Гидродинамика: труба с переменным сечением

[Rat]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста. У меня есть следующая задача. Я не совсем специалист в этих вопросах.

Я рассматриваю течение сжимаемой жидкости по трубе переменного сечения. Задача осесимметричная, поэтому я перехожу к цилиндрическим координатам (без угла) $r$ и $\varphi$ (правильно ли это? Можно ли остаться в декартовой с осями $x$ и $y$?).
Я рассматриваю стационарное приближение, то есть все производные по времени равны нулю. Тогда у меня есть система уравнений в цилиндрической системе координат

$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\rho(x,r) v_r(x,r) r)+ \frac{\partial}{\partial x} (\rho(x,r) v_x(x,r))} = 0$$

$$\rho(x,r) \left( v_r(x,r) \frac{\partial v_x(x,r)}{\partial r}+v_x(x,r) \frac{\partial v_x(x,r)} {\partial x} \right)= - \frac{\partial p(x,r)}{\partial x}$$

$$ \rho(x,r) \left( v_r(x,r) \frac{\partial v_r(x,r)}{\partial r}+v_x(x,r) \frac{\partial v_r(x,r)} {\partial x} \right)= - \frac{\partial p(x,r)}{\partial r} $$

Теперь я так понимаю нужны какие-то граничные условия. Вот тут у меня проблемы. Жидкость течет по трубе переменного сечения. То есть, я так понимаю, для невязкой жидкости граничное условие будет условие непротекания.
У меня есть уравнение поверхности $f(x,y,z)=0$, которое для моего случая будет иметь вид $f(x,r)=0$. Я так понимаю, условие непротекания будет выражено в виде

$$\vec v \cdot \vec n = v_n = v_r(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0$$

А какие еще могут быть граничные условия? И какие нужны? Мне показалось, что придется задать распределение скорости, плотности и т.п. на оси симметрии, но где их взять?

Помогите пожалуйста разобраться.

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста. У меня есть следующая задача. Я не совсем специалист в этих вопросах.
...
Теперь я так понимаю нужны какие-то граничные условия. Вот тут у меня проблемы. Жидкость течет по трубе переменного сечения. То есть, я так понимаю, для невязкой жидкости граничное условие будет условие непротекания.
У меня есть уравнение поверхности $f(x,y,z)=0$, которое для моего случая будет иметь вид $f(x,r)=0$. Я так понимаю, условие непротекания будет выражено в виде

$$\vec v \cdot \vec n = v_n = v_r(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0$$

А какие еще могут быть граничные условия? И какие нужны? Мне показалось, что придется задать распределение скорости, плотности и т.п. на оси симметрии, но где их взять?

Помогите пожалуйста разобраться.

Для вязкой жидкости на стенках (обычно) должно соблюдаться также и условие прилипания

$$\left(\vec n \times \vec v\right)\times \vec n = \vec{v}_\tau =0.$$

Вместе с условием непротекания это дает равенство нулю вектора скорости на стенках трубы

$$\vec v = 0.$$

Кроме того, нужно задать либо давления на торцах трубы, либо расход жидкости через трубу и давление на одном из торцов.

P.S. Уравнения в цилиндрических координатах у Вас не проверял. Сверьтесь сами с книгой "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика" (стр. 76 в издании 1986г.). Там уравнения выписаны для несжимаемой жидкости. Проверьте переходят ли Ваши уравнения в них при постоянной плотности.

[Rat]

Александр Т., спасибо за комментарий!

Александр Т. писал(а):

Для вязкой жидкости на стенках (обычно) должно соблюдаться также и условие прилипания

$$\left(\vec n \times \vec v\right)\times \vec n = \vec{v}_\tau =0.$$

Вместе с условием непротекания это дает равенство нулю вектора скорости на стенках трубы

$$\vec v = 0.$$

Да, я это обязательно использую, когда буду делать следующее приближение - вязкую жидкость! А сейчас пока жидкость невязкая и я так понимаю нужно только условие непротекания, что эквивалентно тому, что вектор $\vec v$ является касательным к поверхности трубы в каждой точке. Так?

Александр Т. писал(а):

Кроме того, нужно задать либо давления на торцах трубы

Давление на торцах трубы? Это краевые условия, что-то типа такого:

$$p(0,r)=p_0$$

$$p(l,r)=p_1$$

Так?
А этого будет достаточно для определения констант? Не нужно ли будет задавать функцию вида $p(x,0)$?
Кроме того, мне казалось, что надо еще задавать плотность где-то. Или нет?

Александр Т. писал(а):

либо расход жидкости через трубу и давление на одном из торцов.

Расход это по формуле $G=\rho v S$?

Александр Т. писал(а):

P.S. Уравнения в цилиндрических координатах у Вас не проверял. Сверьтесь сами с книгой "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика" (стр. 76 в издании 1986г.). Там уравнения выписаны для несжимаемой жидкости. Проверьте переходят ли Ваши уравнения в них при постоянной плотности.

Смотрю по изданию 2006 г. Там это тоже 76 стр. Формулы (15.18). Я так понимаю, что на проекцию по углу $\varphi$ можно не обращать внимания. Тогда, если член $v_{\varphi}^2/r$ обнуляется в проекции на ось $r$, то с учетом того, что члены учитывающие вязкость, тоже обнуляются, вроде сходится.

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Александр Т., спасибо за комментарий!

Александр Т. писал(а):

Для вязкой жидкости на стенках (обычно) должно соблюдаться также и условие прилипания

$$\left(\vec n \times \vec v\right)\times \vec n = \vec{v}_\tau =0.$$

Вместе с условием непротекания это дает равенство нулю вектора скорости на стенках трубы

$$\vec v = 0.$$

Да, я это обязательно использую, когда буду делать следующее приближение - вязкую жидкость!

Да. Сплоховал я. Не обратил внимание на то, что у Вас жидкость невязкая. Хотел побыстрее ответить и не разобрался с вопросом.

Rat писал(а):

А сейчас пока жидкость невязкая и я так понимаю нужно только условие непротекания, что эквивалентно тому, что вектор $\vec v$ является касательным к поверхности трубы в каждой точке. Так?

Да.

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Кроме того, нужно задать либо давления на торцах трубы

Давление на торцах трубы? Это краевые условия, что-то типа такого:

$$p(0,r)=p_0$$

$$p(l,r)=p_1$$

Так?
А этого будет достаточно для определения констант? Не нужно ли будет задавать функцию вида $p(x,0)$?
Кроме того, мне казалось, что надо еще задавать плотность где-то. Или нет?

Еще раз вынужден с сожалением отметить, что мой ответ был поспешнным.

Краевые условия для давления Вы выписали правильно (в том смысле, что я именно такие условия имел в виду).

Конечно, нужно задавать кроме давления еще и плотность (подвела меня моя зацикленность на несжимаемую вязкую жидкость) на торцах трубы, т.е типа $\rho(0,r)=\rho_0$, $\rho(l,r)=\rho_1$. Более общие условия для давления и плотности имеют вид

$$p(0,r)=p_0(r)$$

$$p(l,r)=p_1(r)$$

$$\rho(0,r)=\rho_0(r)$$

$$\rho(l,r)=\rho_1(r)$$

Функцию $p(z,0)$ (привычнее все же переменные $r$ и $z$) задавать не нужно, она должна найтись из уравнений.

Ну и самое главное. В общем случае Вам нужно ввести еще одну неизвестную функцию - температуру $T(z,r), связать ее с функциями $p(z,r) и $\rho(z,r) при помощи, например, уравнения Менделеева-Клапейрона (это если текучая среда - идеальный газ (который в гидродинамике для того, чтобы не путать с идеальной жидкостью, часто назывют совершенным газом), а для других сред могут быть другие уравнения состояния) и к уравнениям неразрывности и Эйлера (которые Вы уже выписали) добавить уравнение энергии.

Но поскольку Вы рассматриваете невязкую жидкость, то имеет смысл считать ее идеальной (т.е. жидкостью, в которой отсутствуют процессы диссипации энергии) и полагать, что ее движение - адиабатическое. Подробнее об этом можно прочитать в уже упомянутой мной книге "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика" (параграф 2 в издании 1986г.). Советую Вам прочитать этот параграф прежде, чем задавать новые вопросы, на которые я готов ответить.

Честно говоря, я сам этот параграф прочитал (еще раз) и несколько усомнился в своих утверждениях про граничные условия. Сейчас я полагаю, что наиболее "физичные" граничные условия должны в себя включать, кроме условия непротекания через стенки трубы, заданные распределения давления, плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы ("физичнее" было бы, если бы это был торец, через который текучая среда (сжимаемая жидкость) втекает в трубу). Распределение температуры при этом найдется из уравнения состояния. Еще понадобится также (в частности для того, чтобы воспользоваться условием адиабатичности движения) уравнение, связывающее внутреннюю энергию с температурой и плотностью. Вместо этого уравнения и уравнения состояния можно использовать одно уравнение, выражающее какой-либо из термодинамических потенциалов (например, внутреннюю энергию) через его канонические переменные (энтропию и плотность для внутренней энергии).

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

либо расход жидкости через трубу и давление на одном из торцов.

Расход это по формуле $G=\rho v S$?

Точнее, массовый расход

$$G=\int\limits_S \rho v_n \,\mathrm{d}S,$$

где $S$ - одно из сечений трубы (вследствии сохранения массы и стационарности течения массовый расход от выбора сечения не зависит). Если задано распределение плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы, то тем самым задается массовый расход. (Для несжимемой жидкости иногда удобнее использовать объемный расход.)

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

P.S. Уравнения в цилиндрических координатах у Вас не проверял. Сверьтесь сами с книгой "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика" (стр. 76 в издании 1986г.). Там уравнения выписаны для несжимаемой жидкости. Проверьте переходят ли Ваши уравнения в них при постоянной плотности.

Смотрю по изданию 2006 г. Там это тоже 76 стр. Формулы (15.18). Я так понимаю, что на проекцию по углу $\varphi$ можно не обращать внимания. Тогда, если член $v_{\varphi}^2/r$ обнуляется в проекции на ось $r$, то с учетом того, что члены учитывающие вязкость, тоже обнуляются, вроде сходится.

Это хорошо.

[Rat]

Уважаемый Александр Т., спасибо, что ответили!

Александр Т. писал(а):

Краевые условия для давления Вы выписали правильно (в том смысле, что я именно такие условия имел в виду).

Конечно, нужно задавать кроме давления еще и плотность (подвела меня моя зацикленность на несжимаемую вязкую жидкость) на торцах трубы, т.е типа $\rho(0,r)=\rho_0$, $\rho(l,r)=\rho_1$. Более общие условия для давления и плотности имеют вид

$$p(0,r)=p_0(r)$$

$$p(l,r)=p_1(r)$$

$$\rho(0,r)=\rho_0(r)$$

$$\rho(l,r)=\rho_1(r)$$

Функцию $p(z,0)$ (привычнее все же переменные $r$ и $z$) задавать не нужно, она должна найтись из уравнений.

Вы знаете, я пытаюсь получить численное решение в математическом пакете, а он воспринимает только такие условия:

$$v(0,r)=v_1$$

$$v(x,0)=v_2$$

$$\rho(0,r)=\rho_1$$

$$\rho(x,0)=\rho_2$$

$$p(0,r)=p_1$$

При этом он не требует вот этого условия

$$p(x,0)=p_2$$

но вот эти два

$$v(x,0)=v_2$$

$$\rho(x,0)=\rho_2$$

остаются крайне неприятными. Я просто не понимаю откуда их брать.

Краевые условия того вида, что Вы написали, увы, он не воспринимает. Хотя это было бы очень удобно. Может он в принципе не решает краевые задачи?

Кстати, об одной важной вещи не было упомянуто в моем предыдущем сообщении. У меня из граничного условия непротекания $v_n=0$ получается выразить компоненту $v_r$ через $v_z$ и подставить это во все уравнения. Таким образом я выражаю это граничное условие. Это правильно?

Александр Т. писал(а):

Ну и самое главное. В общем случае Вам нужно ввести еще одну неизвестную функцию - температуру $T(z,r), связать ее с функциями $p(z,r) и $\rho(z,r) при помощи, например, уравнения Менделеева-Клапейрона (это если текучая среда - идеальный газ (который в гидродинамике для того, чтобы не путать с идеальной жидкостью, часто назывют совершенным газом), а для других сред могут быть другие уравнения состояния) и к уравнениям неразрывности и Эйлера (которые Вы уже выписали) добавить уравнение энергии.

Но поскольку Вы рассматриваете невязкую жидкость, то имеет смысл считать ее идеальной (т.е. жидкостью, в которой отсутствуют процессы диссипации энергии) и полагать, что ее движение - адиабатическое. Подробнее об этом можно прочитать в уже упомянутой мной книге "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика" (параграф 2 в издании 1986г.). Советую Вам прочитать этот параграф прежде, чем задавать новые вопросы, на которые я готов ответить.

То есть Вы предлагаете использовать еще дополнительную связь типа $p=A \rho^{\gamma}$? А это поможет в смысле убивания "неудобных" граничных условий?

Александр Т. писал(а):

Честно говоря, я сам этот параграф прочитал (еще раз) и несколько усомнился в своих утверждениях про граничные условия. Сейчас я полагаю, что наиболее "физичные" граничные условия должны в себя включать, кроме условия непротекания через стенки трубы, заданные распределения давления, плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы ("физичнее" было бы, если бы это был торец, через который текучая среда (сжимаемая жидкость) втекает в трубу).

Ну предположим, эти условия как-то можно получить. То есть это что-то типа

$$p(0,r)=f_1(r)$$

$$\rho(0,r)=f_2(r)$$

$$v_n(0,r)=f_3(r)$$

(кстати, почему именно нормальной компоненты скорости? и нормальной к чему? извините за глупый вопрос, конечно)

Александр Т. писал(а):

Распределение температуры при этом найдется из уравнения состояния. Еще понадобится также (в частности для того, чтобы воспользоваться условием адиабатичности движения) уравнение, связывающее внутреннюю энергию с температурой и плотностью. Вместо этого уравнения и уравнения состояния можно использовать одно уравнение, выражающее какой-либо из термодинамических потенциалов (например, внутреннюю энергию) через его канонические переменные (энтропию и плотность для внутренней энергии).

А разве это не усложнит систему? В смысле, если вводить лишние термодинамические параметры? Или это поможет избавиться от лишних граничных условий?

Александр Т. писал(а):

Точнее, массовый расход

$$G=\int\limits_S \rho v_n \,\mathrm{d}S,$$

где $S$ - одно из сечений трубы (вследствии сохранения массы и стационарности течения массовый расход от выбора сечения не зависит). Если задано распределение плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы, то тем самым задается массовый расход. (Для несжимемой жидкости иногда удобнее использовать объемный расход.)

Не очень понятно. А как его задать? Конкретным числом?

Добавлено спустя 3 минуты 15 секунд:

Кстати, а что делать, если задача нестационарная? Какие там еще нужны условия?

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Вы знаете, я пытаюсь получить численное решение в математическом пакете, а он воспринимает только такие условия:

$$v(0,r)=v_1$$

$$v(x,0)=v_2$$

$$\rho(0,r)=\rho_1$$

$$\rho(x,0)=\rho_2$$

$$p(0,r)=p_1$$

При этом он не требует вот этого условия

$$p(x,0)=p_2$$

Этот математический пакет (как и все отстальные) решает только те задачи, методы решения которых в нем запрограммированы. Естественно, что те задачи, которые он умеет решать, могут не иметь какого-либо физического смысла. Во всяком случае, я не могу подобрать какую-либо "физичную" ситуацию к задаче с выписанными выше граничными условиями.

Rat писал(а):

но вот эти два

$$v(x,0)=v_2$$

$$\rho(x,0)=\rho_2$$

остаются крайне неприятными. Я просто не понимаю откуда их брать.

Я - тоже.

Вообще-то не помешало бы, если Вы изложили цель Вашей работы. Это - учебное задание или задача, связанная с проектированием какого-либо устройства?

Rat писал(а):

Краевые условия того вида, что Вы написали, увы, он не воспринимает. Хотя это было бы очень удобно.

Единственное, что я могу посоветовать - это сменить математический пакет (как он называется, кстати?) или (если это позволяют Ваши умения) попытаться самому запрограммировать алгоритм решения краевой задачи, которая имеет физический смысл.

Rat писал(а):

Может он в принципе не решает краевые задачи?

Решает (Вы же выписали выше граничные условия к задаче, которую он решает (я правильно понял?), а это - краевая задача). Но не любые.

Rat писал(а):

Кстати, об одной важной вещи не было упомянуто в моем предыдущем сообщении. У меня из граничного условия непротекания $v_n=0$ получается выразить компоненту $v_r$ через $v_z$ и подставить это во все уравнения.

А Вы осознаете, что это выражение (компоненты $v_r$ через компоненту $v_z$) верно лишь на стенках трубы и, вообще говоря, неверно внутри трубы и на ее торцах?

Rat писал(а):

Таким образом я выражаю это граничное условие. Это правильно?

Таким образом Вы не выражаете это граничное условие, а используете его. И, если Вы осознаете то, о чем я написал выше, то используете правильно. Но я не понимаю, что можно получить от уравнений, выполняющихся лишь на стенках трубы.

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Ну и самое главное. В общем случае Вам нужно ввести еще одну неизвестную функцию - температуру $T(z,r), ...

Но поскольку Вы рассматриваете невязкую жидкость, то имеет смысл считать ее идеальной (т.е. жидкостью, в которой отсутствуют процессы диссипации энергии) и полагать, что ее движение - адиабатическое. Подробнее об этом можно прочитать в уже упомянутой мной книге "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика" (параграф 2 в издании 1986г.). Советую Вам прочитать этот параграф прежде, чем задавать новые вопросы, на которые я готов ответить.

То есть Вы предлагаете использовать еще дополнительную связь типа $p=A \rho^{\gamma}$? А это поможет в смысле убивания "неудобных" граничных условий?

Вряд ли поможет. То, что я предложил, было направлено на то, чтобы задача стала "физичнее".

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

... Сейчас я полагаю, что наиболее "физичные" граничные условия должны в себя включать, кроме условия непротекания через стенки трубы, заданные распределения давления, плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы ("физичнее" было бы, если бы это был торец, через который текучая среда (сжимаемая жидкость) втекает в трубу).

Ну предположим, эти условия как-то можно получить. То есть это что-то типа

$$p(0,r)=f_1(r)$$

$$\rho(0,r)=f_2(r)$$

$$v_n(0,r)=f_3(r)$$

(кстати, почему именно нормальной компоненты скорости? и нормальной к чему? извините за глупый вопрос, конечно)

Нормальной к торцам трубы. А то, что нужны граничные условия для нормальных, а не для касательных компонент - это особенность уравнений Эйлера, т.е. уравнений для движения идеальной жидкости. (Для уравнений Навье-Стокса (которые для вязкой жидкости) нужны также и краевые условия для касательных компонент.)

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Распределение температуры при этом найдется из уравнения состояния. Еще понадобится также (в частности для того, чтобы воспользоваться условием адиабатичности движения) уравнение, связывающее внутреннюю энергию с температурой и плотностью. Вместо этого уравнения и уравнения состояния можно использовать одно уравнение, выражающее какой-либо из термодинамических потенциалов (например, внутреннюю энергию) через его канонические переменные (энтропию и плотность для внутренней энергии).

А разве это не усложнит систему? В смысле, если вводить лишние термодинамические параметры?

Усложнит. Повторю, что мои предложения были направлены на то, чтобы сделать задачу "физичнее".

Rat писал(а):

Или это поможет избавиться от лишних граничных условий?

Вряд ли.

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Точнее, массовый расход

$$G=\int\limits_S \rho v_n \,\mathrm{d}S,$$

где $S$ - одно из сечений трубы (вследствии сохранения массы и стационарности течения массовый расход от выбора сечения не зависит). Если задано распределение плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы, то тем самым задается массовый расход. (Для несжимемой жидкости иногда удобнее использовать объемный расход.)

Не очень понятно. А как его задать? Конкретным числом?

Если массовый расход задавать, то, естественно, задавать его надо конкретным числом. Но в той задаче, которую я Вам предложил, он уже задан, поскольку заданы распределения плотности и нормальной компоненты скорости на одном из торцов трубы. Просто в некоторых задачах (например, для течения вязкой жидкости в трубе) распределение нормальной компоненты скорости (профиль скорости) на входе в трубу не задается, а задается расход.

Rat писал(а):

Кстати, а что делать, если задача нестационарная?

Выписать нестатационарное уравнение неразрывновности и нестатационарные уравнения Эйлера, добавить к тем граничным условиям, которые мы обсуждаем, еще и начальные условия (распределение неизвестных величин по всему объему трубы в некоторый момент времени) и решить полученную задачу. Всего-то навсего.

Rat писал(а):

Какие там еще нужны условия?

Как я уже написал, нужно добавить начальные условия. (Обычно для нестационарных задач добавляются начальные условия, хотя можно придумать нестационарные задачи и с более изощренными условиями (краевыми по времени).)

[Rat]

Александр Т., спасибо за ответ!

Александр Т. писал(а):

Вообще-то не помешало бы, если Вы изложили цель Вашей работы. Это - учебное задание или задача, связанная с проектированием какого-либо устройства?

Это что-то вроде исследовательской задачи...

Александр Т. писал(а):

Единственное, что я могу посоветовать - это сменить математический пакет (как он называется, кстати?) или (если это позволяют Ваши умения) попытаться самому запрограммировать алгоритм решения краевой задачи, которая имеет физический смысл.

Пакет - Mathematica 6.0. Запрограммировать я, наверное, смогу, но на это требуется время. А хотелось бы попытаться разрешить вопрос "малой кровью".

Александр Т. писал(а):

Решает (Вы же выписали выше граничные условия к задаче, которую он решает (я правильно понял?), а это - краевая задача). Но не любые.

Тогда странно.

Александр Т. писал(а):

А Вы осознаете, что это выражение (компоненты $v_r$ через компоненту $v_x$) верно лишь на стенках трубы и, вообще говоря, неверно внутри трубы и на ее торцах?

Как выяснилось, нет
Вот ваш комментарий уже помог найти мне ошибку, причем серьезную...
Тогда я уже ничего не понимаю. Как же записать это граничное условие через компоненты $v_r$ и $v_x$?

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Вообще-то не помешало бы, если Вы изложили цель Вашей работы. Это - учебное задание или задача, связанная с проектированием какого-либо устройства?

Это что-то вроде исследовательской задачи...

Кто Вам дал эту задачу?

Дело в том, что существует целая наука по этой задаче, называемая теорией сопла Лаваля (см. например параграф 97 книги "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика", где эта задача рассмотрена в очень сильном (одномерном) приближении). Поэтому, для того, чтобы помочь Вам целенаправленнее, хотелось бы получить больше информации. Самое главное - предполагается ли сравнение результатов Вашего теоретического исследования с каким-либо экспериментом? Надеюсь, что - нет (слишком уж серьезное это было бы задание), и от Вас требуется лишь продемонстрировать какие-то умения. Тогда, естественно, возникает вопрос какое у Вас образование (инженерное, програмистское и т.п.) и опыт и в каком учреждении (если это - учебное заведение, то какой направленности) Вы проводите свое исследование. С моей стороны это - не праздный интерес.

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

А Вы осознаете, что это выражение (компоненты $v_r$ через компоненту $v_x$) верно лишь на стенках трубы и, вообще говоря, неверно внутри трубы и на ее торцах?

Как выяснилось, нет
Вот ваш комментарий уже помог найти мне ошибку, причем серьезную...
Тогда я уже ничего не понимаю. Как же записать это граничное условие через компоненты $v_r$ и $v_x$?

Вы его уже записали

$$v_r(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0 \text{ при }f(x,r)=0.$$

Отмечу только, что

$$v_r(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x} \ne \vec v \cdot \vec n = v_n = \dfrac {v_r(x,r) \dfrac{\partial f(x,r)}{\partial r} + v_x(x,r) \dfrac{\partial f(x,r)}{\partial x}} {\sqrt {\left(\dfrac{\partial f(x,r)}{\partial r}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f(x,r)}{\partial x}\right)^2}} .$$

[Rat]

Александр Т. писал(а):

Кто Вам дал эту задачу?

Один умный дядя...

Александр Т. писал(а):

Дело в том, что существует целая наука по этой задаче, называемая теорией сопла Лаваля (см. например параграф 97 книги "Ландау, Лифшиц, Гидродинамика", где эта задача рассмотрена в очень сильном (одномерном) приближении).

Да, это я знаю... Но мне надо решить задачу примерно в такой постановке.

Александр Т. писал(а):

Самое главное - предполагается ли сравнение результатов Вашего теоретического исследования с каким-либо экспериментом? Надеюсь, что - нет (слишком уж серьезное это было бы задание), и от Вас требуется лишь продемонстрировать какие-то умения.

Ну... вероятно предполагается. Но Вы не беспокойтесь, есть умный дядя, который будет контролировать процесс.

Александр Т. писал(а):

С моей стороны это - не праздный интерес.

Но почему? Разве это что-то меняет с точки зрения решения задачи?

Александр Т. писал(а):

Вы его уже записали

$$v_r(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0 \text{ при }f(x,r)=0.$$

Да. $f(x,r)=0$, а это приводит, вообще говоря, к выражению такого вида $r = g(x)$ в моем случае. Насколько я понимаю, это значит, что надо подставить это в выражение для условия непротекания

$$v_r(x,g(x)) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,g(x)) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0 \text{ при }f(x,r)=0.$$

А при виде такого выражения, пакет очень пугается и отказывается его воспринимать (полагая, что это ошибка - обе переменные зависят от $x$). Вот это ГУ, собственно, основной вопрос на данный момент.

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

С моей стороны это - не праздный интерес.

Но почему? Разве это что-то меняет с точки зрения решения задачи?

Меняет с точки зрения постановки задачи.

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Вы его уже записали

$$v_r(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,r) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0 \text{ при }f(x,r)=0.$$

Да. $f(x,r)=0$, а это приводит, вообще говоря, к выражению такого вида $r = g(x)$ в моем случае. Насколько я понимаю, это значит, что надо подставить это в выражение для условия непротекания

$$v_r(x,g(x)) \frac{\partial f(x,r)}{\partial r} +v_x(x,g(x)) \frac{\partial f(x,r)}{\partial x}=0 \text{ при }f(x,r)=0.$$

С использованием функции $g(x)$ условие непротекания можно записать в виде

$$v_r(x,g(x)) - v_x(x,g(x)) g'(x) = 0.$$

Условие осесимметричности течения дает еще одно граничное условие для скорости

$$v_r(x,0) = 0.$$

Rat писал(а):

А при виде такого выражения, пакет очень пугается и отказывается его воспринимать (полагая, что это ошибка - обе переменные зависят от $x$). Вот это ГУ, собственно, основной вопрос на данный момент.

Испуг пакета без конкретного кода (после введения которого он этот испуг продемонстрировал) обсуждать не имеет смысла. Matematica ведь не выражения как такового испугалась, а то как оно было проинтерпретировано в коде.

[Rat]

Александр Т. писал(а):

Меняет с точки зрения постановки задачи.

Каким образом?

Александр Т. писал(а):

С использованием функции $g(x)$ условие непротекания можно записать в виде

$$v_r(x,g(x)) - v_x(x,g(x)) g'(x) = 0.$$

Да, так оно у меня и записано.

Александр Т. писал(а):

Испуг пакета без конкретного кода (после введения которого он этот испуг продемонстрировал) обсуждать не имеет смысла. Matematica ведь не выражения как такового испугалась, а то как оно было проинтерпретировано в коде.

И что мне делать?

[Zai]

Rat писал(а):

Я рассматриваю течение сжимаемой жидкости по трубе переменного сечения.

Если переменное сечение изменяется плавно, то это одномерная задача и она решается аналитически. При неплавном изменении сечения возникают значительные погранслои и отрывы и она не имеет решения в рамках идеальной сжимаемой жидкости и необходимо решение Навье-Стокса или Навье-Стокса с моделями турбулентности.

[Александр Т.]

Rat писал(а):

Александр Т. писал(а):

Испуг пакета без конкретного кода (после введения которого он этот испуг продемонстрировал) обсуждать не имеет смысла. Matematica ведь не выражения как такового испугалась, а то как оно было проинтерпретировано в коде.

И что мне делать?

Попробуйте обратиться за помощью и выложить код (или часть кода) на подраздел Околонаучный софт раздела Computer Science этого форума.

[Rat]

Zai в сообщении #134835 писал(а):

Если переменное сечение изменяется плавно, то это одномерная задача и она решается аналитически

Вы имеете в виду проинтегрировать по сечению?
А как определить степень плавности?

Zai в сообщении #134835 писал(а):

При неплавном изменении сечения возникают значительные погранслои и отрывы и она не имеет решения в рамках идеальной сжимаемой жидкости и необходимо решение Навье-Стокса или Навье-Стокса с моделями турбулентности.

А возможно ли это решить в принципе?

Александр Т. в сообщении #134866 писал(а):

Попробуйте обратиться за помощью и выложить код (или часть кода) на подраздел Околонаучный софт раздела Computer Science этого форума.

Мне тут сказали, что mathematica слишком тупая программа, чтобы воспринять такой ввод. Не знаю, так ли это.

[Парджеттер]

Знаете, Rat.
Свести задачу к одномерной - это совет дельный. Решать двух- и трехмерные задачи вообще сложно и без особой надобности этого делать не стоит. А особую надобность надо, вообще говоря, обосновывать.
Если, к примеру, Ваша задача - потвердить какой-то эффект, оценить его величину, то тогда вполне достаточно достаточно грубых приближений. Собственно, в связи с этим, очевидно, у Вас и спрашивали, собственно, физическую суть задачи.