Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)

[g______d]

vicvolf в сообщении #1335517 писал(а):

Я доказал похожее утверждение, что если сумматорная функция удовлетворяет условию - $S(n)=mn+o(n)$, то она является асимптотически независимой, в указанном мною смысле, при этом $m \geq 0$.

Сама $f$ предполагается неотрицательной?

Если да, то можно использовать тот факт, что $\sum_{k=1}^n f(k)^2\le S[f,n]^2$ и получить точно так же $(1)-(2)=O(1/n)$, длина доказательства от этого не изменится.

Если $f$ не предполагается отрицательной, то $S[f,n]=O(n)$ недостаточно, пример $f(k)=(-1)^k k$.

Если $S[f,n]=mn+o(n)$, то, опять же, никакого $(1)-(2)=O(1/n)$ не получится, пример что-нибудь типа $f(k)=m+\frac{(-1)^k k}{\log(1+k^2)}$.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335581 писал(а):

grizzly в сообщении #1335577 писал(а):

подумайте о том, как обобщить и доказать его для некоторого класса функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

Это не выполняется. Впрочем докажите?

Очевидно, что vicvolf не планирует выполнять учебные упражнения. Что ж, раз я обещал дать доказательство, я сделаю это.

Упражнение 2. Существует класс функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$, но для которых всё ещё выполнено так называемое Условие АН.
Доказательство. Пусть функция $f$ такая, что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$.
Рассмотрим в использованных ранее обозначениях $|(1)-(2)|$:

$$ |(1)-(2)|=\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)=\frac{2(S[|f|,n])^2}{(n-1)^3}=o(1). $$

Следовательно, для любой функции $f$, такой что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$ выполняется условие АН. Очевидно, что среди таких функций найдётся множество функций (не обязательно знакопостоянных), у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

(Оффтоп)

Ну выполнил я ещё раз вместо ТС упражнение по матанализу для первого курса, а зачем? Как будто бы я в этом нуждаюсь. В этом разделе ТС должен отвечать на вопросы остальных, а не наоборот. А ТС только и делает, что голословно разбрасывается лживыми утверждениями, будто может что-то доказать -- и даже не извиняется, когда его ловят на горячем.

То, что эта тема до сих пор не попала в Пургаторий, вопиющая несправедливость по отношению ко всем честным фрикам, которые были забанены на нашем форуме за агрессивное невежество.

[vicvolf]

Я занимаюсь свойствами сумматорных арифметических функций. т.е. арифметических функций вида $S(x)=\sum\limits_{n \leq x} {f(n)}$, где $f(n)$ - арифметическая функция. Меня интересуют их предельные распределения, оценки сверху, снизу и.т.д. Естественно меня заинтересовали сумматорные арифметические функции, на которых основаны эквивалентные формулировки гипотезы Римана: $M(x),L(x),\pi(x)$ и функции Чебышева. Начал я с функций Мертенса и Лиувилля, так их слагаемые мне показались более простыми. В отношении этих функций мне удалось доказать соотношение: $(1)-(2)=o(1/n)$. Позже расскажу, зачем это нужно. Кстати сумматорная функция $\pi(x)$ также обладает этим свойством. Слагаемые указанных функций $f(n)$ были ограничены. Потом мне удалось доказать, что функции Чебышева обладают свойством $(1)-(2)=O(1/n)$, хотя у функции Чебышева слагаемые не ограничены. Точнее мне удалось доказать это для функций вида $S(x)=mx+o(x)$, когда слагаемые одного знака. Это делается не сложно, как показал g____d. Напомню, что функции Чебышева имеют асимптотику: $x+o(x)$.

Утверждение
Если сумматорная арифметическая функция $S(x)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ имеет слагаемые функции $f(k)$ одного знака, то выполняется:
$(1)-(2)=\frac {O(S^2(n))} {n^3}$. (6)

Доказательство

На основании (5):
$(1)-(2)= (O((\sum\limits_{k=1}^n {f(k))^2+O(\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k))/ {n^3}$. (7)

Учтем, что:
$S^2(n)=(\sum\limits_{k=1}^n {f(k))^2=\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)} +\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1, (i \not=j)}^n {f(i)f(j)}$. (8)

Если слагаемые $f(k)$ одного знака, то на основании (8):
$O(S^2(n)) \geq O(\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)} )$. (9)

Учитывая (9) в (7) получим:
$(1)-(2)=\frac {O(S^2(n))} {n^3}+\frac {O(S^2(n))} {n^3}=\frac {O(S^2(n))} {n^3}$, что соответствует (6).

Обратим внимание, что никаких условия по ограниченности $f(k)$ не использовались.

Следствие

Если $S(n)=O(n)$ и слагаемые сумматорной арифметической функции не меняют знак, то на основании (6): $(1)-(2)=O(1/n)$. (10)

Таким образом, существует два класса функций, удовлетворяющих условию (10):
1. Слагаемые сумматорной арифметической функции не ограничены, они не меняют знак и для сумматорной функции выполняется условие $S(n)=O(n)$.
2. Слагаемые сумматорной арифметической функции ограничены, для сумматорной функции выполняется $S(n)=o(n)$ или $S(n)=O(n)$ и знак слагаемых арифметических функций может меняться.
Кстати к последнему классу относятся все арифметические функции количества. Например, количество простых чисел, количество чисел свободных от квадратов и.т.д. Для функций количества выполняется $f(k)=1$.

Почему я так подробно рассматриваю классы сумматорных арифметических функций, удовлетворяющих условию асимптотической независимости слагаемых. Ну во-первых просто интересно найти все такие сумматорные аоифметические функции. А во-вторых А. Я. Хинчин в своих исследованиях сумматорных функций считал, что если для слагаемых сумматорных функций выполняется свойство (10). Кстати grizzly он называет это асимптотической независимостью слагаемых сумматорных функций, то оценка сверху стандартного отклонения для данных сумматорных функции равна $O(n^{1/2})$.

Кстати отвечаю Lia стандартное отклонение для арифметических функций существует, так как если существует среднее значение арифметической функции, то существует и отклонение значений арифметической функции от среднего значения.

-- 31.08.2018, 15:38 --

grizzly в сообщении #1335709 писал(а):

vicvolf в сообщении #1335581 писал(а):

grizzly в сообщении #1335577 писал(а):

подумайте о том, как обобщить и доказать его для некоторого класса функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

Это не выполняется. Впрочем докажите?

Очевидно, что vicvolf не планирует выполнять учебные упражнения. Что ж, раз я обещал дать доказательство, я сделаю это.
Упражнение 2. Существует класс функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$, но для которых всё ещё выполнено так называемое Условие АН.
Доказательство. Пусть функция $f$ такая, что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$.
Рассмотрим в использованных ранее обозначениях $|(1)-(2)|$:

$$ |(1)-(2)|=\frac{\left|\Big(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}\Big)^2-\sum\limits_{k=1}^n {f^2(k)}\right|}{n^2(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^3}\Big(\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2+\Big(\sum\limits_{k=1}^n |f(k)|\Big)^2\Big)=\frac{2(S[|f|,n])^2}{(n-1)^3}=o(1). $$

Следовательно, для любой функции $f$, такой что $S[|f|,n]=o(n\sqrt{n})$ выполняется условие АН. Очевидно, что среди таких функций найдётся множество функций (не обязательно знакопостоянных), у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

Я согласен с Вашим доказательством. Оно следует из формулы (6) моего сообщения. Но я не ставил целью доказательство этого факта. Это Вы почему-то взяли за право в моей теме ставить задачи и вести общение в менторском тоне.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1335787 писал(а):

Но я не ставил целью доказательство этого факта. Это Вы почему-то взяли за право в моей теме ставить задачи и вести общение в менторском тоне

Ваше?

vicvolf в сообщении #1335525 писал(а):

асимптотической независимостью, в данном смысле, обладают только сумматорные функции, удовлетворяющие условию $S(n)=mn+o(n)$,

[vicvolf]

Lia в сообщении #1335793 писал(а):

vicvolf в сообщении #1335787 писал(а):

Ваше?

vicvolf в сообщении #1335525 писал(а):

асимптотической независимостью, в данном смысле, обладают только сумматорные функции, удовлетворяющие условию $S(n)=mn+o(n)$,

В данном смысле я имел в виду $(1)-(2)=O(1/n)$.

[Lia]

Так кто же виноват, что у Вас два определения того, что Вы называете асимптотической независимостью?

[vicvolf]

Lia в сообщении #1335796 писал(а):

Так кто же виноват, что у Вас два определения того, что Вы называете асимптотической независимостью?

Асимптотическая независимость может выполняться с разными показателями. Здесь приводилось два показателя $o(1/n)$ и $O(1/n)$ для различных классов функций. Я об этом писал подробно в последнем сообщении.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1335799 писал(а):

Асимптотическая независимость может выполняться с разными показателями. Здесь приводилось два показателя $o(1/n)$ и $O(1/n)$ для различных классов функций. Я об этом писал подробно в последнем сообщении.

А, значит, я проглядела. Три определения.

-- 31.08.2018, 18:37 --

vicvolf
Ну хорошо, скомпилировали Вы из кусков темы нечто. На бОльшую часть вопросов не ответили. Я не стану перечислять их все снова. Ответьте на основной вопрос: какое отношение это имеет к Вашим первоначальным намерениям?

И не припутывайте сюда сторонние объекты, пожалуйста. В частности, Вы ведь хорошо понимаете, что утверждение из последнего Вашего поста к Вашим функциям неприменимо, так как суммы состоят из слагаемых разных знаков.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1335800 писал(а):

vicvolf в сообщении #1335799 писал(а):

Асимптотическая независимость может выполняться с разными показателями. Здесь приводилось два показателя $o(1/n)$ и $O(1/n)$ для различных классов функций. Я об этом писал подробно в последнем сообщении.

А, значит, я проглядела. Три определения.

Понимаете интересует не просто асимптотическая независимость, а ее показатели, так как от этого зависит асимптотическое поведение функции.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1335803 писал(а):

Понимаете интересует не просто асимптотическая независимость, а ее показатели, так как от этого зависит асимптотическое поведение функции.

В определении отсутствует зависимость от показателей. Звучит только "АН". Кстати, что Вы называете показателями?

[vicvolf]

Lia в сообщении #1335800 писал(а):

vicvolf
Ответьте на основной вопрос: какое отношение это имеет к Вашим первоначальным намерениям?

Я хочу доказать, что при выполнении асимптотической независимости с показателями $o(1/n),O(1/n)$ оценка сверху стандартного отклонения сумматорной функции будет $O(n^{1/2})$.

Цитата:

И не припутывайте сюда сторонние объекты, пожалуйста. В частности, Вы ведь хорошо понимаете, что утверждение из последнего Вашего поста к Вашим функциям неприменимо, так как суммы состоят из слагаемых разных знаков.

Когда grizzly увел тему в сторону и предложил доказать утверждение не только для функции Мертенса и Лиувилля, но для всех ограниченных функций. То я объяснил, что это не надо делать, так как утверждение справедливо еще для более широкого класса функций и доказал это. В последнем сообщении я привел все классы функций, которые я знаю, для которых выполняется асимптотической независимость с показателями $o(1/n),O(1/n)$ и для которых, как я думаю, оценка сверху стандартного отклонения сумматорной функции будет $O(n^{1/2})$.

[Lia]

vicvolf
Слушайте, приведите уже определение асимптотической независимости. Седьмая страница, и такой сюрприз.

-- 31.08.2018, 19:20 --

vicvolf в сообщении #1335233 писал(а):

Под асимптотической независимостью арифметических функций Мебиуса и Лиувилля будем понимать то, что при $n \to \infty$ предел разницы между средним значением произведения арифметической функции $f(k)$ и произведением средних значений той же функции при разных значениях аргумента стремится к нулю.

Вот это фигурирует в тексте первым. Определение, стало быть. А остальное - частные случаи. Вы их хотите различать? Зачем?
Хорошо, положим. Но тогда называйте другим словом.

-- 31.08.2018, 19:23 --

vicvolf в сообщении #1335813 писал(а):

Когда grizzly увел тему в сторону и предложил доказать утверждение не только для функции Мертенса и Лиувилля, но для всех ограниченных функций.

Он только предложил обратить внимание, что ничего, кроме ограниченности, Вы не используете. Сейчас Вы экстренно предпринимаете попытки модификации и расширения, и совершенно напрасно: все они будут иметь еще меньше отношения именно к вашим двум функциям. А вот изложение становится неподвластным восприятию.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335787 писал(а):

А. Я. Хинчин ... называет это асимптотической независимостью слагаемых сумматорных функций

Если бы Вы сказали, что он называет это асимптотической независимостью функции, я бы сразу сказал, что это клевета. А вот насчёт слагаемых, да ещё, подозреваю, что там эти слагаемые были случайными величинами, -- вполне допускаю. Но ссылочку на Хинчина Вы всё равно дайте -- хотя бы чтоб понимать о чём шла речь в оригинале.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1335814 писал(а):

vicvolf
Сейчас Вы экстренно предпринимаете попытки модификации и расширения, и совершенно напрасно: все они будут иметь еще меньше отношения именно к вашим двум функциям. А вот изложение становится неподвластным восприятию.

Согласен, тему можно закрывать. Асимптотическая независимость слагаемых функций $M(n),L(n)$ уже рассмотрена. Рассмотрены даже класс дополнительных сумматорных функций, обладающих этим свойством. Спасибо тем, кто принял участие в теме.

-- 03.09.2018, 11:37 --

grizzly в сообщении #1335823 писал(а):

Но ссылочку на Хинчина Вы всё равно дайте -- хотя бы чтоб понимать о чём шла речь в оригинале.

Давайте сделаем по-другому. У меня есть тема по оценке функции Мертенса, в которой используется оценка сверху стандартного отклонения этой функции. Поэтому я бы просил модераторов открыть эту тему и я бы добавил туда сообщение об оценке стандартного отклонения с использованием этой работы (сделал бы ссылку на нее и дал комментарии к работе). Кроме того, сделал бы оценку самой функции (сообщение на эту тему я передавал почтой).

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1336306 писал(а):

Согласен, тему можно закрывать.

Не спешите закрывать тему. Давайте сделаем по-другому.

vicvolf в сообщении #1335813 писал(а):

Я хочу доказать, что при выполнении асимптотической независимости с показателями $o(1/n),O(1/n)$ оценка сверху стандартного отклонения сумматорной функции будет $O(n^{1/2})$.

Сформулируйте, пожалуйста, чётко этот результат в этой теме. Тогда я попрошу Вас выполнить ещё одно Упражнение: найти контрпример к этому результату. Независимо от того, согласитесь Вы или нет отвечать на мои вопросы, я направлю модераторам свой контрпример. Если модераторы убедятся, что я прав, а Вы откажетесь давать ответы, тогда тему можно будет не закрывать, а переместить в более подходящее для неё место. В противном случае этот бардак будет продолжаться бесконечно.

Итак, сформулируйте, пожалуйста, чётко Ваше утверждение о стандартном отклонении функции, удовлетворяющей условию АН.

-- 03.09.2018, 12:23 --

Только, пожалуйста, оформите всё явными формулами, не прибегая к вероятностной терминологии, которая не имеет к данной теме никакого отношения.