Интеграл Лебега

[Otta]

Да. Но для Ваших целей интересней смотреть, чему она равна в рациональных точках (начиная с больших номеров). И что не равна тому же числу вне. Тогда ее можно немножко подправить и получится готовый контрпример к Вашему стартовому посту.

[Otta]

Вот сутки подумайте, не придумаете - я напишу. Правда, пример классический, не я придумала, однако ж его основную составляющую я подсказала.

[assik]

Otta в сообщении #1339434 писал(а):

немножко подправить

так, чтобы она оставаясь непрерывной при всех $n$ стремилась к неинтегрируемой функции?

[Otta]

Да, я не выхожу за пределы Вашего стартового поста. Вы же только это хотели.

Upd. Не, не выйдет подправить. Сценарий mihaild, по крайней мере, на идейном уровне препятствий не имеет. Попробуйте там.

[assik]

mihaild в сообщении #1339225 писал(а):

Так, теперь следующие два пункта (они сложнее, но из них уже понятно, как получить ответ):
-пусть у нас есть произвольное замкнутое подмножество отрезка; как его индикатор представить в виде предела последовательности непрерывных функций?
-какое есть замкнутое множество положителной меры без внутренних точек? (если про канторову пыль знаете - попробуйте ее обобщить; если не знаете - почитайте, придумать это сложно)
Ну и доказать, что индикатор замкнутого множества положительной меры не интегрируем по Риману.
UPD: без внутренних точек, конечно.

Нашел подходящий пример замкнутого множества положительной меры - множество Смита – Вольтерра – Кантора. Индикатор этого множества действительно не интегрируем по Риману на отрезке $[0,1]$, по той же причине по которой не интегрируема и функция Дирихле. Но как индикатор представить в виде предела последовательности непрерывных функций?

[mihaild]

Ну подумайте. Подсказка: можете ли вы для любого замкнутого множества придумать непрерывную функцию, которая равна $0$ на нем и отлична от $0$ вне него?

[assik]

mihaild в сообщении #1339962 писал(а):

которая равна $0$ на нем и отлична от $0$ вне него?

Например

$$ f(x)=\inf\left\{|x-y|,\,y\in A\right\},\quad A\subset [0,1]. $$

[mihaild]

Ага, правильно. Как теперь:
-сделать функцию, равную $1$ в точках $A$ и меньшую $1$ вне $A$?
-сделать последовательность непрерывных функций, сходящуюся к индикатору $A$?

[assik]

mihaild в сообщении #1340132 писал(а):

Ага, правильно. Как теперь:
-сделать функцию, равную $1$ в точках $A$ и меньшую $1$ вне $A$?
-сделать последовательность непрерывных функций, сходящуюся к индикатору $A$?

$$ f(x)=\inf\left\{|x-y|,\,y\in A\right\},\quad A\subset [0,\,1], $$

$$ F_n(x)=\frac{1}{\left[1+f(x)\right]^n}\,. $$

[mihaild]

Да, так. Собственно всё необходимое для решения уже прозвучало, понятно, как его собрать?

[assik]

mihaild в сообщении #1340401 писал(а):

понятно, как его собрать?

Кажется понятно. Мы имеем последовательность непрерывных функций, сходящуюся к индикатору некоторого множества $A$ подмножества отрезка $[a,\,b]$. При этом $A$ имеет ненулевую меру. Таким образом множество точек разрыва индикаторной функции на $[a,\,b]$ не имеет нулевую меру, и потому не удовлетворяет критерию Лебега интегрируемости функции по Риману.

[assik]

mihaild в сообщении #1338943 писал(а):

Вообще пример последовательности интегрируемых функций, поточечно сходящейся к неинтегрируемой, вы можете привести?

Добрый день mihaild ! Предположим, что последовательность $f_n(x)$ при любом $n$ строго возрастает

$$ f_n(x_1)<f_{n}(x_2), \quad \forall x_1,\,x_2\in [a,\,b] $$

и сходится поточечно к ограниченной функции $f(x)$ на $[a,\,b]$. Тогда $f(x)$ будет монотонно неубывающей. Насколько я понимаю, такая функция будет интегрируемой по Риману на отрезке $[a,\,b]$, так как множество его точек разрыва счетно. Это верно?

[mihaild]

(это уже отдельный вопрос - для него ИМХО стоит создать отдельную тему)
Какой из пунктов вызывает неуверенность - что $f$ получится монотонной, или что монотонная функция обязательно интегрируема?

[assik]

mihaild в сообщении #1341376 писал(а):

Какой из пунктов вызывает неуверенность

Будет ли $f(x)$ интегрируема на $[a,\,b]$ ?

[mihaild]

Не вырывайте цитату из контекста. Ну ладно, можно написать более подробно (в стиле черепахи Кэрролла):
1. $f$ монотонна
2. Всякая функция монотонна, то она интегрируема
3. Если 1 и 2 выполнены, то $f$ интегрируема

(Оффтоп)

4. Если 1, 2 и 3 выполнены, то $f$ интегрируема