Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)

[vicvolf]

grizzly Я же пишу, что хочу доказать это. Я пока не доказал. Наверно потребуются некоторые дополнительные условия, например, ограниченность слагаемых функций или что-то другое. Я думаю над этим вопросом, поэтому контрпример пока приводить не к чему. Это очень серьезный вопрос, который потребует значительного времени.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1336329 писал(а):

Я же пишу, что хочу доказать это.

Вы просто сформулируйте чётко, что Вы хотите доказать. Со всеми дополнительными условиями. (Я Вас ни в коем случае не тороплю с этой формулировкой -- математика не терпит суеты.)

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1336331 писал(а):

vicvolf в сообщении #1336329 писал(а):

Я же пишу, что хочу доказать это.

Вы просто сформулируйте чётко, что Вы хотите доказать. Со всеми дополнительными условиями. (Я Вас ни в коем случае не тороплю с этой формулировкой -- математика не терпит суеты.)

Для того, чтобы четко это сформулировать со всеми дополнительными условиями, то это надо доказать.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1335709 писал(а):

Очевидно, что vicvolf не планирует выполнять учебные упражнения. Что ж, раз я обещал дать доказательство, я сделаю это.
Упражнение 2. Существует класс функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$, но для которых всё ещё выполнено так называемое Условие АН.
Доказательство. Пусть функция $f$ такая, что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$.
Рассмотрим в использованных ранее обозначениях $|(1)-(2)|$:

$$ |(1)-(2)|=\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)=\frac{2(S[|f|,n])^2}{(n-1)^3}=o(1). $$

Следовательно, для любой функции $f$, такой что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$ выполняется условие АН. Очевидно, что среди таких функций найдётся множество функций (не обязательно знакопостоянных), у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

(Оффтоп)

Ну выполнил я ещё раз вместо ТС упражнение по матанализу для первого курса, а зачем? Как будто бы я в этом нуждаюсь. В этом разделе ТС должен отвечать на вопросы остальных, а не наоборот. А ТС только и делает, что голословно разбрасывается лживыми утверждениями, будто может что-то доказать -- и даже не извиняется, когда его ловят на горячем.

То, что эта тема до сих пор не попала в Пургаторий, вопиющая несправедливость по отношению ко всем честным фрикам, которые были забанены на нашем форуме за агрессивное невежество.

Значит пишите, что упражнение для 1-ого курса. Тем более стыдно - у Вас здесь ошибка. Поэтому у Вас нет морального права давать задания, которые сами решить не можете.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1336803 писал(а):

Значит пишите, что упражнение для 1-ого курса. Тем более стыдно - у Вас здесь ошибка. Вот в этом переходе:
$\frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)=\frac{2(S[|f|,n])^2}{(n-1)^3}$
Поэтому у Вас нет морального права давать задания, которые сами решить не можете.

В упор не вижу ошибки.

[vicvolf]

Вот здесь:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)$
Требуется предположение знакопостоянства функции $f(k)$.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1336806 писал(а):

Вот здесь:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)$
Требуется предположение знакопостоянства функции $f(k)$.

Не требуется.

[vicvolf]

Пожалуйста, поясните?

[g______d]

А что тут пояснять? Кроме неравенства треугольника, ничего не используется. Цитированная формула даже для комплексных $f$ верна.

[vicvolf]

Но тогда:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$

[g______d]

vicvolf в сообщении #1336813 писал(а):

Но тогда:
$\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$

Это тоже верно. И что?

[vicvolf]

$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 \geq \sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$ только при условии знакопостоянства $f(k)$.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1336819 писал(а):

$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 \geq \sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}})$ только при условии знакопостоянства $f(k)$.

Нет.

[vicvolf]

$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 =\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}}+\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1 (i \not=j)}^n {f(i)f(j)}$
Если $f(i)$ и $f(j)$ разных знаков, то $\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}} > \Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1336822 писал(а):

$\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2 =\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}}+\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1 (i \not=j)}^n {f(i)f(j)}$

Нет. Подставьте $n = 2$, $f(1) = 1$, $f(2) = -1$. Слева $4$, справа $2$.