Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Ссылка на статью “Магический квадрат” в русской Википедии не работала случайно. Исправлено, теперь она работает. Спасибо, что указали на эту ошибку.
В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm , где я использую некоторые результаты Александрова, есть такое примечание:
“Примечание: я не указываю ссылки на статьи Г. Александрова, потому что он иногда изменяет названия веб-страниц. Все ссылки на его работы вы можете найти в Википедии, в статье “Магический квадрат”: …”
и там ссылка на Википедию работает и работала с самого начала.
Тому, что я не привела ни одной ссылки на работы Александрова в своей виртуальной книге “Волшебный мир магических квадратов”, у меня есть свои причины, о которых здесь не место рассказывать.
Пользуясь случаем, расскажу об изящном методе построения совершенных магических квадратов, который я нашла в книге Ю. В. Чебракова (о ней рассказал здесь Maxal, более того: он прислал мне эту книгу в подарок). Совершенные квадраты любого порядка строятся с помощью двух латинских обобщённых квадратов. Следует отметить, что на использовании латинских квадратов основаны многие методы построения магических квадратов.
Читайте об этом методе “здесь.

[Butan-fors]

Ну ядрена вошь! Удивительное дело. Читаю дневник Макаровой и впечатление такое будто идет допотопный бульдозер, который натыкается на столбы и беспомощно глохнет. Открываю новую статью Александрова в Википедии - и чувствую легкость, изящество, будто открываю заново Пушкина.

[maxal]

Butan-fors, повторное предупреждение за бессодержательное сообщение и переход на личности. Третьего предупреждения не будет.

[Профессор Снэйп]

Butan-fors писал(а):

Ну ядрена вошь! Удивительное дело. Читаю дневник Макаровой и впечатление такое будто идет допотопный бульдозер, который натыкается на столбы и беспомощно глохнет. Открываю новую статью Александрова в Википедии - и чувствую легкость, изящество, будто открываю заново Пушкина.

Насколько я понял, автор темы --- не профессиональный математик, в отличие от Александрова.

Сомневаюсь, что г-н(жа) Butan-fors способен хотя бы на то, что делает Nataly-Mak. Критиковать просто, создать что-то своё --- значительно труднее.

[Nataly-Mak]

В своей статье я объявила конкурс на лучшую программу построения идеальных квадратов серии порядков n=8k, k=1, 2, 3...
В программе надо было реализовать довольно сложный алгоритм (построение идеальных квадратов доработкой пандиагональных квадратов Франклина).
Недавно я получила письмо. Молодой человек из украинского городка Конотоп составил программу. Он был единственным участником конкурса, а значит, и победителем.
Артём (так зовут этого молодого человека) составил программу (правда не на языке Бейсик, но это даже лучше!) и построил идеальный квадрат 6400-ого порядка! По другой программе для построения идеальных квадратов этой же серии, написанной на Бейсике, мне удалось построить идеальный квадрат только 120-ого порядка. Артём спрашивает меня, какой самый большой магический квадрат мне известен. Конечно, я не знаю магического квадрата порядка больше 6400, да не просто магического, а идеального. А кто-нибудь знает? Я посоветовала Артёму подать заявку в книгу рекордов Гиннеса.
Артём прислал мне квадраты порядков 8, 16, ... 56 и ещё квадрат 6400-ого порядка. Но последний квадрат я не посмотрела - слишком большой. В сжатом виде файл с этим квадратом имеет объём 4 МБ.
Маленькие идеальные квадраты Артёма можно посмотреть здесь.
Ещё замечу, что квадраты, построенный Артёмом, несколько отличаются от квадратов, построенных мной (я построила такие квадраты до порядка 40 вручную). Артём объясняет это тем, что немного доработал мой алгоритм с целью построить как можно больший квадрат.
***
Позвольте задать вопрос, очень мне интересный. Сегодня написала статью “Метод построения идеальных и ассоциативных квадратов нечётного порядка ходом шахматного коня". Статья написана по материалам книги Ю.В. Чебракова, о которой сказано выше. Вопрос такой: является ли Чебраков автором данного метода? Если нет, тогда как давно известен этот очень красивый метод построения и кто его автор? Встречается ли данный метод в более ранних источниках?

[Nataly-Mak]

Работаю над статьёй “Бимагические квадраты” и много брожу по Интернету в поисках информации о таких квадратах.
Maxal, вы ещё решаете задачу построения нетрадиционного бимагического квадрата 5-ого порядка?
Хочу сообщить, что эта задача решена. По ссылке:
http://cboyer.club.fr/multimagie//Engli ... Bima5Cohen
приведены два нетрадиционных бимагических квадрата 5-ого порядка. По незнанию языка не поняла, кто и когда построил эти квадраты.
Нигде пока не удалось найти информацию о традиционном бимагическом квадрате 7-ого порядка. Если кому попадётся, сообщите, пожалуйста.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Maxal, вы ещё решаете задачу построения нетрадиционного бимагического квадрата 5-ого порядка?
Хочу сообщить, что эта задача решена. По ссылке:
http://cboyer.club.fr/multimagie//Engli ... Bima5Cohen
приведены два нетрадиционных бимагических квадрата 5-ого порядка. По незнанию языка не поняла, кто и когда построил эти квадраты.

Нет, не решаю - отложил до лучших времен. А по указанной ссылке квадраты "неправильные" - в них числа повторяются. А вот существование нетрадиционного магического квадрата, состоящего из различных чисел - по-прежнему под вопросом.

[Nataly-Mak]

Кстати, меня давно интересует вопрос: обязательно ли условие различности чисел в нетрадиционном магическом квадрате? Где-нибудь есть каноническое определение нетрадиционных (их иногда называют ещё ненормальными – non-normal, кажется, так по-английски?) магических квадратов?
Потом, можно ведь рассматривать магические квадраты, заполненные не только натуральными числами. Это входит в определение нетрадиционного магического квадрата?
Предлагаю задачу интереснее построения нетрадиционного бимагического квадрата 5-ого порядка (тем более что такие квадраты уже построены, хотя и с одинаковыми числами).
Здесь был представлен бимагический и пандиагональный квадрат 32-ого порядка. Этот квадрат построил китаец Su Maoting в феврале 2006 г. Как я поняла, аналогичный квадрат 8-ого порядка до сих пор не построен. А попытки построить его начаты ещё в прошлом веке. В 1903 году француз Gaston Tarry строит пандиагональный квадрат 8-ого порядка, который является бимагическим, но суммы квадратов чисел по разломанным диагоналям не равны суммам квадратов чисел по строкам, столбцам и главным диагоналям квадрата (см. http://cboyer.club.fr/multimagie/English/Panbimagic.htm )
В 1939 г. бельгиец H. Schots построил пандиагональный квадрат, в котором суммы квадратов чисел по всем диагоналям (как главным, так и разломанным) равны одному и тому же числу, но суммы квадратов чисел в строках и столбцах различны, то есть он даже не бимгический (см. по той же ссылке).
И у француза, и у бельгийца были ещё какие-то результаты, но главный результат, по-моему, так и не достигнут, то есть: не построен такой традиционный пандиагональный квадрат 8-ого порядка, который остаётся магическим и пандиагональным после замены всех его элементов на их квадраты.
И вот совсем недавно Maoting строит такой квадрат 32-ого порядка. Возникает вопрос: существуют ли аналогичные традиционные квадраты меньших порядков?

[Butan-fors]

Я знаю примеры бимагических квадратов восьмого порядка. Но поскольку тут меня за дурака держат, ничего и никому не скажу.

[Butan-fors]

В конце Вашей работы http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm вы пишите: "Понятно, что аналогичным образом можно строить идеальные квадраты следующих порядков n=3(2k+1). Но есть одно “но”: во всех построениях я основывалась на известных идеальных квадратах, из которых брала или начальную цепочку, или номера циклов качания качелей. Остаётся открытым вопрос: как составить два латинских ортогональных квадрата для построения идеального квадрата из указанной серии порядков (то есть нечётного порядка кратного 3), не зная предварительно ничего о том идеальном квадрате, который мы собираемся построить с помощью этих латинских квадратов. Для идеальных квадратов нечётного порядка не кратного 3 эта задача очень легко решается, что было показано в начале данной статьи.

Если бы Хендрикс рассказал, как он строил свои пандиагональные квадраты 15-ого и 21-ого порядка, возможно, что-нибудь прояснилось бы в этом вопросе."

Хендрикс не рассказал, но я посмотрел Вики и там в последней самой статье все замечательным образом рассказано. Бери, как говорится, метод и получай хоть идеальный 21х21, хоть 315х315. Прежде чем утверждать что-то, неплохо бы изучить литературу.

[sceptic]

Описывает свой метод построения магических квадратов.

[Nataly-Mak]

Как я уже сообщала, мне никак не удавалось построить идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Вчера совершенно неожиданно был получен такой квадрат. Он построен с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов. Формула такого построения взята мной из книги Чебракова. Вообще-то в статье я исследовала построение этим методом идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”, а потом поменяла местами первый и второй латинские квадраты и получила неожиданный результат – идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Понятно, что таких квадратов можно построить ровно столько, сколько и квадратов с начальной цепочкой “ход конём”, то есть 1152 (без учёта перестановок строк и столбцов; пока не посчитала, сколько будет перестановок строк и столбцов, сохраняющих идеальность квадратов 12-ого порядка). Вот один из идеальных квадратов 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой:

1  84  31  124  87  101  11  74  32  130  93 102
117  66  133  48  55  16  111  65  143  38  56  22
128  94  105  6  73  36  127  88  99  5  83  26
47  50  20  118  69  138  37  60  19  112  63  137
3  77  35  122  92  106  9  78  25  132  91  100
115  64  135  41  59  14  116  70  141  42  49  24
121  96  103  4  75  29  131  86  104  10  81  30
45  54  13  120  67  136  39  53  23  110  68  142
8  82  33  126  85  108  7  76  27  125  95  98
119  62  140  46  57  18  109  72  139  40  51  17
123  89  107  2  80  34  129  90  97  12  79  28
43  52  15  113  71  134  44  58  21  114  61  144

У Чебракова я не нашла замечания о том, что оба ортогональных латинских квадрата в формуле для построения идеальных квадратов:
cij = n*aij + bij +1
равноправны, то есть их можно менять местами.
Подробности смотрите в статье “Об идеальных квадратах двенадцатого порядка с начальной цепочкой ‘ход конём’”.
Собираюсь исследовать построение идеальных квадратов других чётно-чётных порядков таким методом. На квадрат 8-ого порядка уже посмотрела, в нём начальная цепочка по-прежнему строится ходом шахматного коня, однако с точки зрения метода качелей шаги качания качелей поменялись на симметричные. Ожидаю, что в идеальном квадрате 20-ого порядка получу линейную начальную цепочку. Вот идеальный квадрат 8-ого порядка, построенный таким образом:

1  20  54  15  41  60  30  39
56  10  43  61  32  34  3  21
47  57  28  38  7  17  52  14
29  40  2  19  53  16  42  59
6  23  49  12  46  63  25  36
51  13  48  58  27  37  8  18
44  62  31  33  4  22  55  9
26  35  5  24  50  11  45  64

Несмотря на то, что в этом квадрате сохраняется форма начальной цепочки (“ход конём”), это оригинальный квадрат. Кстати, замечу, что идеальных квадратов 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” методом построения с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов (с последующей перестановкой строк и столбцов) может быть построено 98304. Как сообщали здесь за Александрова, он построил методом цепей только 384 таких квадрата (точнее: 6*64, я правильно умножила? ). Теперь к 98304 квадратам можно добавить новую группу идеальных квадратов (один из которых приведён выше), их тоже будет 98304.

[Butan-fors]

Уважаемая Nataly!
Придется уличить вас в плагиате. В только что написанной вами статье (рис.2) идеальный магический квадрат полностью совпадает с решением на рис. 27 работы http://renuar911.narod.ru/IDEAL_MSa.mht
Совпала даже цепь Александрова. Почему нет ссылок на заимствование?

[maxal]

Christian Boyer предлагает решить следующие 5 задач (которые он назвал "энигмами"-загадками и опубликовал в майско-июньском номере журнала Dossier Pour La Science) и обещает за решение каждой из них 100 евро и бутылку шампанского:

Enigma 1. Построить магический квадрат 3x3 содержащий как минимум 7 различных полных квадратов (а два других числа могут быть произвольными), отличный от единственно известного на данный момент такого квадрата (ну и его всевозможных поворотов, отражений, кратных и т.п.):

$$\begin{bmatrix} 373^2 & 289^2 & 565^2\\ 360721 & 425^2 & 23^2\\ 205^2 & 527^2 & 222121 \end{bmatrix}$$

Enigma 2. Построить бимагический квадрат 5x5, состоящий из различных натуральных чисел.
Эту задачу мы здесь уже обсуждали.


Enigma 3. Построить полумагический квадрат 3x3, состоящий из кубов различных натуральных чисел.


Enigma 4. Построить магический квадрат 4x4, состоящий из кубов различных натуральных чисел.


Enigma 5. Построить мультипликативный магический куб из различных натуральных чисел строго меньших 364. Понятно, что размер стороны такого куба может быть от 3 до 7.

[Nataly-Mak]

Замечательные энигмы! Только что-то уж вознаграждение скромненькое. Или я в евро не сильна? Если считать, что 1 евро=37 руб. (приблизительно, потому что точно не знаю курса), то вознаграждение составит всего 3700 руб. Правильно? Ну, разве за такие деньги стоит голову ломать! Ах, да, ещё ведь бутылка шампанского!
Извините за отступление. Перехожу к делу. Энигму №1 о магическом квадрате третьего порядка, содержащем 7 полных квадратов, я уже где-то видела по приведённой тут раньше ссылке. Сейчас составила небольшую программку для решения этой задачи. Конечно, нужного решения не получила, а получила только “решение в первом приближении”. Но всё равно было интересно. Если поварьировать диапазон чисел в моей программе, может быть, что-то и удастся найти, но мне не хочется. Поэтому дарю свою программку, может быть, кому-нибудь она подскажет хорошие идеи. Программка здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ZAD.txt
Приведу 4 наиболее интересные решения, полученные по этой программе. Там, где 7 полных квадратов и 9 полных квадратов, есть одинаковые числа, а где 5 полных квадратов, все числа различны, как и должно быть по условию задачи.

353^2  94441  245^2  28441  305^2  397^2  355^2  91609  61441

275^2  186025  235^2  85225  325^2  355^2  395^2  25225  135625

245^2  159025  245^2  305^2  305^2  305^2  355^2  27025  355^2

305^2  355^2  245^2  245^2  305^2  355^2  355^2  245^2  305^2

(квадраты записаны построчно, начиная с левой верхней ячейки).
Всего программа выдала 11 решений. Программа выполняется очень быстро даже на Бейсике. Поэтому можно значительно расширить диапазон проверяемых чисел и шаг изменения чисел.
***
А можно добавить одну энигму? В своём сообщении о бимагических квадратах я писала о проблеме построения такого пандиагонального квадрата 8-ого порядка, который остаётся магическим и пандиагональным при замене всех его элементов на их квадраты. Конечно, я плохо искала решение этой задачи в Сети. Вполне возможно, задача уже решена или доказано, что такой квадрат построить невозможно. Если же это не так (то есть задача не решена и не доказана невозможность её решения), предлагаю добавить эту задачу к энигмам, приведённым выше. Подробности в статье “Бимагические квадраты”.
Nataly-Mak предлагает за решение этой задачи ещё более скромное вознаграждение – 50$ (без шампанского!). Готова пожертвовать частью пенсии ради науки. (выплата вознаграждения в рублях по курсу на день выплаты, потому что долларов не имею).
Если же решение этой задачи есть в Сети, прошу дать ссылку (без вознаграждения ).
Maxal, что-то я не увидела в условиях задач “или доказать, что это невозможно”.