2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить сумму ряда
Сообщение12.08.2018, 17:18 
Аватара пользователя


20/07/18
22
1. Пусть $d(n)$ количество делителей числа $n$

(Примеры)

$d(2)=d(3)=d(5)=2$,
$d(15)=4$

Вычислить сумму ряда:
$1-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-...+(-1)^{n+1}\frac{d(2n-1)}{2n-1}+...$


2.Обобщить полученный результат.

(Интересное следствие)

Ряд $1-\frac{2}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+...$ и его обобщения расходятся.


(Ответ)

1.$\frac{\pi^2}{16}$; 2.Заменить $d(n)$, например, суммой сум делителей итп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение12.08.2018, 18:03 


05/09/16
3894
С ответом неинтересно :)
Но да, сходится к тому что вы написали и программируется в полстроки без всяких экивоков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение12.08.2018, 19:39 


05/09/16
3894
JohnDou в сообщении #1331975 писал(а):
Заменить $d(n)$, например, суммой сум делителей итп.

Что такое "сумма сумм делителей"? Если это $\sigma _1(n)$ и последующие ($\sigma _2(n)$ и т.д. https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_делителей ), то ряд, очевидно, расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение12.08.2018, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1801
Москва
С помощью тождества Эйлера должно получиться

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение12.08.2018, 22:40 
Аватара пользователя


20/07/18
22
ex-math в сообщении #1332026 писал(а):
С помощью тождества Эйлера должно получиться

Дерзайте! :wink:

wrest в сообщении #1331986 писал(а):
С ответом неинтересно :)

Если смотреть ответ после попыток решения, будет интереснее.

wrest в сообщении #1332016 писал(а):
Что такое "сумма сумм делителей"?

Там очепятка, должно быть "сумма сумм делителей делителей" Эээ...

(Пример)

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. А "С.С.Д.Д" от 15 это $d(1)+d(3)+d(5)+d(15):=d_2(15)=9$

И такие ряды сходятся

(Spoiler!)

причём тоже к степени $\pi$

Но никто не запрещает обобщить иначе.

За ссылку отдельное спасибо. Про ряды Дирихле и функцию делителей раньше не слышал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение13.08.2018, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1801
Москва
Даже без тождества Эйлера, просто перемножая ряды Дирихле, получим при $\mathrm{Re}s>1$
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)d(n)}{n^s}=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)}{n^s}\right)^2,
$$
где $\chi(n)$ -- неглавный характер по модулю четыре. Правая часть при $s\to1+0$ стремится к $\pi^2/16$. Чтобы и левая часть стремилась туда же, надо предположить сходимость нашего ряда при $s=1$. Как это сделать просто, пока не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение13.08.2018, 10:12 


16/04/18
95
ссылка на вики не туда

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение15.08.2018, 22:07 
Аватара пользователя


20/07/18
22
Похоже что интерес к теме пропал. Надо ли выкладывать решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение15.08.2018, 22:37 


05/09/16
3894
JohnDou
Поменяйте, пож-ста, аватар.

А чего решение? Выкладывайте конечно. Тут в соседней теме как раз разбирали количество делителей и геометрическую интерпретацию (количество целых точек под гиперболой). Вероятно и тут решение будет геометрическим?

ну а так-то -- вычислено же на калькуляторе-то :mrgreen:
Мне лично было интересно именно это (вычисление). Оба ваших примера неплохие: ряд сходится медленно. С корнями забавно было то, что понадобилось считать задом-наперед.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение15.08.2018, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5556
wrest в сообщении #1332765 писал(а):
Поменяйте, пож-ста, аватар.
Adblock легко справляется с такими аватарками, если мешает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение15.08.2018, 23:58 
Аватара пользователя


20/07/18
22

(Решение)

Для начала заметим что данный ряд, обозначим его $r$, чем-то похож на ряд Лейбница $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...$ (а те, кто подглядел ответ, знают что $r=\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)^2$ ) поиграв с различными преобразованиями можно наткнуться на $\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)^2=\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)= 1\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right) - \frac{1}{3} \cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)+\frac{1}{5}\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)...=r$

Обобщения получаются аналогично через $r\cdot \left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-... \right)$;

Следствие... думаю тут тоже всё понятно;

Подобные действия с рядом для $\ln(2)$ ничего интересного не дают(или я забыл это записать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 00:32 
Заслуженный участник


04/05/09
4440
А правомерно ли делать такие преобразования с условно сходящимися рядами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 07:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1801
Москва
Умножение рядов -- это ровно то, что я предложил, только на "наивном" уровне строгости. Конечно в лоб перемножать такие ряды нельзя. Их можно сделать абсолютно сходящимися с помощью параметра $s$, но чтобы получить на этом пути доказательство не хватает знания о сходимости исходного ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 08:25 
Аватара пользователя


20/07/18
22
venco в сообщении #1332799 писал(а):
А правомерно ли делать такие преобразования с условно сходящимися рядами?

А почему вы сомневаетесь?

ex-math в сообщении #1332829 писал(а):
... в лоб перемножать такие ряды нельзя...

Что вы имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму ряда
Сообщение16.08.2018, 08:35 


05/09/16
3894
JohnDou в сообщении #1332791 писал(а):
Для начала заметим что данный ряд, обозначим его $r$, чем-то похож на ряд Лейбница

Что-то мне кажется, что применение аргумента "чем-то похож", не тянет на строгое решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group