Интеграл Лебега

[assik]

mihaild
Постараюсь сформулировать проблему иначе. Пусть $f_n(x)$ последовательность непрерывных и строго возрастающих на $[a,\,b]$ функций. Предположим, что она сходится поточечно к ограниченной функции $f(x)$ в $[a,\,b]$ . Будет ли $f(x)$ интегрируема на сегменте $[a,\,b]$ ?

[mihaild]

Мы так никуда не уедем...
Вы привели задачу и попытку решения (в последнем сообщении добавили еще непрерывность, но она ни на что не влияет). Ваше решение разбивается на 3 утверждения (см. выше). Какие из них у вас вызывают сомнение?

[assik]

mihaild
1 и 2.

[mihaild]

Ну хорошо, давайте выберем для начала какой-то из них. Например первый.
Пусть $f$ получилась немонотонная, т.е. для некоторых $x < y$ получилось $f(x) > f(y)$. Или, что то же самое, для некоторого $\varepsilon > 0$ получилось $f(x) - f(y) > 2\varepsilon$. Теперь из этого можно попробовать как-то получить, что одна из $f_n$ не была неубывающей. Как это можно сделать?
(тут понятно понадобится воспользоваться поточечной сходимостью)

[assik]

mihaild

$$ 2\varepsilon<f(x)-f(y)=\left(f(x)-f_n(x)\right)+\left(f_n(y)-f(y)\right)+\left(f_n(x)-f_n(y)\right)< $$

$$ <\left|f(x)-f_n(x)\right|+\left|f_n(y)-f(y)\right|+\left(f_n(x)-f_n(y)\right)<2\varepsilon+\left(f_n(x)-f_n(y)\right)\Longrightarrow $$

$$ \Longrightarrow 0<f_n(x)-f_n(y),\quad n>N(\varepsilon), $$

из чего следует, что начиная с некоторого номера $f_n$ может убывать.

[mihaild]

Ага. По первому пункту еще вопросы есть?
По второму - в зависимости от уже известного про интегрируемость нужно либо честно написать что-то про интегральные суммы, либо использовать критерий Лебега.

[assik]

mihaild
Вопросов нет. Спасибо)