Вычислить сумму ряда

[JohnDou]

1. Пусть $d(n)$ количество делителей числа $n$

(Примеры)

$d(2)=d(3)=d(5)=2$,
$d(15)=4$

Вычислить сумму ряда:

$1-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-...+(-1)^{n+1}\frac{d(2n-1)}{2n-1}+...$

2.Обобщить полученный результат.

(Интересное следствие)

Ряд $1-\frac{2}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+...$ и его обобщения расходятся.

(Ответ)

1.$\frac{\pi^2}{16}$; 2.Заменить $d(n)$, например, суммой сум делителей итп.

[wrest]

С ответом неинтересно :)
Но да, сходится к тому что вы написали и программируется в полстроки без всяких экивоков.

[wrest]

JohnDou в сообщении #1331975 писал(а):

Заменить $d(n)$, например, суммой сум делителей итп.

Что такое "сумма сумм делителей"? Если это $\sigma _1(n)$ и последующие ($\sigma _2(n)$ и т.д. https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_делителей ), то ряд, очевидно, расходится.

[ex-math]

С помощью тождества Эйлера должно получиться

[JohnDou]

ex-math в сообщении #1332026 писал(а):

С помощью тождества Эйлера должно получиться

Дерзайте!

wrest в сообщении #1331986 писал(а):

С ответом неинтересно :)

Если смотреть ответ после попыток решения, будет интереснее.

wrest в сообщении #1332016 писал(а):

Что такое "сумма сумм делителей"?

Там очепятка, должно быть "сумма сумм делителей делителей" Эээ...

(Пример)

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. А "С.С.Д.Д" от 15 это $d(1)+d(3)+d(5)+d(15):=d_2(15)=9$

И такие ряды сходятся

(Spoiler!)

причём тоже к степени $\pi$

Но никто не запрещает обобщить иначе.

За ссылку отдельное спасибо. Про ряды Дирихле и функцию делителей раньше не слышал.

[ex-math]

Даже без тождества Эйлера, просто перемножая ряды Дирихле, получим при $\mathrm{Re}s>1$

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)d(n)}{n^s}=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)}{n^s}\right)^2, $$

где $\chi(n)$ -- неглавный характер по модулю четыре. Правая часть при $s\to1+0$ стремится к $\pi^2/16$. Чтобы и левая часть стремилась туда же, надо предположить сходимость нашего ряда при $s=1$. Как это сделать просто, пока не вижу.

[novichok2018]

ссылка на вики не туда

[JohnDou]

Похоже что интерес к теме пропал. Надо ли выкладывать решение?

[wrest]

JohnDou
Поменяйте, пож-ста, аватар.

А чего решение? Выкладывайте конечно. Тут в соседней теме как раз разбирали количество делителей и геометрическую интерпретацию (количество целых точек под гиперболой). Вероятно и тут решение будет геометрическим?

ну а так-то -- вычислено же на калькуляторе-то
Мне лично было интересно именно это (вычисление). Оба ваших примера неплохие: ряд сходится медленно. С корнями забавно было то, что понадобилось считать задом-наперед.

[grizzly]

wrest в сообщении #1332765 писал(а):

Поменяйте, пож-ста, аватар.

Adblock легко справляется с такими аватарками, если мешает.

[JohnDou]

(Решение)

Для начала заметим что данный ряд, обозначим его $r$, чем-то похож на ряд Лейбница $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...$ (а те, кто подглядел ответ, знают что $r=\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)^2$ ) поиграв с различными преобразованиями можно наткнуться на $\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)^2=\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)= 1\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right) - \frac{1}{3} \cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)+\frac{1}{5}\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)...=r$

Обобщения получаются аналогично через $r\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)$;

Следствие... думаю тут тоже всё понятно;

Подобные действия с рядом для $\ln(2)$ ничего интересного не дают(или я забыл это записать).

[venco]

А правомерно ли делать такие преобразования с условно сходящимися рядами?

[ex-math]

Умножение рядов -- это ровно то, что я предложил, только на "наивном" уровне строгости. Конечно в лоб перемножать такие ряды нельзя. Их можно сделать абсолютно сходящимися с помощью параметра $s$, но чтобы получить на этом пути доказательство не хватает знания о сходимости исходного ряда.

[JohnDou]

venco в сообщении #1332799 писал(а):

А правомерно ли делать такие преобразования с условно сходящимися рядами?

А почему вы сомневаетесь?

ex-math в сообщении #1332829 писал(а):

... в лоб перемножать такие ряды нельзя...

Что вы имеете ввиду?

[wrest]

JohnDou в сообщении #1332791 писал(а):

Для начала заметим что данный ряд, обозначим его $r$, чем-то похож на ряд Лейбница

Что-то мне кажется, что применение аргумента "чем-то похож", не тянет на строгое решение.