Что Вас потрясло в математике?

[Munin]

Portnov
А, ну точно, отношение порядка на гранях можно ввести без особых измерений высоты центра тяжести! Тогда извиняюсь перед grizzly, его мысль была глубже, чем мне показалось.

Правда, Гарднер не оговаривал, что число граней многогранника конечно... :-) Можно взять "ломаную логарифмическую спираль" с тяжёлой точкой посередине...

[Soul Friend]

eugensk в сообщении #1336374 писал(а):

Действительно интересно, насколько сложно это доказать геометрически

надо добавить немного гравитации. И вечный двигатель существует, абстрактно.
Нужно вычислять сумму масс частей сегмента (грани) многогранника, от центра тяжести до самой грани. Если бы существовал такой вечно катящийся многогранник, то такие его сегменты имели бы нефиксированную массу.

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1336560 писал(а):

И вечный двигатель существует, абстрактно.

Что это значит?

Soul Friend в сообщении #1336560 писал(а):

Если бы существовал такой вечно катящийся многогранник, то такие его сегменты имели бы нефиксированную массу.

Если Вы имеете возможность управлять положением центра тяжести, то катиться может долго. Не видели в цирке акробата, который помещается внутри большого колеса и катается в нём по арене? Но на перемещение центра тяжести нужно тратить энергию. Поэтому никакого вечного двигателя не получается.

[Soul Friend]

Someone в сообщении #1336650 писал(а):

Поэтому никакого вечного двигателя не получается.

Я о том же, только я представлял водяную мельницу.
Иначе могу сказать, что вечно катящийся многогранник обладает таким свойством, что на какую бы из его граней мы не опускали перпендикулярную прямую через центр тяжести, то эта прямая окажется за пределами этой грани.

[alcoholist]

Вот меня сейчас не то, что потрясло, но как-то изумило неожиданно, что числа

$$\sum_{k\ge 0}\frac{k^n}{k!}$$

это целые кратные $e$. Конечно, это несложно показать, даже вычислить (числа Белла). Ну кто бы мог подумать... Наверное, фактор неожиданности: как это я столько лет в клубе, а не сталкивались.

[Ktina]

alcoholist в сообщении #1343118 писал(а):

Вот меня сейчас не то, что потрясло, но как-то изумило неожиданно, что числа

$$\sum_{k\ge 0}\frac{k^n}{k!}$$

это целые кратные $e$.

Надо только уточнить, что $n\ne 0$.

[alcoholist]

Ktina в сообщении #1343120 писал(а):

Надо только уточнить, что $n\ne 0$.

$e$ есть целое кратное "самое себя", если считать $0^0=1$

[arseniiv]

Ktina в сообщении #1343120 писал(а):

Надо только уточнить, что $n\ne 0$.

Тут были темы со спорами, определять ли $0^0$ и как, но упомянутое alcoholist определение этого как 1 упрощает как раз кучу практически интересных случаев. (Честно говоря, я никогда не пойму тех, кто против этого, аргументы показались неубедительными.)

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1343125 писал(а):

Тут были темы со спорами, определять ли $0^0$ и как, но упомянутое alcoholist определение этого как 1 упрощает как раз кучу практически интересных случаев. (Честно говоря, я никогда не пойму тех, кто против этого, аргументы показались неубедительными.)

А почему тогда не $0^0=0$? Ведь 0 в любой степени остаётся нулём.

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1343131 писал(а):

А почему тогда не $0^0=0$? Ведь 0 в любой степени остаётся нулём.

Ну например потому что $\lim\limits_{x\to 0+0} x^x = 1$ (предел справа). С чего бы выкалывать точку и смещать её от графика далеко-далеко.

[g______d]

На эту тему есть анекдот про учебник математики, в котором в одном месте написано "любое число в нулевой степени равно единице", а в другом -- "ноль в любой степени равно нулю".

А так есть ещё древний пост, в котором некоторые аргументы довольно убедительны:

http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/11307.html

[alcoholist]

Ktina в сообщении #1343131 писал(а):

А почему тогда не $0^0=0$? Ведь 0 в любой степени остаётся нулём.

Есть убедительный аргумент, теоретико-множественный. Звучит он так:

$$ \sum_{\alpha\in\emptyset}x_\alpha=0,\quad \prod_{\alpha\in\emptyset}x_\alpha=1. $$

Вот когда мы складываем, у нас уже есть ноль и мы к нему добавляем слагаемые. Нечего добавлять? Ноль и останется. А когда умножаем -- единица есть, на нее умножаем сомножители. Нет сомножителей? Единица остается:^)

[Someone]

Если речь идёт только о степенях с целыми показателями, то соглашение $0^0=1$ очень естественно и удобно. Проблемы возникают в математическом анализе, когда появляются степени с произвольным действительным показателем и степенно-показательные функции $(f(x))^{g(x)}$.

[SpiderHulk]

Сегодня потрясла простота и ясность линейности скалярного произведения векторов, но ещё более потрясло то, насколько эта простота и ясность усложнена и замутнена сложными многоступенчатыми доказательствами. То что можно объяснить семикласснику за 5 минут нарисовав чертёж я постигал часа три, первый час изучая доказательство в учебнике, второй час доказательство из лекции и третий час сопоставляя одно доказательство с другим. Линейность очевидным образом следует из определений суммы векторов и произведения вектора на скаляр. Достаточно всего лишь из чертежа увидеть, что проекция суммы произведений векторов на скаляры равна сумме произведений проекций векторов на скаляры и на этом всё, всё становится кристально ясно. После этого почти все подробности доказательства выглядят усложняющей и запутывающей шелухой

[alcoholist]

SpiderHulk в сообщении #1343255 писал(а):

проекций векторов на скаляры

чтозазверь???