2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Умножать с перегруппировкой членов можно абсолютно сходящиеся ряды. Тогда новый ряд гарантированно сходится к произведению сумм рядов-сомножителей. В случае условно сходящихся рядов это не всегда так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 16:17 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
JohnDou в сообщении #1332834 писал(а):
venco в сообщении #1332799 писал(а):
А правомерно ли делать такие преобразования с условно сходящимися рядами?

А почему вы сомневаетесь?

ex-math в сообщении #1332829 писал(а):
... в лоб перемножать такие ряды нельзя...

Что вы имеете ввиду?
Ну, у вас ведь не получилось то же самое со всеми числами и $\ln 2$, хотя, казалось бы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 17:57 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
ex-math в сообщении #1332829 писал(а):
Их можно сделать абсолютно сходящимися с помощью параметра $s$
Так после умножения степени $s$ не будут совпадать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Слагаемые группируются, собираем коэффициенты при $n^s$. Коэффициент будет
$$
\sum_{d\mid n}\chi(d)\chi\left(\frac nd\right),
$$
а это и есть $\chi(n)d(n)$, как легко проверить.

-- 16.08.2018, 18:23 --

Просто это не степенные ряды, а ряды Дирихле, их удобно не по Коши умножать, а вот так.
И для них тоже есть теорема Абеля, на которую я ссылаюсь, чтобы найти предел левой части. Но вот ее условие (ряд должен сходиться при $s=1$) видимо так просто не проверишь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 19:24 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Сходимость можно сравнительно легко получить, если избавиться от знакопеременности. Фиксируем $N$.
$$
S = \sum \limits_{n = 0}^{2n+1 \leqslant N} (-1)^n\frac{d(2n + 1)}{2n + 1} =  
\sum \limits_{2k+1 \leqslant N}\frac{(-1)^{k}}{(2k + 1)}\sum \limits_{(2k+1)(2l+1) \leqslant N}\frac{(-1)^{l}}{(2l + 1)}
$$
Идея, в сущности, простая. Надо группировать пары (по $k$ плюс-минус).
$$S = S_1 + S_2 + S_3$$
$$
S_1 = \sum \limits_{4k+1 \leqslant N}(\frac{1}{(4k + 1)} - \frac{1}{(4k + 3)})\sum \limits_{(4k+3)(2l+1) \leqslant N}\frac{(-1)^{l}}{(2l + 1)}.
$$
$$
S_2 = \sum \limits_{4k+1 \leqslant N}\frac{1}{(4k + 1)}\sum \limits_{(4k+1)(2l+1) \leqslant N < (4k+3)(2l+1)}\frac{(-1)^{l}}{(2l + 1)}.
$$
Последнее $k$ может оказаться без пары, поэтому и возникает $S_3$
$$
S_3 = O(1/N)O(1) = O(1/N).
$$
Первая сумма легко оценивается
$$
S_1 = \sum \limits_{4k+1 \leqslant N} O(\frac{1}{k^2}).
$$
Надо разобраться с $S_2$. В ней тоже группируем пары (по $l$ плюс-минус). Для этого разбиваем сумму по $k$ на два куска.
$$
S_2 = \sum \limits_{k \leqslant k_0} + \sum \limits_{k > k_0}.
$$
Полагаем $k_0 \sim \sqrt N$. В первом куске группируем пары, а во втором куске меняем порядок суммирования.
В результате получаем
$$
S_2 = O(\frac{k_0}{N}) +  O(\frac{1}{k_0}) =  O (\frac{1}{\sqrt N}).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
При беглом взгляде все верно, спасибо :D
Может тут можно допилить и прямое доказательство, без перехода к $s$? Хвост ряда Лейбница ведь хорошо оценивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 19:53 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Да, конечно, можно напрямую доказать чему там все это равно. Однако, Ваш комментарий, я думаю, был весьма полезным для понимания общей ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение19.08.2018, 22:08 
Аватара пользователя


20/07/18
103
venco в сообщении #1332929 писал(а):
Ну, у вас ведь не получилось то же самое со всеми числами и $\ln 2$, хотя, казалось бы...

Вы не так поняли, под "ничего интересного" я имел ввиду что в числителях образуется функция "менее красивая" по сравнению с $d(n)$.

ex-math в сообщении #1332845 писал(а):
Умножать с перегруппировкой членов... новый ряд гарантированно сходится... В случае условно сходящихся рядов это не всегда так.

Пока не приведете пример - вы голословны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение19.08.2018, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
JohnDou в сообщении #1333518 писал(а):
Пока не приведете пример - вы голословны.
Вы как-то странно понимаете презумпцию истины в математике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение20.08.2018, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
JohnDou
Пример можно посмотреть у Фихтенгольца в разделе про умножение рядов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение21.08.2018, 08:42 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1333519 писал(а):
Вы как-то странно понимаете презумпцию истины в математике.

Презумпция - это ведь предвосхищение, априорное предположение. Нет? Получилось: предвосхищение истины в математике. По-моему, смысл как-то ускользает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение21.08.2018, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

arqady в сообщении #1333642 писал(а):
Презумпция - это ведь предвосхищение, априорное предположение. Нет? Получилось: предвосхищение истины в математике. По-моему, смысл как-то ускользает.
Ну, если сказать "предвосхищение невиновности в праве", то привычный смысл тоже не каждый сразу узнает :D Впрочем, согласен, но я рассчитывал, что метафора будет понятная именно за счёт известного устойчивого выражения (корректнее было бы сказать "презумпция правоты", но мне тот вариант показался созвучнее).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group