Задача по теореме о движении центра масс

[pogulyat_vyshel]

miflin в сообщении #1332528 писал(а):

Разве я сказал "сила"?

pardon

[miflin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1332526 писал(а):

вращение должно быть быстрым что бы кольцо стремилось занять горизонтальную плоскость

Этого не понимаю. Но Вы не тратьте время на объяснения.

[Geen]

miflin в сообщении #1332520 писал(а):

При чем тут центробежная машина? Если нить закреплена на её оси вращения, то эта машина - не более чем крюк, вбитый в потолок.

Какой бы ни была тонкой нить, она всё равно будет "скручиваться" и вращение будет затухать. А вот если её закрепить на ось (можно электродрель взять), то вращение не только будет поддерживаться, но и его скорость можно регулировать.

miflin в сообщении #1332520 писал(а):

У конического маятника при круговой траектории грузика - а судя по ответу, он и имеется в виду - плоскость вращения
всегда горизонтальна

Плоскость вращения точки соединения нити и плоскость кольца - это разные вещи.

-- 14.08.2018, 22:40 --

miflin в сообщении #1332530 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1332526 писал(а):

вращение должно быть быстрым что бы кольцо стремилось занять горизонтальную плоскость

Этого не понимаю. Но Вы не тратьте время на объяснения.

А это уже надо устойчивост считать

[miflin]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1332534 писал(а):

Какой бы ни была тонкой нить, она всё равно будет "скручиваться" и вращение будет затухать.

Ну, для нерадивого студента, действительно, нужна центробежная машина, чтобы за те несколько суток,
которые он потратит на задачу, вращение не успело затухнуть. А "радивому" достаточно и крюка.
За несколько минут не затухнет!

-- 14.08.2018, 22:13 --

miflin в сообщении #1332530 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1332526 писал(а):

вращение должно быть быстрым что бы кольцо стремилось занять горизонтальную плоскость

Этого не понимаю. Но Вы не тратьте время на объяснения.

И всё-таки...
Плоскость кольца, по моему представлению, не может быть "горизонтальнее" нити.
И в окрестности $\alpha\approx\frac{\pi}{2}$ можно обнаружить что-то существенное?

[Geen]

miflin в сообщении #1332535 писал(а):

И в окрестности $\alpha\approx\frac{\pi}{2}$ можно обнаружить что-то существенное?

Можно - разрыв нити - силу тяжести ведь надо компенсировать....

[miflin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1332166 писал(а):

Обозначим через $\beta$ угол между плоскостью кольца и нитью;

А разве он не нулевой? Т.е. диаметр кольца из точки крепления является продолжением нити.
Могут быть, конечно, колебания кольца относительно нити, но это уже выходит за пределы рассматриваемой задачи, не?

-- 14.08.2018, 23:06 --

Geen в сообщении #1332540 писал(а):

Можно - разрыв нити - силу тяжести ведь надо компенсировать...

Кольцо ведь всегда можно считать "достаточно легким", а нить "достаточно прочной". Не?

[miflin]

Продолжу. Не спится потому как...
Где в условии говорится об ориентации плоскости кольца по горизонтали? Нигде.
Тем не менее, эта идея начинает внедряться в ходе обсуждения:

Dragon27 в сообщении #1331685 писал(а):

"кольцо горизонтально"

pogulyat_vyshel в сообщении #1332526 писал(а):

вращение должно быть быстрым что бы кольцо стремилось занять горизонтальную плоскость

???

Ну, посмотрим на это с другой стороны. Из осторожности на всякий случай оговорюсь:
считаем, что в пределах кольца поле сил инерции однородно.
Рассмотрим комбинированное поле $\vec g'=\vec g-\vec a_n$ (принцип эквивалентности).
Из соотношения $a_n=g\tg\alpha$ очевидно, что кольцо в этом поле будет висеть так,
что его диаметр из точки соединения с нитью (подразумевается точечное прикрепление) будет являться продолжением нити.
Оно может совершать колебания в этом поле как физический маятник, но мы ведь это не рассматриваем...
Так что угол $\alpha$ однозначно определяет ориентацию кольца, а разговоры о его горизонтальности - какое-то недоразумение.

miflin в сообщении #1332520 писал(а):

Ну, и кольцо считается точечным. Опять же, судя по ответу.

Это я написал ни к селу, ни к городу.

miflin в сообщении #1332520 писал(а):

А "настолько быстро" связывать с горизонтальностью можно лишь в отношении нити.

Ну, и вслед за этим - и в отношении плоскости кольца тоже. Синхронно с нитью.

[pogulyat_vyshel]

miflin в сообщении #1332559 писал(а):

Где в условии говорится об ориентации плоскости кольца по горизонтали? Нигде.
Тем не менее, эта идея начинает внедряться в ходе обсуждения:

Это следует из уравнений. Действительно, введем малый параметр $\varepsilon=g/(r\omega^2)$. По теореме о неявной функции система

pogulyat_vyshel в сообщении #1332526 писал(а):

уравнения стационарного движения следующие

$$-3r\sin2\varphi+2l(\sin(2\varphi+\beta)-\sin\beta)=\frac{4g\cos\varphi}{\omega^2}$$

$$-r\sin(2\varphi+\beta)-r\sin\beta+l\sin(2\beta+2\varphi)=\frac{2g}{\omega^2}\cos(\varphi+\beta)$$

при малых $\varepsilon$ имеет решение $\varphi=\varphi(\varepsilon),\quad \beta=\beta(\varepsilon)$ такое, что $\varphi(0)=0,\quad \beta(0)=\beta_0,$ где $\cos\beta_0=r/l,\quad r<l$.

Первое уравнение данной системы это проекция на ось $Sy$ уравнения

pogulyat_vyshel в сообщении #1331824 писал(а):

$$ [\boldsymbol \omega,J_S\boldsymbol \omega]=[\boldsymbol {SA},m\boldsymbol {a}_S-m\boldsymbol g].$$

(проекции на другие оси равны нулю); второе уравнение выражает тот факт ,что сила натяжения параллельна нити: $[\boldsymbol a_S-\boldsymbol g,\boldsymbol{AO}]=0$.

Ну и наконец, приходится сказать, что Сивухин хорошенько облажался с этой задачей и решение неверно и ответ не угадан. Не все задачи решаются наивными школьными методами, што ты будешь делать :)

[wrest]

miflin в сообщении #1332520 писал(а):

2. У конического маятника при круговой траектории грузика - а судя по ответу, он и имеется в виду - плоскость вращения
всегда горизонтальна, т.е. не зависит от "вращается настолько быстро".
Ну, и кольцо считается точечным. Опять же, судя по ответу.

Я так понимаю, что для каждой длины нити существует предельная скорость вращения, меньше которой стационарности не выходит. То есть формулировку

beykoney в сообщении #1331668 писал(а):

равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ настолько быстро, что его плоскость вращения практически горизонтальна.

надо понимать как "величины $\omega$ только-только хватает на то, чтобы кольцо вертелось стационарно, при уменьшении скорости кольцо начинает колбаситься"

[pogulyat_vyshel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1332576 писал(а):

Ну и наконец, приходится сказать, что Сивухин хорошенько облажался с этой задачей и решение неверно и ответ не угадан. Не все задачи решаются наивными школьными методами, што ты будешь делать :)

Pardon, тут я неправ. Ситуация с решением Сивухина несколько иная, чем я сперва подумал. В предположении, что стационарное решение существует, он получает правильный ответ, и это действительно тривиальная задача, которая решается по теореме о движении центра масс. Для этого не требуется считать величину $\omega$ большой, а плоскость диска горизонтальной. Однако, вопрос о том, существует ли стационарное решение и при каких значениях параметров задачи оно существует остается у Сивухина без ответа. Картинка в учебнике тоже очень плохая: там кольцо расположено горизонтально, а это нетривиальный предельный ($\omega=\infty$) случай , который физически не реализуется.
Полагаю, что именно эта картинка и сбила с толку beykoney, что он стал включать в условие задачи свои домыслы про горизонтальность и про большую угловую скорость, чего в условии задачи не было, и чего ему делать не следовало.
Хотя, как показано выше при больших угловых скоростях (в смысле при малых $\varepsilon$) действительно имеются стационарные движения при которых кольцо крутится почти горизонтально, при условии, что $r<l$.
Кроме того, мне думается, что в учебнике следовало все же как-то проговорить, что стационарное движение зависит от трех параметров: угловой скорости и двух углов, которые не являются независимыми, а связаны некоторыми соотношениями, которые мы тут не обсуждаем за их сложностью. Это вместе с адекватной картинкой сделало бы задачу более осмысленной.

[dedaded]

Вращение диска, подвешенного на нити

[Eule_A]

pogulyat_vyshel в сообщении #1332603 писал(а):

Полагаю, что именно эта картинка и сбила с толку beykoney, что он стал включать в условие задачи свои домыслы про горизонтальность и про большую угловую скорость, чего в условии задачи не было, и чего ему делать не следовало.

Нет. О горизонтальности и большой угловой скорости сказано в условии. См. первое сообщение темы.

pogulyat_vyshel в сообщении #1332603 писал(а):

Картинка в учебнике тоже очень плохая

Да. Но по мне её "нехорошесть" скорее в том, что там центр кольца нарисован на оси. Всё остальное вообще не имеет никакого значения, учитывая, что хотел автор заставить читателя извлечь из этой задачи. Со всеми достоинствами и недостатками этой затеи.

pogulyat_vyshel в сообщении #1332603 писал(а):

мне думается, что в учебнике следовало все же как-то проговорить, что стационарное движение зависит от трех параметров: угловой скорости и двух углов, которые не являются независимыми, а связаны некоторыми соотношениями, которые мы тут не обсуждаем за их сложностью. Это вместе с адекватной картинкой сделало бы задачу более осмысленной.

Видите ли, эта задача, насколько я представляю, предлагается студентам первого семестра где-то в конце сентября. Ваши замечания не сделают для них задачу более осмысленной, а скорее затуманят всё или попросту будут пропущены мимо глаз. В крайнем случае, можно вернуться очень коротко к этой задаче позже, когда речь пойдёт о динамике твёрдого тела. И то не знаю, насколько это будет правильно. Поэтому, возможно, при большой щепетильности лучше просто не предлагать эту задачу, чем отягощать её полновесным разбором. Вот в рамках другого курса - да, там всё это полезно и осмысленно.

В общем, всё это уже уходит собственно от задачи в сторону методических вопросов, а значит, в сторону от темы.

[wrest]

dedaded в сообщении #1332608 писал(а):

Вращение диска, подвешенного на нити

Прекрасное видео, и еще следующее там: вращение цепочки (которая превращается в кольцо).

-- 15.08.2018, 12:21 --

Eule_A в сообщении #1332616 писал(а):

Да. Но по мне её "нехорошесть" скорее в том, что там центр кольца нарисован на оси.

А где же еще он может быть? Фотка из эксперимента:

Нитку на фотке не видно, но она есть.

[Eule_A]

wrest в сообщении #1332617 писал(а):

А где же еще он может быть?

Могу только посоветовать ещё раз прочитать условие задачи. Больше ничем помочь не могу.

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1332616 писал(а):

Нет. О горизонтальности и большой угловой скорости сказано в условии. См. первое сообщение темы.

Забавно, в интернете циркулируют два варианта условия (одно с предположением большой угловой скорости, другое -- без) и оба со ссылкой на Сивухина. В любом случае, требование большой угловой скорости излишне.