснение должно быть обязательно лучше остальных. Может, увидите, что настаивать на нём неконструктивно.

[vend]

arseniiv в сообщении #1412203 писал(а):

Извините, но это бред. Как минимум, $|x|$ зависит от $x$, а ваше множество — нет.

Если вы так убеждены в своей правоте, сначала спросите себя, а почему, и чем ваше объяснение должно быть обязательно лучше остальных. Может, увидите, что настаивать на нём неконструктивно.

Извините, но ваши аргументы являются бредом. сли вы так убеждены в своей правоте, то сначала спросите себя почему это выбор варианта и множество в математике обозначается одним и тем же символом {, поумнее нас люди придумывали обозначения. Потому что множество значений и множество вариантов это суть одно и тоже - множество. Можете настаивать на своем неконструктивном отрицании фактов.
Банальности про программирование писать не надо, речь идет не о языках программирования, а о математических обозначениях.