Возникает противоречие при определении площади/объема.

[yan01]

Решил проверить выражение и кое-что не понял. Почему, если вычесть из формулы площади откидной форточки площадь сдвижной форточки (при условии, что она открывается в виде прямоугольника с площадью $ah$), при расчёте косинуса в ответе не получается число, близкое к нулю, ведь только при откинутой форточке примерно на 90 градусов объем поступаемого воздуха в форточках будет равен?

[Dmitriy40]

yan01 в сообщении #1328749 писал(а):

Почему же с перпендикулярами правильнее всего? Ведь в первом измерении площадь форточки больше, а перпендикулярами вы её только суживаете.

Потому что установив в неограниченном потоке газа воронку (рупор, конус) с входным диаметром в метр и выходным в сантиметр вы не получите чтобы через выходное сантиметровое отверстие прошёл весь воздух, заметаемый входным метровым диаметром, ведь у него на выходе или скорость или давление должно быть в 10 тысяч раз выше, что нереально (во всяком случае для сильно дозвуковых скоростей потока типа ветра). Потому с хорошей точностью поток будет ограничиваться именно минимальным сечением. И найти и считать надо именно минимальное сечение, которое вовсе не равно $2S_{ABE}+S_{BCFE}$. Например для угла раскрытия 90° эти площади (минимального сечения и части вашей призмы) различаются более чем в $\sqrt2$ раз. Выражение $2S_{ABG}+S_{BCHG}$ (те самые предложенные перпендикуляры) довольно близко к минимальному сечению (хотя и всегда незначительно больше за счёт отсутствия скруглений около точек $G, H$; реальная фигура должна быть похожа на наполненный ветром парус, натянутый на $ABCD$ и касающийся краем плоскости $AGHD$, т.е. самой откинутой фрамуги; но при $a \gg h$ скругления будут малы по площади).

wrest в сообщении #1328750 писал(а):

ТС еще говорит что сдвижная сдвигается только наполовину, т.е. масимальная "площадь раскрытия" у неё $\frac12ah$

Да, с этим я погорячился, в данном случае проверять не надо, раз ищем всего половину от проверяемого.

PS. Ну и похоже вообще весь расчёт площадей верен лишь для ветра строго перпендикулярно плоскости $ABCD$, что нивелирует ценность учёта всех этих тонких моментов и усложнений модели. Пример для крайних случаев: ветер снизу вверх ($||\vec{AB}$) будет выдувать воздух из помещения, ветер сверху вниз ($||\vec{CD}$) будет вдувать, причём оба ещё и в зависимости от скорости потока (!), ну а ветер параллельно прямой $BC$ вообще не создаст потока через форточку $ABCD$. Правда это уже не математика, а физика ...

[yan01]

Можно узнать у вас, а как быть с тем, что при угле откидывания форточки, стремящемся к 90 градусов, реальная площадь для прохождения воздуха будет $ah$, а из расчётов — заметно больше $ah$. И какие же всё-таки участки брать в рассмотрении в откидной форточке при условии, что угол открытия находится в диапазоне от 0 до 90 градусов?
И как же предлагается находить это минимальное сечение?
PS. Другой источник сообщает, что площадью поперченого сечения откидной форточки является произведение ширины форточки на расстояние от её плоскости до верхнего края рамы (по прямой):
$S = HL \sin\alpha$. Это верно или нет?

[Dmitriy40]

yan01 в сообщении #1328775 писал(а):

Можно узнать у вас, а как быть с тем, что при угле откидывания форточки, стремящемся к 90 градусов, реальная площадь для прохождения воздуха будет $ah$, а из расчётов — заметно больше $ah$.

Можно: это у Вас неправильные расчёты. Выражение $2S_{ABG}+S_{BCHG}$ к $S_{ah}$ и стремится при увеличении угла до 90°. И к нулю при нулевом угле. Всё как и должно быть.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1328773 писал(а):

Ну и похоже вообще весь расчёт площадей верен лишь для ветра строго перпендикулярно плоскости $ABCD$, что нивелирует ценность учёта всех этих тонких моментов и усложнений модели.

Да, но разумно тут предположить, как мне кажется, что имеется не ветер, а разность давлений в комнате и на улице. Весьма актуально для зимы из-за тяги.

Также требует уточнения термин "проветриваться". Если скажем комната герметичная и при открытии форточки давления сразу выравниваются, то как я понимаю проветривание будет конвекцией: через верхнюю часть будет выходить горячий воздух, а через нижнюю входить холодный.

-- 25.07.2018, 20:27 --

yan01 в сообщении #1328775 писал(а):

на расстояние от её плоскости до верхнего края рамы (по прямой):
$S = HL \sin\alpha$. Это верно или нет?

Вы могли бы пользоваться обозначениями на картинке? Никакого $H$ и $L$ там нет...

yan01 в сообщении #1328775 писал(а):

И какие же всё-таки участки брать в рассмотрении в откидной форточке при условии, что угол открытия находится в диапазоне от 0 до 90 градусов?

В первом приближении, заштрихованные синим:

[yan01]

yan01 в сообщении #1328781 писал(а):

Вы могли бы пользоваться обозначениями на картинке? Никакого $H$ и $L$ там нет...

Перепишу формулу: $S = ah\sin\alpha$.
Это верно?

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1328776 писал(а):

Можно: это у Вас неправильные расчёты. Выражение $2S_{ABG}+S_{BCHG}$ к $S_{ah}$ и стремится при увеличении угла до 90°. И к нулю при нулевом угле. Всё как и должно быть.

1. Это если "строить перпендикуляры".
2. Но и там есть нюанс: если учитывать "боковые треугольники", то при некоторых соотношениях в сторонах форточки и при некоторых углах, посчитанная площадь может оказаться больше, чем дыра в стене.

Например, фрамугу откинули на $\pi/4$.
Тогда площадь равна: $S = \frac{hL}{\sqrt{2}} + \frac{h^2}{4}$, $L$ - длина фрамуги, $h$ - высота фрамуги.
При $\frac{h}{L} > 2(2 - \sqrt{2})$ посчитанная площадь будет больше площади дыры в стене.
UPD: потерял двойку, исправил

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1328784 писал(а):

Но и там есть нюанс: если учитывать "боковые треугольники", то при некоторых соотношениях в сторонах форточки и при некоторых углах, посчитанная площадь может оказаться больше, чем дыра в стене.

Может. Вот когда площади равны для квадратной форточки, за $x$ взята длина перпендикуляра. https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x*sqrt(h%5E2-x%5E2)%2Ba*x%3Da*h+for+variable+x+where+a%3D1+and+h%3D1
Угол соответственно $\sin \alpha = \frac{x}{h}$ то есть около $33^{\circ}$.
Кстати считать с перпендикулярами оказалось ничем не легче, все вроде такое же трехэтажное.

[Dmitriy40]

EUgeneUS
Было требование $a \gg h$. И надеюсь у вас $L=a$, потому что обозначения $L$ на рисунке нет. При $a < h$ вполне возможны странные результаты, тут с Вами совершенно согласен.

yan01
Не надо цитировать всё сообщение, цитируйте только необходимую часть выделяя её и нажимая кнопка Вставка внизу цитируемого сообщения. Или придут модераторы и законопатят тему в карантин до исправления всех цитат ...

[yan01]

wrest в сообщении #1328790 писал(а):

Может. Вот когда площади равны для квадратной форточки, за $x$ взята длина перпендикуляра. https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %5E2-x%5E2)%2Ba*x%3Da*h+for+variable+x+where+a%3D1+and+h%3D1

Угол соответственно $\sin \alpha = \frac{x}{h}$ то есть около $33^{\circ}$.
Кстати считать с перпендикулярами оказалось ничем не легче, все вроде такое же трехэтажное.

Я не пойму, так что тогда нужно считать, если угол равен 33 градусам или форточка квадратная?

[wrest]

yan01 в сообщении #1328781 писал(а):

Перепишу формулу: $S = ah\sin\alpha$.
Это верно?

Это похоже на площадь верхней щели, без боковых треугольников. Ну кто его знает, может "эффективная площадь" и такая при малых углах... Тут очень все зависит от соотношения сторон (длины и высоты, $a$ и $h$).

-- 25.07.2018, 20:51 --

yan01 в сообщении #1328794 писал(а):

Я не пойму, так что тогда нужно считать, если угол равен 33 градусам или форточка квадратная?

При $a=h$ (форточка квадратная) эффективная площадь (заштриховано синим на моих рисунках) равная $ah$ получается при угле открытия $33^{\circ}$

-- 25.07.2018, 20:53 --

Dmitriy40 в сообщении #1328793 писал(а):

При $a < h$ вполне возможны странные результаты,

Ну это кстати вполне себе откидное окно, вертикальное такое.

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1328793 писал(а):

Было требование $a \gg h$.

Условие, когда "посчитанная площадь" больше площади дыры в стене:

$h/a > 2 \frac{1-x}{x \sqrt{1-x^2}} = 2 \frac {\sqrt{1-x}}{x \sqrt{1+x}}$

$x = \sin \alpha$

Как видим, для любого отношения $a/h$, найдется такой синус (меньше 1), чтобы неравенство было верным

-- 25.07.2018, 21:15 --

UPD:
если есть условие, что

Dmitriy40 в сообщении #1328793 писал(а):

$a \gg h$

то "боковыми треугольниками" пренебрегаем, как членами следующего порядка малости, и всё становится очень просто
$S = ah \sin \alpha$

[Dmitriy40]

Замена ветра на разность давлений хороша! Сразу получаем требование на минимальное сечение без всяких рассуждений о каких-либо других площадях.

В исходной формулировке надо сравнивать площадь форточки не с $ah$, а с $ah/2$. Такое тоже может быть при любом $a/h$? Что же, тогда таки надо сравнивать найденную площадь с $ah/2$ и брать меньшую.
И если да, то каков порядок разницы, может она исчезающе мала по сравнению с другими погрешностями модели? Хотя это уже опять физика. В общем не настаиваю, просто мне кажется это несущественные детали.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1328790 писал(а):

Кстати считать с перпендикулярами оказалось ничем не легче, все вроде такое же трехэтажное.

(Оффтоп)

Это как АК (Туз-Король в покере или Анна Курникова) - выглядит красиво, играет так себе
Всё выражается красиво через синус и синус двойного угла. А так-то получается кубическое уравнение.

-- 25.07.2018, 21:33 --

Dmitriy40 в сообщении #1328805 писал(а):

Замена ветра на разность давлений хороша!

Это же не было раньше? Или я что-то упустил?

Если про физику.
1. Все эти подсчеты сечений - это так себе развлечение.
2. Модель-то другая. Есть дыра в стене, и есть фрамуга, которая стоит в потоке. И тут, имхо, или Навье-Стокс (т.е. численное моделирование), или какие-то эмпирические формулы искать.
3. Далее смотрим разные условия.

а) Если ветер дует поперек дома - то да, это должно сводиться к разности давлений.
б) А если вдоль дома?
в) А если разница температур (зима-лето)? Тогда надо рассматривать вертикальные потоки вдоль стены, и как на них фрамуга влияет).

[yan01]

Я всё-таки хотел бы узнать: какой из способов определения площади откидного окна наиболее эффективен и реалистичен? И если подобного нет, то какие способы подходят для такие ситуаций, как:
1) $a > h; a < h; a = h$
2) малые углы, угол 33 и 45 градусов, большие углы?
Хотелось бы избежать пренебрежений, приводящих к искажению результата.