Что Вас потрясло в математике?

[Munin]

Dmitriy40
Вы неправы. "Сокращение" в математике вообще не приветствуется, поскольку математики - люди точные и педантичные. А в пределах встречается, но в другом случае: для пределов последовательностей вида $\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$ Поскольку последовательность общепринято определена на $\mathbb{N},$ то никакой другой бесконечности там нет, и опускать плюс безопасно. (Вообще, там никакой другой точки сгущения вообще нет, и для более продвинутого читателя можно было бы вообще ничего при $\lim$ не указывать...) Но как только мы подразумеваем аргументом выражения под пределом даже не $x\in\mathbb{R},$ а ещё только $n\in\mathbb{Z},$ как халява кончается, и всё надо указывать чётко.

А RIP говорит о свойствах функции $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x,$ и боюсь, скоро выйдет уже в комплексную плоскость :-)

[Dmitriy40]

Ну не знаю, может это только конкретно в этом вот пределе такое соглашение и тогда небрежность именно в неуказании этого соглашения (или плюс-минус или модуля) явно, я же говорил скорее про всю математику, например в пределе $\lim\limits_{x\to\infty}(1-e^{-x})$ знак плюс у бесконечности принципиален и минус туда подставлять нельзя. Или его всегда указывают явно $+\infty$? Тогда да, не прав.

[RIP]

Dmitriy40 в сообщении #1336360 писал(а):

в пределе $\lim\limits_{x\to\infty}(1-e^{-x})$ знак плюс у бесконечности принципиален

И поэтому этот предел не существует (в том виде, как написано). Если только явно не указано, что здесь рассматриваются только $x>0$. Это если по-хорошему.

Хотя на самом деле это вопрос соглашений. Возможно, что в каких-то учебниках под $\infty$ понимают именно «положительную бесконечность» (главное — быть последовательным). В любом случае второй замечательный предел включает в себя оба равенства $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ и $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1336360 писал(а):

например в пределе $\lim\limits_{x\to\infty}(1-e^{-x})$ знак плюс у бесконечности принципиален и минус туда подставлять нельзя.

И поэтому, если вы видели такой предел (со значением) без плюса, то это либо безалаберность студента, либо безалаберность преподавателя (иногда бывает). Преподаватели такого стараются не допускать, а авторы книг - тем более.

[Dmitriy40]

А, вот в чём дело, значит это я плохо запомнил что именно видел, понятно. Ок, был не прав.

[Ktina]

Gagarin1968 в сообщении #1336294 писал(а):

Так это ж элементарно.

Иногда элементарные вещи удивляют больше, чем заумные. Вы никогда не удивлялись, почему если любой многогранник бросить на стол, сколько бы он ни катался, рано или поздно остановится? А ведь этот факт объединяет в себе одновременно и физический закон и математическую теорему! Кажется, на эту тему у Гарднера было, надо поискать...

[eugensk]

Ktina в сообщении #1336369 писал(а):

Кажется, на эту тему у Гарднера было, надо поискать...

Чтобы было понятно, чему удивиться, было бы здорово иметь ссылку. На мои tossing polyhedra гугл не находит ничего :(

[Ktina]

eugensk в сообщении #1336371 писал(а):

Ktina в сообщении #1336369 писал(а):

Кажется, на эту тему у Гарднера было, надо поискать...

Чтобы было понятно, чему удивиться, было бы здорово иметь ссылку. На мои tossing polyhedra гугл не находит ничего :(

См. книгу Гарднер М.Математические новеллы.Пер.с англ.Ю.А.Данилова,под ред.Я.Л.Смородинского,
Москва, "Мир",1974г.,стр.353,358

[eugensk]

Спасибо!

Цитата:

3. Правильный выпуклый многогранник можно
поставить на горизонтальную плоскость любой гранью.
Поскольку центр тяжести правильного многоугольника
совпадает с его центром, положение его будет
устойчиво, на какую бы грань его ни поставили. Нетрудно
построить неправильные многогранники, которые, если их
поставить некоторыми гранями на горизонтальную
плоскость, будут неустойчивы и опрокинутся. Можно ли
построить модель такого неправильного многогранника,
который будет неустойчив, на какую бы грань его ни
поставили?

И ответ отрицательный, потому что иначе был бы возможен вечный двигатель.
Действительно интересно, насколько сложно это доказать геометрически. Центр тяжести или его проекция на грань - геометрические понятия.

[Munin]

Рассмотрите множество расстояний от центра масс многогранника до плоскостей его граней.

[grizzly]

Ой, а я не понял про вечный двигатель. Получается, что такое доказательство работает в любом пространстве, не обязательно евклидовом? Тогда это неплохой кросс-геометрический метод.

[Munin]

Боюсь, в таком пространстве должны быть расстояния; повороты, которые сохраняют расстояния; и какой-то смысл у слова "опрокинется".

[eugensk]

Munin в сообщении #1336378 писал(а):

Рассмотрите множество расстояний от центра масс многогранника до плоскостей его граней.

Ну да, надо как-то показать, что если проекция центра выступает за грань, то он обязательно оказывается ближе к смежной (и какой именно? ясно, что не произвольной из соображений статики) грани. Мне вообще непонятно, как это можно сделать, но это-то как раз неудивительно :)

ps. Да, еще каким-то образом оказывается важным, что проекция ортогональна, для неортогональной уже не работает .. Неортогональную проекцию сложно определить: направление зависит от того, через какие ребра пришли к грани.

[Munin]

Рассмотрите взаимное расположение двух пересекающихся плоскостей и не лежащей на них точки.

[Portnov]

Можно ещё так рассуждать: если многогранник всё время опрокидывается, значит, центр тяжести становится каждый раз ниже, чем на предыдущей грани (чтобы потенциальная энергия $mgh$ уменьшалась); значит, последовательность высот центра тяжести $h_n$ всё время убывает (но при этом она ограничена снизу нулём). Такую последовательность, в принципе, придумать можно (тупо $h_n = 1/n$, $n = 1\ldots\infty$); но, конкретно для многогранника эта последовательность не может принимать больше чем $N$ значений, где $N$ — количество граней (конечное). Вот бесконечно убывающих последовательностей с конечным множеством значений — не бывает, значит и многогранников таких не бывает.

Напрашивается продолжение (уже больше математическое, чем физическое): а если граней бесконечное множество (т.е. это уже не многогранник, а, например, шар, конус или что-то такое гладкое)? Соответствующая последовательность (функция) высот центра тяжести тогда математически возможна (именно если просто подбирать функцию с заданными свойствами, забыв, что это должна быть именно высота центра тяжести). Остаётся придумать соответствующий пример тела с такой последовательностью — и я подозреваю, что это возможно, только тело получится в стиле парадокса Банаха-Тарского (т.е. уже совсем не имеющее отношения к физически возможным телам).