Узлы, косы, частицы... и как всё это связать эфиром

[SergeyGubanov]

До меня дошло, что тут всё не так как мне показалось с первого взгляда. Ведь умножение векторных полей $Z = X \star Y$ реализовано как $Z = \nabla_{X} Y$, и спинорное поле в этом представлении тоже является векторным полем в том дополнительном пространстве.

Для записи уравнения Дирака вроде можно обойтись всего четырьмя дополнительными измерениями $M_{1,3} \otimes R^4$.

Пусть $\{ q^1, q^2, q^3, q^4 \}$ - декартовы координаты в том $R^4$.

Определим четвёрку векторных полей в $R^4$:

$$ Q^{(0)} = q^1 \frac{\partial}{\partial q^1} + q^2 \frac{\partial}{\partial q^2} + q^3 \frac{\partial}{\partial q^3} + q^4 \frac{\partial}{\partial q^4} $$

$$ Q^{(1)} = q^4 \frac{\partial}{\partial q^1} - q^3 \frac{\partial}{\partial q^2} + q^2 \frac{\partial}{\partial q^3} - q^1 \frac{\partial}{\partial q^4} $$

$$ Q^{(2)} = q^3 \frac{\partial}{\partial q^1} + q^4 \frac{\partial}{\partial q^2} - q^1 \frac{\partial}{\partial q^3} - q^2 \frac{\partial}{\partial q^4} $$

$$ Q^{(3)} = q^2 \frac{\partial}{\partial q^1} - q^1 \frac{\partial}{\partial q^2} - q^4 \frac{\partial}{\partial q^3} + q^3 \frac{\partial}{\partial q^4} $$

По отношению к произведению $X \star Y = \nabla_{X} Y$ они реализуют алгебру кватернионов:

$$ Q^{(0)} \star Q^{(0)} = Q^{(0)},\quad Q^{(1)} \star Q^{(1)} = - Q^{(0)},\quad Q^{(2)} \star Q^{(2)} = - Q^{(0)},\quad Q^{(3)} \star Q^{(3)} = - Q^{(0)} $$

$$ Q^{(1)} \star Q^{(2)} = Q^{(3)}, \quad Q^{(1)} \star Q^{(3)} = -Q^{(2)}, \quad Q^{(2)} \star Q^{(3)} = Q^{(1)}. $$

$$ Q^{(2)} \star Q^{(1)} = -Q^{(3)}, \quad Q^{(3)} \star Q^{(1)} = Q^{(2)}, \quad Q^{(3)} \star Q^{(2)} = -Q^{(1)}. $$

$$ Q^{(1)} \star Q^{(0)} = Q^{(1)}, \quad Q^{(2)} \star Q^{(0)} = Q^{(2)}, \quad Q^{(3)} \star Q^{(0)} = Q^{(3)}. $$

$$ Q^{(0)} \star Q^{(1)} = Q^{(1)}, \quad Q^{(0)} \star Q^{(2)} = Q^{(2)}, \quad Q^{(0)} \star Q^{(3)} = Q^{(3)}. $$

В этом представлении спинорное поле является векторным полем в том дополнительном $R^4$:

$$ \Psi_{R} = \Psi^{i}_{R} \frac{\partial}{\partial q^i}, \qquad \Psi_{L} = \Psi^{i}_{L} \frac{\partial}{\partial q^i}. $$

Далее остаётся просто нагуглить в wiki уравнение Дирака в кватернионном виде

$$ \partial_t \Psi_{R} \star Q^{(1)} + Q^{(1)} \star \partial_x \Psi_R + Q^{(2)} \star \partial_y \Psi_R + Q^{(3)} \star \partial_z \Psi_R = m \Psi_L \star Q^{(2)}, $$

$$ \partial_t \Psi_{L} \star Q^{(1)} - Q^{(1)} \star \partial_x \Psi_L - Q^{(2)} \star \partial_y \Psi_L - Q^{(3)} \star \partial_z \Psi_L = m \Psi_R \star Q^{(2)}. $$

[bayak]

SergeyGubanov, можно ещё проще (как это сделано у меня), сразу считать, что векторное поле является спинорным векторным полем в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой, где оно интерпретируется как угловая скорость э.ч. Тогда уравнения Дирака без калибровочной связности получаются простой заменой матричных генераторов алгебры на векторно-полевые генераторы (с помощью соответствия матрица -- линейное векторное поле), а уравнения Дирака с калибровочной связностью получаются заменой частных производных ковариантными производными (добавлением в них связностей). Калибровочные связности появляются вследствие искривления вакуумного векторного поля, но для первого прохода в понимании сути вещей эими связностями можно и пренебречь.

Однако, по большому счёту вы правы,- пока своими ручками не проделаешь выкладки -- ничего не поймёшь. Да ещё и я не умею объяснять.

[SergeyGubanov]

Получается что Дираковское спинорное поле может быть представлено двумя разными геометрическими способами:

• либо в $R^8$ одним вещественным векторным полем $\Psi = \Psi^i \frac{\partial}{\partial q^i}$;
• либо в $R^4$ двумя вещественными векторными полями $\Psi_L = \Psi_L^i \frac{\partial}{\partial q^i}$ и $\Psi_R = \Psi_R^i \frac{\partial}{\partial q^i}$.

Если в Природе реализованы оба этих способа, то это должно быть и есть геометрическая разница между лептонами и кварками.

[bayak]

SergeyGubanov в сообщении #1346104 писал(а):

Если в Природе реализованы оба этих способа, то это должно быть и есть геометрическая разница между лептонами и кварками.

Да, это два эквивалентных представления, а геометрическое отличие между правыми и левыми спинорами, возможно, в том, что они описывают вращение в разных подпространствах 8-пространства с нейтральной метрикой -- один в $\mathbb{R}^4$ с положительной сигнатурой, а второй спинор в $\mathbb{R}^4$ с отрицательной сигнатурой, т.е. в тех подпространствах где заданы сферы типичного слоя $S^3\times S^3$. Впрочем, самое главное тут это вопрос геометрической интерпретации волновой функции. Я полагаю, что без интерпретации действия как угла поворота на $S^7$ здесь не обойтись. Кое что о такой интерпретации на классической сфере можно посмотреть в препринте О намотке на сфере.

[bayak]

В развитие темы хотел бы добавить, что гиперсферы вещественного радиуса пространства $\mathbb{R}^8$ с нейтральной метрикой $S^2=t^2-x^2-y^2-z^2-t^{*2}+x^{*2}+y^{*2}+z^{*2}$ гомеоморфны произведению $S^3\times\mathbb{R}^4$, поэтому не исключено, что градиент от этой метрики как раз и формирует вакуумное векторное поле эфира (движущейся материи).

[Geen]

bayak в сообщении #1346535 писал(а):

градиент от этой метрики как раз и формирует вакуумное векторное поле эфира

"Градиент метрики"?? Это который как-то делается из ковариантных производных метрического тензора, которые, к счастью, равны нулю (раз не упомянута никакая аффинная связность)?

[bayak]

Geen в сообщении #1346557 писал(а):

"Градиент метрики"?? Это который как-то делается из ковариантных производных метрического тензора, которые, к счастью, равны нулю (раз не упомянута никакая аффинная связность)?

Ну, конечно же, нет, имеется в виду, что метрика служит потенциальной функцией для градиентного векторного поля. С учётом эволюции вакуумного векторного поля такую функцию можно было бы задать так $s^2=e^{\tau}(x^2+y^2+z^2+t^{*2})-e^{-\tau}(x^{*2}+y^{*2}+z^{*2}+t^2)$, где $\tau$ эволюционный параметр времени, что соответствовало бы эволюционному изменению радиусов сфер типичного слоя слоения $S^3\times S^3$. Тогда искомое векторное поле линейно и оно равно $v=\nabla(s^2)$. А связности это уже когда вакуумное векторное поле возмущено присутствием частиц (особенностей векторного поля).

[Geen]

bayak в сообщении #1346646 писал(а):

метрика служит потенциальной функцией

Это как?? - у них области определения разные?

[bayak]

Geen, вы взялись критиковать пост, а не вчитались в него. Там же чётко написано, что берутся 7-мерные гиперсферы в качестве поверхностей уровня, а следовательно и дифференциальный оператор работает по восьми переменным. И, пожалуйста, не надо всюду ставить два вопросительных знака.

[g______d]

bayak, вам совершенно справедливо указали на ерунду. Что означает указанная фраза?

bayak в сообщении #1346646 писал(а):

метрика служит потенциальной функцией для градиентного векторного поля

Я напоминаю, что метрика и потенциальная функция -- объекты разного рода ($(2,0)$-тензорное поле и скалярная функция). Как они могут служить друг другом?

Очень прошу (=настоятельно рекомендую) сформулировать это на математическом языке, какое именно точное утверждение этому соответствует.

[bayak]

g______d, действительно у меня ерунда. Впрочем, надо всего лишь заменить слово метрика на словосочетание квадрат метрического интервала. Однако, признаю корявость в выражении собственных мыслей и спасибо вам за прямое указание на это.

[g______d]

bayak в сообщении #1346810 писал(а):

Впрочем, надо всего лишь заменить слово метрика на словосочетание квадрат метрического интервала.

Не надо "заменить", сформулируйте вышеуказанную фразу в правильном виде на математическом языке.

[bayak]

g______d в сообщении #1346812 писал(а):

Не надо "заменить", сформулируйте вышеуказанную фразу в правильном виде на математическом языке.

Странно, я же признал свою ошибку. Ну что же, повторю - моя фраза о том, что метрика служит функцией, математически бессмысленна. Вам этого достаточно?

[g______d]

bayak в сообщении #1346816 писал(а):

Вам этого достаточно?

Недостаточно. Конечная цель -- чтобы вы не писали бессмыслицу а потом это признавали, а чтобы писали что-то осмысленное, не являющееся бессвязным набором слов.

[bayak]

g______d, угомонитесь.

Метрика имеет несколько значений:

В математике
Метрика — функция, определяющая расстояния в метрическом пространстве.
Метрика — альтернативное название метрического тензора, в частности
Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.