Нормаль к кривой - геометрические построения

[Профессор Снэйп]

PAV писал(а):

Например, та же синусоида. Ее саму построить циркулем и линейкой нельзя, но если она уже дана, то возможно эта дополнительная информация позволяет провести какие-то построения, которые "с нуля" невозможны.

Ну да, согласен. Если синусоида "дана" (то есть уже кем-то нарисована), то, считай, даны два отрезка, отношение длин которых равно числу $\pi$.

Кстати, квадратура круга будет в таком разе разрешима или всё же нет?

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Если синусоида "дана" (то есть уже кем-то нарисована), то, считай, даны два отрезка, отношение длин которых равно числу $\pi$.

Где эти два отрезка?

[ewert]

TOTAL писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Если синусоида "дана" (то есть уже кем-то нарисована), то, считай, даны два отрезка, отношение длин которых равно числу $\pi$.

Где эти два отрезка?

Расстояние между корнями и высота соотв. серединного перпендикуляра.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, квадратура круга будет в таком разе разрешима или всё же нет?

Безусловно разрешима. Осталось только нарисовать синусоиду циркулем и линейкойю Ну это раз плюнуть.

[TOTAL]

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Если синусоида "дана" (то есть уже кем-то нарисована), то, считай, даны два отрезка, отношение длин которых равно числу $\pi$.

Где эти два отрезка?

Расстояние между корнями и высота соотв. серединного перпендикуляра.

Какие ёщё корни? На плоскости нарисована синусоида, осей координат нет.

[ewert]

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

Если задано направление оси $Ox$, то легко строятся касательные к $y=\sin(x)$ и к $y=x^k$ при натуральном $k$.

почему только при натуральном?

Не зная, где находится начало координат, я могу только при натуральном.

почему? Для данной точке на графике высота зафиксирована, а второй катет (такого треугольника, чтоб гипотенуза была касательной) относится к высоте как показатель степени. Вполне достаточно его рациональности. И даже иногда при иррациональных сойдёт (скажем, если корень из двух).

Добавлено спустя 3 минуты 39 секунд:

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

Где эти два отрезка?

Расстояние между корнями и высота соотв. серединного перпендикуляра.

Какие ёщё корни? На плоскости нарисована синусоида, осей координат нет.

Есть. Ибо TOTAL писал:

Цитата:

Если задано направление оси $Ox$, то ...

[TOTAL]

ewert писал(а):

Для данной точке на графике высота зафиксирована, а второй катет (такого треугольника, чтоб гипотенуза была касательной) относится к высоте как показатель степени.

Даны только направление осей, высота неизвестна.

[ewert]

Ну так нечестно!

[TOTAL]

ewert писал(а):

Есть. Ибо TOTAL писал:

Цитата:

Если задано направление оси $Ox$, то ...

Профессор Снэйп не потребовал направления осей.

[ewert]

думаю, что подразумевал; хотя, возможно, я его и неправильно понял.

----------------------------------------------
да, кстати. Если мы не собираемся привлекать ни осей, ни вообще ничего дополнительного, то как построить нормаль ну к тому же эллипсу?

----------------------------------------------
и ещё кстати. Вам корни не нравятся, да? -- ну так возьмите три соседних "квазикорня", т.е решения уравнения $\sin x+a=0$ (с неизвестным и неважно каким $a$). А потом постройте два соотв. соседних серединных перпендикуляра. Ровно с тем же эффектом.

[TOTAL]

ewert писал(а):

и ещё кстати. Вам корни не нравятся, да? -- ну так возьмите три соседних "квазикорня", т.е решения уравнения $\sin x+a=0$ (с неизвестным и неважно каким $a$). А потом постройте два соотв. соседних серединных перпендикуляра. Ровно с тем же эффектом.

Увы, без направления осей могу взять три соседних "квази-квази-квазикорня",
т.е решения уравнения $\sin x+ax+b=0$ (с неизвестным и неважно каким $a, b$).

Я обещал построить касательную, только если известно направление оси.

[ewert]

я чего-то совершенно запутался. Вы собирались фиксировать только направления осей (как раньше) -- или только положение центра (как сейчас)?

[Профессор Снэйп]

Да, что-то я действительно про оси недоговорил и недодумал. Так что предлагаю рассмотреть 3 вопроса (под построением везде понимается построение при помощи циркуля, линейки и тех дополнительных данных, которые отдельно оговорены в каждом вопросе).

1) Даны синусоида и оси (то есть нарисована кривая --- график синусоиды и две прямых $Ox$, $Oy$). Разрешима ли квадратура круга? Сложность я вижу в том, что отрезок длины $\pi$ у нас, безусловно, есть, но ведь нам надо $\sqrt{\pi}$, а не $\pi$.

2) Дана только синусоида, то есть график функции $y=\sin x$ и ничего более (ни самих осей, ни их направлений). Можно ли построить "направления осей" (то есть пару прямых, параллельных осям $Ox$ и $Oy$.

3) Дано направление оси $Ox$ (то есть какая-то прямая, параллельная этой оси) и синусоида. Можно ли построить саму ось $Ox$?

[ИСН]

3 - даже не вопрос. Прямая, параллельная оси, будет нарезана синусоидой на такие, как бы сказать, sort of хорды. Серединные перпендикуляры к ним дадут нам... всё.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Да, что-то я действительно про оси недоговорил и недодумал. Так что предлагаю рассмотреть 3 вопроса (под построением везде понимается построение при помощи циркуля, линейки и тех дополнительных данных, которые отдельно оговорены в каждом вопросе).

1) Даны синусоида и оси (то есть нарисована кривая --- график синусоиды и две прямых $Ox$, $Oy$). Разрешима ли квадратура круга? Сложность я вижу в том, что отрезок длины $\pi$ у нас, безусловно, есть, но ведь нам надо $\sqrt{\pi}$, а не $\pi$.

Для вычисления этого корня надо знать отношение масштабов на осях $Ox$, $Oy$

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Да, что-то я действительно про оси недоговорил и недодумал. Так что предлагаю рассмотреть 3 вопроса (под построением везде понимается построение при помощи циркуля, линейки и тех дополнительных данных, которые отдельно оговорены в каждом вопросе).

1) Даны синусоида и оси (то есть нарисована кривая --- график синусоиды и две прямых $Ox$, $Oy$). Разрешима ли квадратура круга? Сложность я вижу в том, что отрезок длины $\pi$ у нас, безусловно, есть, но ведь нам надо $\sqrt{\pi}$, а не $\pi$.

2) Дана только синусоида, то есть график функции $y=\sin x$ и ничего более (ни самих осей, ни их направлений). Можно ли построить "направления осей" (то есть пару прямых, параллельных осям $Ox$ и $Oy$.

3) Дано направление оси $Ox$ (то есть какая-то прямая, параллельная этой оси) и синусоида. Можно ли построить саму ось $Ox$?

2). Боюсь, что нет.

3). Да, конечно.