Вычислить сумму ряда

[ex-math]

Умножать с перегруппировкой членов можно абсолютно сходящиеся ряды. Тогда новый ряд гарантированно сходится к произведению сумм рядов-сомножителей. В случае условно сходящихся рядов это не всегда так.

[venco]

JohnDou в сообщении #1332834 писал(а):

venco в сообщении #1332799 писал(а):

А правомерно ли делать такие преобразования с условно сходящимися рядами?

А почему вы сомневаетесь?

ex-math в сообщении #1332829 писал(а):

... в лоб перемножать такие ряды нельзя...

Что вы имеете ввиду?

Ну, у вас ведь не получилось то же самое со всеми числами и $\ln 2$, хотя, казалось бы...

[venco]

ex-math в сообщении #1332829 писал(а):

Их можно сделать абсолютно сходящимися с помощью параметра $s$

Так после умножения степени $s$ не будут совпадать.

[ex-math]

Слагаемые группируются, собираем коэффициенты при $n^s$. Коэффициент будет

$$ \sum_{d\mid n}\chi(d)\chi\left(\frac nd\right), $$

а это и есть $\chi(n)d(n)$, как легко проверить.

-- 16.08.2018, 18:23 --

Просто это не степенные ряды, а ряды Дирихле, их удобно не по Коши умножать, а вот так.
И для них тоже есть теорема Абеля, на которую я ссылаюсь, чтобы найти предел левой части. Но вот ее условие (ряд должен сходиться при $s=1$) видимо так просто не проверишь.

[sup]

Сходимость можно сравнительно легко получить, если избавиться от знакопеременности. Фиксируем $N$.

$$ S = \sum \limits_{n = 0}^{2n+1 \leqslant N} (-1)^n\frac{d(2n + 1)}{2n + 1} = \sum \limits_{2k+1 \leqslant N}\frac{(-1)^{k}}{(2k + 1)}\sum \limits_{(2k+1)(2l+1) \leqslant N}\frac{(-1)^{l}}{(2l + 1)} $$

Идея, в сущности, простая. Надо группировать пары (по $k$ плюс-минус).

$$S = S_1 + S_2 + S_3$$

$$ S_1 = \sum \limits_{4k+1 \leqslant N}(\frac{1}{(4k + 1)} - \frac{1}{(4k + 3)})\sum \limits_{(4k+3)(2l+1) \leqslant N}\frac{(-1)^{l}}{(2l + 1)}. $$

$$ S_2 = \sum \limits_{4k+1 \leqslant N}\frac{1}{(4k + 1)}\sum \limits_{(4k+1)(2l+1) \leqslant N < (4k+3)(2l+1)}\frac{(-1)^{l}}{(2l + 1)}. $$

Последнее $k$ может оказаться без пары, поэтому и возникает $S_3$

$$ S_3 = O(1/N)O(1) = O(1/N). $$

Первая сумма легко оценивается

$$ S_1 = \sum \limits_{4k+1 \leqslant N} O(\frac{1}{k^2}). $$

Надо разобраться с $S_2$. В ней тоже группируем пары (по $l$ плюс-минус). Для этого разбиваем сумму по $k$ на два куска.

$$ S_2 = \sum \limits_{k \leqslant k_0} + \sum \limits_{k > k_0}. $$

Полагаем $k_0 \sim \sqrt N$. В первом куске группируем пары, а во втором куске меняем порядок суммирования.
В результате получаем

$$ S_2 = O(\frac{k_0}{N}) + O(\frac{1}{k_0}) = O (\frac{1}{\sqrt N}). $$

[ex-math]

При беглом взгляде все верно, спасибо
Может тут можно допилить и прямое доказательство, без перехода к $s$? Хвост ряда Лейбница ведь хорошо оценивается.

[sup]

Да, конечно, можно напрямую доказать чему там все это равно. Однако, Ваш комментарий, я думаю, был весьма полезным для понимания общей ситуации.

[JohnDou]

venco в сообщении #1332929 писал(а):

Ну, у вас ведь не получилось то же самое со всеми числами и $\ln 2$, хотя, казалось бы...

Вы не так поняли, под "ничего интересного" я имел ввиду что в числителях образуется функция "менее красивая" по сравнению с $d(n)$.

ex-math в сообщении #1332845 писал(а):

Умножать с перегруппировкой членов... новый ряд гарантированно сходится... В случае условно сходящихся рядов это не всегда так.

Пока не приведете пример - вы голословны.

[grizzly]

JohnDou в сообщении #1333518 писал(а):

Пока не приведете пример - вы голословны.

Вы как-то странно понимаете презумпцию истины в математике.

[ex-math]

JohnDou
Пример можно посмотреть у Фихтенгольца в разделе про умножение рядов.

[arqady]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1333519 писал(а):

Вы как-то странно понимаете презумпцию истины в математике.

Презумпция - это ведь предвосхищение, априорное предположение. Нет? Получилось: предвосхищение истины в математике. По-моему, смысл как-то ускользает.

[grizzly]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #1333642 писал(а):

Презумпция - это ведь предвосхищение, априорное предположение. Нет? Получилось: предвосхищение истины в математике. По-моему, смысл как-то ускользает.

Ну, если сказать "предвосхищение невиновности в праве", то привычный смысл тоже не каждый сразу узнает Впрочем, согласен, но я рассчитывал, что метафора будет понятная именно за счёт известного устойчивого выражения (корректнее было бы сказать "презумпция правоты", но мне тот вариант показался созвучнее).