2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 13:49 


07/11/12
135
Так как $2018=2\cdot1009$ (1009 - простое), то достаточно найти число из единичек, которое делится на 1009, а такое число на основании принципа Дирихле обязательно найдется и будет иметь не более 1009 единичек! Остается просто приписать нужное число ноликов.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 14:51 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
matidiot в сообщении #1332194 писал(а):
достаточно найти число из единичек, которое делится на 1009, а такое число на основании принципа Дирихле обязательно найдется

А в чем особенность 1009, что какое-то 11111...1 на него делится? На 5, например, никакое не делится (и все кролики запихнуты в клетку #1).

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 14:57 


21/05/16
4292
Аделаида
matidiot в сообщении #1332194 писал(а):
число из единичек

и нулей...

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 15:03 


05/09/16
11467
eugensk в сообщении #1332203 писал(а):
На 5, например, никакое не делится.

Для любого числа $a$, которое не делится на $2$ и/или на $5$, существует число $b$, составленное из единиц такое, что $b$ делится на $a$.
Соответственно если $a$ простое но не $2$ и не $5$, то всегда существует $111..1$ которое делится на $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
eugensk в сообщении #1332203 писал(а):
А в чем особенность 1009, что какое-то 11111...1 на него делится? На 5, например,
Здесь наоборот -- особенность у числа 5. В том, что оно является делителем основания системы счисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 15:39 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
И действительно, я не подумал. Всё равно не могу сообразить, почему так.

Пусть мы делим на число $K$: $(K,10)=1$. Пусть 111...1 (m единиц) даёт остаток r, и пусть 111...1 (n единиц) тоже даёт остаток r, и пусть m<n.
Тогда, видимо, какое-то 111...1 (k единиц), m<k<n, обязательно даёт остаток 0, и я что-то никак не могу это показать :) Попробую потом, на свежую голову.


$k =\left\lfloor n/(n - m) \right\rfloor \cdot (n-m)$, с помощью kotenok gav

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 16:05 


21/05/16
4292
Аделаида
eugensk в сообщении #1332212 писал(а):
Тогда, видимо

1111...111000...000 (n-m единиц и m нулей) будет делится. Убираем нули и получаем 1111...111 (n-m единиц).

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 16:11 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
kotenok gav

Именно так :facepalm:
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 16:59 


21/05/16
4292
Аделаида
Теперь для оценки числа единиц нужно найти хотя бы n.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 18:21 


05/09/16
11467
kotenok gav в сообщении #1332221 писал(а):
Теперь для оценки числа единиц нужно найти хотя бы n.

Ну например n=253 :mrgreen:
Но это мне кажется все-таки неконструктивным путем.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 18:32 


21/05/16
4292
Аделаида
А m тогда есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 18:40 


05/09/16
11467
kotenok gav в сообщении #1332247 писал(а):
А m тогда есть?

Да сколько угодно. $n-m=252, m>0$
То есть любое число, в десятичной записи которого сначала идут $252k, k>0$ единиц (или двоек или троек и т.п.) а потом один или больше нулей, делится на $2018$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 19:13 


21/05/16
4292
Аделаида
Все, задача Ktina решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 23:14 


05/09/16
11467
Решена на калькуляторе. Теперь хотелось бы без.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group