Интеграл Лебега

[assik]

Предположим, что имеется последовательность функций $f_n(x)$, непрерывных на $[a,b]$ и ограниченных некоторой суммируемой функцией. Тогда по теореме о предельном переходе

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{[a,b]}f_n(x)dx=\int_{[a,b]}f(x)dx. $$

Можно ли исходя из этого утверждать, что предельная функция интегрируема также по Риману на $[a,b]$

$$ \int_{a}^{b}f(x)dx\quad ? $$

[mihaild]

Вообще пример последовательности интегрируемых функций, поточечно сходящейся к неинтегрируемой, вы можете привести?

[assik]

mihaild в сообщении #1338943 писал(а):

вы можете привести

Нет, но насколько я помню, для интегрируемости предельной функции необходимо наличие равномерной сходимости функциональной последовательности. Здесь про это ничего не сказано.

[mihaild]

assik в сообщении #1338945 писал(а):

для интегрируемости предельной функции необходимо наличие равномерной сходимости функциональной последовательности

Не необходима, конечно (можно легко придумать последовательность функций, неравномерно сходящуюся к интегрируемой).
Ну давайте тогда первая подсказка: можете придумать последовательность непрерывных функций, поточечно сходящуюся к разрывной?

[assik]

mihaild в сообщении #1338948 писал(а):

можете придумать

не смог)

[mihaild]

Попробуйте подумать больше 10 минут.
(и посмотреть доказательство того, что для равномерной сходимости так не бывает - возможно, наведет на какие-то мысли)

[assik]

mihaild в сообщении #1338954 писал(а):

Попробуйте подумать больше 10 минут

$f_n(x)=x^n$ на отрезке $[0,1]$.

[mihaild]

Правильно. Теперь попробуйте придумать последовательность непрерывных на $[0; 1]$ функций, поточечно сходящуюся к скажем функции, равной $1$ в точках $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$ и $0$ в остальных.
И заодно придумать (или вспомнить) пример функции, интегрируемой по Лебегу, но не по Риману.

[assik]

mihaild в сообщении #1338957 писал(а):

интегрируемой по Лебегу, но не по Риману.

функция Дирихле

[assik]

mihaild в сообщении #1338957 писал(а):

поточечно сходящуюся к скажем функции, равной $1$ в точках $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$ и $0$ в остальных.

наверное не самый удачный пример, но все же

$$ f_n(x)=\cos^n\left(\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(\frac{3}{5}-x\right)\right). $$

[Otta]

Где-то в дебрях известных классических примеров (по несколько другому поводу) есть любопытная последовательность
$f_n(x)=\cos 2\pi n! x$.
Посмотрите на нее.

[mihaild]

Так, теперь следующие два пункта (они сложнее, но из них уже понятно, как получить ответ):
-пусть у нас есть произвольное замкнутое подмножество отрезка; как его индикатор представить в виде предела последовательности непрерывных функций?
-какое есть замкнутое множество положителной меры без внутренних точек? (если про канторову пыль знаете - попробуйте ее обобщить; если не знаете - почитайте, придумать это сложно)
Ну и доказать, что индикатор замкнутого множества положительной меры не интегрируем по Риману.
UPD: без внутренних точек, конечно.

[assik]

mihaild в сообщении #1339225 писал(а):

как его индикатор представить в виде предела последовательности непрерывных функций

Такая последовательность подойдет?

$$ f_n(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} \left(\frac{x-A}{a-A}\right)^n,&\quad& A\leq x <a,\\ 1,\quad &\quad& a \leq x \leq b,\\ \left(\frac{x-B}{b-B}\right)^n, &\quad& b< x\leq B. \end{array} \right. $$

[Otta]

assik
Там в пределе индикатор не произвольного замкнутого множества, а совершенно специфического. Какого?
Однако, у mihaild какой-то свой замысел, может, мне кажется, но в результате вы решаете задачу сильнее заявленной.
А указанную мной последовательность не придумали, как до ума довести? )

[assik]

Otta в сообщении #1339368 писал(а):

А указанную мной последовательность не придумали, как до ума довести? )

Пример действительно любопытный. Насколько я могу судить она сходится в рациональной точке к 1, а в иррациональной расходится.