2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 13:49 
Так как $2018=2\cdot1009$ (1009 - простое), то достаточно найти число из единичек, которое делится на 1009, а такое число на основании принципа Дирихле обязательно найдется и будет иметь не более 1009 единичек! Остается просто приписать нужное число ноликов.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 14:51 
Аватара пользователя
matidiot в сообщении #1332194 писал(а):
достаточно найти число из единичек, которое делится на 1009, а такое число на основании принципа Дирихле обязательно найдется

А в чем особенность 1009, что какое-то 11111...1 на него делится? На 5, например, никакое не делится (и все кролики запихнуты в клетку #1).

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 14:57 
matidiot в сообщении #1332194 писал(а):
число из единичек

и нулей...

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 15:03 
eugensk в сообщении #1332203 писал(а):
На 5, например, никакое не делится.

Для любого числа $a$, которое не делится на $2$ и/или на $5$, существует число $b$, составленное из единиц такое, что $b$ делится на $a$.
Соответственно если $a$ простое но не $2$ и не $5$, то всегда существует $111..1$ которое делится на $a$.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 15:35 
Аватара пользователя
eugensk в сообщении #1332203 писал(а):
А в чем особенность 1009, что какое-то 11111...1 на него делится? На 5, например,
Здесь наоборот -- особенность у числа 5. В том, что оно является делителем основания системы счисления.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 15:39 
Аватара пользователя
И действительно, я не подумал. Всё равно не могу сообразить, почему так.

Пусть мы делим на число $K$: $(K,10)=1$. Пусть 111...1 (m единиц) даёт остаток r, и пусть 111...1 (n единиц) тоже даёт остаток r, и пусть m<n.
Тогда, видимо, какое-то 111...1 (k единиц), m<k<n, обязательно даёт остаток 0, и я что-то никак не могу это показать :) Попробую потом, на свежую голову.


$k =\left\lfloor n/(n - m) \right\rfloor \cdot (n-m)$, с помощью kotenok gav

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 16:05 
eugensk в сообщении #1332212 писал(а):
Тогда, видимо

1111...111000...000 (n-m единиц и m нулей) будет делится. Убираем нули и получаем 1111...111 (n-m единиц).

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 16:11 
Аватара пользователя
kotenok gav

Именно так :facepalm:
Спасибо!

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 16:59 
Теперь для оценки числа единиц нужно найти хотя бы n.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 18:21 
kotenok gav в сообщении #1332221 писал(а):
Теперь для оценки числа единиц нужно найти хотя бы n.

Ну например n=253 :mrgreen:
Но это мне кажется все-таки неконструктивным путем.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 18:32 
А m тогда есть?

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 18:40 
kotenok gav в сообщении #1332247 писал(а):
А m тогда есть?

Да сколько угодно. $n-m=252, m>0$
То есть любое число, в десятичной записи которого сначала идут $252k, k>0$ единиц (или двоек или троек и т.п.) а потом один или больше нулей, делится на $2018$.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 19:13 
Все, задача Ktina решена.

 
 
 
 Re: 2018-значное число, делящееся на 2018
Сообщение13.08.2018, 23:14 
Решена на калькуляторе. Теперь хотелось бы без.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group