Расположение точек на сфере

[B@R5uk]

Что-то такое в квадрате получается:

(Оффтоп)

Случай с четырьмя точками довольно необычный. Добиваясь равноудалённости точек 1-2-3, а затем точек 2-3-4, расстояние 1-4 оказывается равным всем остальным расстояниям автоматически.

[Munin]

Красиво!

B@R5uk в сообщении #1328296 писал(а):

Случай с четырьмя точками довольно необычный. Добиваясь равноудалённости точек 1-2-3, а затем точек 2-3-4, расстояние 1-4 оказывается равным всем остальным расстояниям автоматически.

А я знаю, почему! Потому что точки 1-2-4-3 (в таком порядке) образуют квадрат, который пересекает границу квадрата тора. То есть, тор "замощён" двумя квадратами и 4 правильными треугольниками, сливающимися в два ромба.

-- 23.07.2018 08:20:25 --

Группа симметрий этого решения $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$? (с обозначением $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$)

[B@R5uk]

Munin в сообщении #1328301 писал(а):

Потому что точки 1-2-4-3 (в таком порядке) образуют квадрат

А! Тогда эту картинку правильно будет рисовать вот так:

(Оффтоп)

С пятью точками тоже в своём роде забавная ситуация: они расположены на пересечении двух колец (двух самонакладывающихся замкнутых прямых).

[Munin]

Ага, я как раз хотел предложить дорисовать :-) Красивая картинка!

[B@R5uk]

С шестью точками не очень идёт. Монте-Карло наворожил что-то мутное. Пытаюсь вот расшифровать.

[Aritaborian]

Картинка для трёх точек сильно напоминает решение задачи Штейнера для вершин квадрата.

(Оффтоп)

Неспроста?

[B@R5uk]

Нашёл решение для шести точек:

(Оффтоп)

Получилось таки не плохо: куча избыточных связей. До случая с тремя точками (где каждая имеет целых пять), конечно, не дотягивает, но по четыре ребра жёсткости на каждую вершину — это тоже сильно.

[B@R5uk]

Для семи точек Монте-Карло с отжигом наворожил вот такую сеточку:

(Оффтоп)

Просматриваются равносторонние треугольники, прямые углы, параллельные сторонам тора отрезки и даже целый квадрат. Но впечатление от картинки не очень. Не уверен даже, что это оптимальное решение

-- 23.07.2018, 15:34 --

Мда, это решение получилось для 8-и точек, а не для 7-и. Если правильно перекинуть одну точку, то освободится место для ещё одной, а если не правильно это сделать, то одна точка будет болтаться в воздухе:

(Оффтоп)

[venco]

B@R5uk в сообщении #1328296 писал(а):

Я думаю, точки 2 и 3 надо повернуть, иначе не получится больше $1\over 2$.
Как-то так:

[B@R5uk]

venco в сообщении #1328346 писал(а):

Я думаю, точки 2 и 3 надо повернуть, иначе не получится больше $1\over 2$.

Да, действительно, у меня ошибка: я померил расстояние между точками 2 и 3 внутри квадрата, в то время как их надо было померить пересекая горизонтальные стороны (для пропорций моего рисунка). Так что моё решение для трёх точек неправильное. Спасибо, что указали на ошибку.

venco в сообщении #1328346 писал(а):

Как-то так:

Что-то у вас не так. Точка, которая находится в вершине большого квадрата имеет всего две связи. Более того, она является центром отрезка, соединяющего две другие точки. Если эту точку двигать вдоль центрального перпендикуляра, то расстояние до двух других точек будет расти. Так что приведённая вами конфигурация точек не является экстремумом.

Скорее всего, ответом на задачу с тремя точками будет конфигурация из задачи с четырьмя точками с выкинутой четвёртой точкой (или первой — всё равно):

(Оффтоп)

К сожалению некрасивое, искусственное решение.

[grizzly]

B@R5uk в сообщении #1328356 писал(а):

Что-то у вас не так.

Я согласен с venco -- 3 длинных отрезка равны и равны сумме двух коротких. Как же лучше? Можете дать картинку?

Upd.

B@R5uk в сообщении #1328356 писал(а):

Скорее всего, ответом на задачу с тремя точками будет конфигурация из задачи с четырьмя точками с выкинутой четвёртой точкой (или первой — всё равно).

Ага, понял.

[venco]

А ещё сдвинуть:

И да, получилась конфигурация для четырёх точек.

[B@R5uk]

А вот для восьми точек получается шикарная картинка:

(Оффтоп)

Наравне с решением для четырёх точек: в каждой вершине сходится по пять ребер жёсткости. И мне кажется тут довольно много всяких разных симметрий. Например, если поменять местами точки 1 и 2, а так же 5 и 6, то фигура перейдёт сама в себя. Это эквивалентно отражению относительно прямой 3-7 или, что тоже самое, прямой 8-4.

[Munin]

8 точек - это повёрнутая на $\pi/4$ картинка для 4 точек.

[B@R5uk]

О! И правда: повёрнутая и масштабированная.

Вот думаю: что делать с 7-ю точками? Смириться с тем, что ситуация с 7-ю и 8-ю точками такая же, как с 3-мя и 4-мя?