2018-значное число, делящееся на 2018

[matidiot]

Так как $2018=2\cdot1009$ (1009 - простое), то достаточно найти число из единичек, которое делится на 1009, а такое число на основании принципа Дирихле обязательно найдется и будет иметь не более 1009 единичек! Остается просто приписать нужное число ноликов.

[eugensk]

matidiot в сообщении #1332194 писал(а):

достаточно найти число из единичек, которое делится на 1009, а такое число на основании принципа Дирихле обязательно найдется

А в чем особенность 1009, что какое-то 11111...1 на него делится? На 5, например, никакое не делится (и все кролики запихнуты в клетку #1).

[kotenok gav]

matidiot в сообщении #1332194 писал(а):

число из единичек

и нулей...

[wrest]

eugensk в сообщении #1332203 писал(а):

На 5, например, никакое не делится.

Для любого числа $a$, которое не делится на $2$ и/или на $5$, существует число $b$, составленное из единиц такое, что $b$ делится на $a$.
Соответственно если $a$ простое но не $2$ и не $5$, то всегда существует $111..1$ которое делится на $a$.

[grizzly]

eugensk в сообщении #1332203 писал(а):

А в чем особенность 1009, что какое-то 11111...1 на него делится? На 5, например,

Здесь наоборот -- особенность у числа 5. В том, что оно является делителем основания системы счисления.

[eugensk]

И действительно, я не подумал. Всё равно не могу сообразить, почему так.

Пусть мы делим на число $K$: $(K,10)=1$. Пусть 111...1 (m единиц) даёт остаток r, и пусть 111...1 (n единиц) тоже даёт остаток r, и пусть m<n.
Тогда, видимо, какое-то 111...1 (k единиц), m<k<n, обязательно даёт остаток 0, и я что-то никак не могу это показать :) Попробую потом, на свежую голову.


$k =\left\lfloor n/(n - m) \right\rfloor \cdot (n-m)$, с помощью kotenok gav

[kotenok gav]

eugensk в сообщении #1332212 писал(а):

Тогда, видимо

1111...111000...000 (n-m единиц и m нулей) будет делится. Убираем нули и получаем 1111...111 (n-m единиц).

[eugensk]

kotenok gav

Именно так
Спасибо!

[kotenok gav]

Теперь для оценки числа единиц нужно найти хотя бы n.

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1332221 писал(а):

Теперь для оценки числа единиц нужно найти хотя бы n.

Ну например n=253
Но это мне кажется все-таки неконструктивным путем.

[kotenok gav]

А m тогда есть?

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1332247 писал(а):

А m тогда есть?

Да сколько угодно. $n-m=252, m>0$
То есть любое число, в десятичной записи которого сначала идут $252k, k>0$ единиц (или двоек или троек и т.п.) а потом один или больше нулей, делится на $2018$.

[kotenok gav]

Все, задача Ktina решена.

[wrest]

Решена на калькуляторе. Теперь хотелось бы без.