Мистика чисел

[bot]

Для натурального числа х обозначим через f(x) общую сумму цифр в десятичных записях числа x и всех его натуральных делителей. Например, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=7, f(7)=8, f(8)=15, f(15)=15.

Для любого x > 1 последовательность x, f(x), f(f(x)), ... оборвется на числе 15.
Эту задачу услышал от одного студента лет 10-15 назад.
Сводится к не очень большому перебору без компа.
Для других оснований бывают нетривиальные циклы.

[juna]

Получил следующие параметрические зависимости:
$\forall t,a,b,c,d\in \mathbb Z$
$\forall n\in \{1, 2, 3\}: \\(t+a+b+c+d)^n+(t+5a+7b+6c+8d)^n+(t+8a+9b+11c+12d)^n+\\+(t+12a+15b+16c+19d)^n=(t+2a+3b+2c+3d)^n+(t+3a+3b+4c+4d)^n+(t+10a+13b+13c+16d)^n+(t+11a+13b+15c+17d)^n$
$\forall n \in\{1,2,3,4\}:\\ (t+1)^n+(t+2)^n+(t+10)^n+(t+14)^n+(t+18)^n=\\(t)^n+(t+4)^n+(t+8)^n+(t+16)^n+(t+17)^n$
$\forall n\in\{1,2,3,4,5\}:\\(t+a+b+c)^n+(t+6a+8b+9c)^n+(t+7a+8b+12c)^n+\\(t+17a+22b+28c)^n+(t+18a+22b+31c)^n+(t+23a+29b+39c)^n=\\(t+2a+2b+3c)^n+(t+3a+4b+4c)^n+(t+11a+13b+19c)^n+\\(t+13a+17b+21c)^n+(t+21a+26b+36c)^n+(t+22a+28b+37c)^n$
Вероятно я "изобретаю велосипед".
Есть ли у кого-нибудь информация по этому вопросу, кроме книги Кордемского?
Предлагаю также обсудить эффективные алгоритмы нахождения решений.

[Коровьев]

Тесты проверки калькулятора
$12345679*9=111111111$
$123454321*11=1357997531$

[RIP]

Мне больше нравится
$111111111^2=12345678987654321$.
Правда, не в любой калькулятор влезет.

[juna]

Да, похоже тема заинтересовала...
Вернусь к своему предыдущему сообщению.
В принципе, здесь действует теорема Жирара-Ньютона о суммах степеней корней, и задача нахождения таких последовательностей до степени $n$ сводится к поиску такого уравнения $x^{n+1}+a_1x^n+...+a_{n-1}x+a_n=0$, которое имеет целые корни для хотя бы двух разных целых значений свободного члена $a_n$.
Замечу также, что если получили два таких уравнения, то иногда их корни можно складывать друг с другом, отсюда выплывают параметрические решения.

[juna]

Someone писал(а):

А для бóльшего числа равенств чего-нибудь похожего нет?

Да, есть. Вот, наконец-то, отыскал в интернете
$\forall n\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
$(a + 96b)^n+ (5a + 92b)^n+ (11a + 86b)^n+ (21a + 76b)^n+ (36a + 61b)^n+ (42a + 55b)^n+(48a + 49b)^n+(52a + 45b)^n+(54a + 43b)^n+ (58a + 39b)+(79a + 18b)^n+(83a + 14b)^n+(94a + 3b)^n +(95a + 2b)^n=(96a + b)^n+(92a + 5b)^n+(86a + 11b)^n+(76a +21b)^n+(61a + 36b)^n+(55a + 42b)^n+(49a + 48b)^n+(45a + 52b)^n+(43a + 54b)^n+(39a + 58b)^n+(18a + 79b)^n+(14a + 83b)^n+(3a + 94b)^n+(2a + 95b)^n$
Еще в книге Dickson L.E. — History of the theory of numbers. Volume 2: diophantine analysis на страницах 705-716 этот вопрос рассматривается.

[Nataly-Mak]

Самая поразительная мистика чисел в магических квадратах.
Достаточно, например, написать самый простой обратимый квадрат 8-ого порядка:

1  2  3  4  5  6  7  8
9  10  11  12  13  14  15  16
17  18  19  20  21  22  23  24
25  26  27  28  29  30  31  32
33   34  35  36  37  38  39  40
41  42  43  44  45  46  47  48
49  50  51  52  53  54  55  56
57  58  59  60  61  62  63  64

и применить к этому квадрату очень простенькое [url]матричное преобразование[/url]
и вы получаете совершенный магический квадрат!

1  63  3  61  8  58  6  60
16  50  14  52  9  55  11  53
17  47  19  45  24  42  22  44
32  34  30  36  25  39  27  37
57  7  59  5  64  2  62  4
56  10  54  12  49  15  51  13
41  23  43  21  48  18  46  20
40  26  38  28  33  31  35  29

Это имеет место для любого порядка n=4k, k=1, 2, 3…
Обратимые квадраты составляются элементарно, матричное преобразование легко обобщается для любого n=4k, то есть алгоритм просто формализовать и запрограммировать, что я и сделала.
К сожалению, язык, на котором написана моя программа (QBASIC), позволил построить [url]совершенный магический квадрат максимального порядка n=120[/url].
Это только один пример мистики в магических квадратах. Все магические квадраты состоят из сплошной мистики. Не верите? Смотрите сами!

ссылки удалены // нг

[juna]

Nataly-Mak писал(а):

Это только один пример мистики в магических квадратах. Все магические квадраты состоят из сплошной мистики. Не верите? Смотрите сами! Wink

Верю. Но там слишком много мистики для одной темы.
Можно, кстати, заняться магическими квадратами для других операций или других несущих множеств. Может кто-то занимается?

Добавлено спустя 2 часа 32 минуты 49 секунд:

Вот, кстати, немного любопытных фактов о квадратах:
возьмем квадрат

4   -13  9
-16  14  2
12  -1  -11

это всего лишь неполный магический квадрат с нулевой суммой.
Зато обладает удивительными свойствами:
$a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2=a_{31}^2+a_{32}^2+a_{33}^2$
$a_{11}^4+a_{12}^4+a_{13}^4=a_{31}^4+a_{32}^4+a_{33}^4$
$a_{11}\cdot a_{21}\cdot a_{31}+a_{12}\cdot a_{22}\cdot a_{32}+a_{13}\cdot a_{23}\cdot a_{33}=$
$=a_{11}\cdot a_{12}\cdot a_{13}+a_{21}\cdot a_{22} \cdot a_{23}+a_{31}\cdot a_{32} \cdot a_{33}=$
$=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{31}\cdot a_{23}=$
$=a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{32}\cdot a_{23}+a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$
Всего я нашел 29 таких квадратов, хотя, конечно, их бесконечно много.
Вот, например, 29-й такой квадратик:

 13  -30  17
-40   32   8
 27  -2  -25

Добавлено спустя 24 минуты 5 секунд:

Коровьев писал(а):

Тесты проверки калькулятора
$12345679*9=111111111$
$123454321*11=1357997531$

RIP писал(а):

Мне больше нравится
$111111111^2=12345678987654321$.
Правда, не в любой калькулятор влезет.

Возьмем число 37 и будем умножать его на кратные 3:
$3\cdot 37=111$
$6\cdot 37=222$
$9\cdot 37=333$
$12\cdot 37=444$
...
$27\cdot 37=999$
Кроме того,
$37\cdot (3+7)=3^3+7^3$
$(3^2+7^2)-3\cdot 7=37$

[VAL]

$$ 7442 + 28658 = 190^2 $$ $$ 7442 + 148583 = 395^2 $$ $$ 7442 + 177458 = 430^2 $$ $$ 7442 + 763442 = 878^2 $$ $$ 28658 + 148583 = 421^2 $$ $$ 28658 + 177458 = 454^2 $$ $$ 28658 + 763442 = 890^2 $$ $$ 148583 + 177458 = 571^2 $$ $$ 148583 + 763442 = 955^2 $$ $$ 177458 + 763442 = 970^2 $$ $$ 1493580092 + 2510949380 = 1588^3 $$ $$ 1493580092 + 7071213244 = 2046^3 $$ $$ 1493580092 + 51114333631 = 3747^3 $$ $$ 2510949380 + 7071213244 = 2124^3 $$ $$ 2510949380 + 51114333631 = 3771^3 $$ $$ 7071213244 + 51114333631 = 3875^3 $$

[Nataly-Mak]

В конце прошлого века в журналах “Наука и жизнь” печаталось много разных интересных зависимостей между числами, даже рубрика такая была – “Математические неожиданности”. А ещё каждый год проводился конкурс на лучшее представление года (то есть числа, выражающего порядковый номер текущего года) с помощью цифр и математических знаков. Вот, например, некоторые представления года 1982:

1982 = (333-3)*3!+3!/3
1982 = (1+1)^11-11*(1+1+1)!
1982 = 3333/3,3+333*3-3^3
1982 = 1+23-(45-67)*89
1982 = -1-2-3+456-7+898-7+654-3-2-1

(из журнала “Наука и жизнь”, № 3, 1983 г.)
При этом условия были разными. Есть представления с помощью одной какой-то цифры, есть с помощью всех 9 цифр. А в последнем примере симметричное расположение цифр и математических знаков.
Вот такие забавы! А не представить ли нам год 2008 аналогичным образом? Например, такое представление сочинилось у меня с ходу:

2008 = (44+4/4)*(44+4/4)-4*4-4/4

Это плохое представление! Потому что надо стремиться использовать минимальное количество цифр и математических знаков. Смотрите, в первом примере использовано только 7 цифр (троечек) и 6 знаков. А в моём представлении использовано 12 цифр и 9 знаков.
Кто сочинит лучшее представление? Объявляю конкурс!
Да, можно значительно уменьшить количество цифр и знаков в моём представлении, если заменить умножение возведением в квадрат, при этом показателем степени будет квадратный корень из 4, но, извините, я не знаю, как здесь записать квадратный корень
Тогда количество цифр будет 9, а количество знаков - 7. Кто меньше?

[VAL]

Nataly-Mak писал(а):

А не представить ли нам год 2008 аналогичным образом? Например, такое представление сочинилось у меня с ходу:

2008 = (44+4/4)*(44+4/4)-4*4-4/4

Это плохое представление! Потому что надо стремиться использовать минимальное количество цифр и математических знаков. Смотрите, в первом примере использовано только 7 цифр (троечек) и 6 знаков. А в моём представлении использовано 12 цифр и 9 знаков.
Кто сочинит лучшее представление? Объявляю конкурс!

А я такой конкурс уже провел
Результаты можно посмотреть, а можно и не смотреть здесь

Цитата:

Да, можно значительно уменьшить количество цифр и знаков в моём представлении, если заменить умножение возведением в квадрат, при этом показателем степени будет квадратный корень из 4, но, извините, я не знаю, как здесь записать квадратный корень
Тогда количество цифр будет 9, а количество знаков - 7. Кто меньше?

$$ 2008 = {4!!^{\sqrt{4}} \choose \sqrt{4}} - 4!! $$

Так пойдет?

[Nataly-Mak]

Ну, если считать формулу для числа сочетаний за математический знак, то пойдёт.
А вот переделала одно из представлений для 1982-ого года и тоже получилось с симметричными цифрами и знаками:

2008 = 1+2*3+456-7+898-7+654+3*2+1

[VAL]

Nataly-Mak писал(а):

Ну, если считать формулу для числа сочетаний за математический знак, то пойдёт.

Никаких специальных знаков. Обычные круглые скобки

Цитата:

А вот переделала одно из представлений для 1982-ого года и тоже получилось с симметричными цифрами и знаками:

2008 = 1+2*3+456-7+898-7+654+3*2+1

Симпатично!

А вот еще одна находка (автор - Олег Полубасов)

$$ 2008 = \left(\sqrt{\frac{a}{.(a)}}-\frac{.a+.(a)}{a}\right) *\left(\sqrt{\frac{a}{.(a)}}!}\right)! $$

Здесь a - любая ненулевая цифра.

[Nataly-Mak]

Несколько примеров из старых журналов “Наука и жизнь”.
В этом примере табличка слева из трёх строк и трёх столбцов обозначает определитель. Во всех определителях используются 9 значащих цифр. В первой строке каждого определителя стоит число, которому равен сам определитель.

|2  4  5
7  3  8      =   245
9  6  1|

|3  1  9
7  2  4      =   319
6  8  5|

|1  9  8
6  5  4      =   198
3  7  2|

Вопрос: какое наименьшее и какое наибольшее число можно изобразить таким способом?
(№ 8, 1976 г., рубрика “Математические досуги”).

В этом примере числа представляются суммой степеней входящих в них цифр.

1741725 = 1^7 + 7^7 + 4^7 + 1^7 + 7^7 + 2^7 +5^7 4210818 = 4^7 + 2^7 + 1^7 + 0^7 + 8^7 + 1^7 + 8^7 9800817 = 9^7 + 8^7 + 0^7 + 0^7 + 8^7 + 1^7 + 7^7 9926315 = 9^7 + 9^7 + 2^7 + 6^7 + 3^7 + 1^7 + 5^7 24678050 = 2^8 + 4^8 + 6^8 + 7^8 + 8^8 + 0^8 + 5^8 + 0^8 24678051 = 2^8 + 4^8 + 6^8 + 7^8 + 8^8 + 0^8 + 5^8 + 1^8 88593477 = 8^8 + 8^8 + 5^8 + 9^8 + 3^8 + 4^8 + 7^8 + 7^8 472335975 = 4^9 + 7^9 + 2^9 + 3^9 + 3^9 + 5^9 + 9^9 + 7^9 + 5^9 912985153 = 9^9 + 1^9 + 2^9 + 9^9 + 8^9 + 5^9 + 1^9 + 5^9 + 3^9

(№ 5, 1982 г., рубрика “Математические неожиданности”; в журнале даётся ссылка на предыдущие номера с этой задачей: №1, 1972 г., № 10, 1981 г.)
Заметьте, что седьмыми степенями представляются семизначные числа, восьмыми степенями - восьмизначные, девятыми степенями - девятизначные.
Удастся ли участникам форума изобразить нечто подобное? Конечно, разрешается пользоваться компьютером (читатели журнала, приславшие примеры, пользовались ЭВМ, хотя некоторые и не пользовались!)

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Заметьте, что седьмыми степенями представляются семизначные числа, восьмыми степенями - восьмизначные, девятыми степенями - девятизначные.

Такие числа носят имя Армстронга, их также называют нарциссичными. Существует лишь конечное число таких чисел.