Что такое температура в квантовой физике?

[topSC]

Рассмотрим образец, который при определённой температуре $T>0$ становится сверхпроводящим. Вопрос: о каких процессах на самом деле идёт речь в данном случае?
Правильно ли я понимаю, что температура это что-то вроде скорости атомов? Когда говорят, что атом охладили, я думаю, что его замедлили, но вот механизм не представляю, а также не представляю, что конкретно замедляется внутри атома.

На данном этапе обсуждения вопрос не четкий, но и целью является как можно больше всего понять. Конечно, есть много терминов, в которых присутствуют такие слова, как "температура" или "тепло", и они могут означать разное. Интересно обсудить различные значения в выбранном направлении, кто с чем сталкивался. Я надеюсь, что в определённый момент обсуждение примет более формальный вид, но сначала хочется просто немного поговорить о терминологии. Хотелось бы также оговаривать, где у нас чисто математический механизм, а где не чисто.

Например, при ненулевом градиенте температуры может течь ток в отсутствии электрического поля. Вопрос: какой механизм создания градиента температуры?

Касательно формальных рассуждений:
Во многих темах температура присутствует как параметр изначально и никто не говорит о том, откуда она взялась и как её меняют. Вроде бы температуру нужно понимать как некое статистическое явление, а первое формальное определение, которое вспоминается, $T=dU/dS$ (но я ни разу им не пользовался). Например, имеется набор спинов. Равновесное распределение Гиббса - вероятность встретить конфигурацию при заданной температуре (уже становится не понятно, кто и как её задал). С другой стороны, если рассмотреть в первом возбужденном состоянии очень много гармонических осцилляторов, то это уже не равновесное распределение. Они имеют температуру? Если в GS (ground state), то $T=0.$ А если система находится в чистом состоянии не в GS, ее температура не определяется? Кажется, тут обычно говорят об эффективной температуре, т.е. температуре, при которой энергия системы равна энергии квантового состояния. А если рассматривать одну частицу при температуре $T,$ то говорят, что её состояние (квантовое тепловое состояние) задаётся оператором плотности $\rho=Z^{-1} e^{-\beta H}.$ И вот что же такое температура в квантовом мире?

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- всё-таки нужно попробовать сформулировать тему обсуждения более предметно, чтобы другие участники не угадывали, о каких процессах предлагается говорить - и это не отменяет необходимости наличия собственных содержательных попыток ответа на вопросы, которые будут поставлены.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вопрос уточнён.

[Munin]

topSC в сообщении #1327757 писал(а):

Вроде бы температуру нужно понимать как некое статистическое явление, а первое формальное определение, которое вспоминается, $T=dU/dS$ (но я ни разу им не пользовался).

Вот это зря. Это как раз самое фундаментальное определение температуры, из которого вытекают её свойства.

Давайте начнём со статистической, но не квантовой физики. Вот пояснение именно определения $1/T=\partial S/\partial U.$

Munin в сообщении #1057395 писал(а):

hupyter в сообщении #1057228 писал(а):

Ок, вибрацию не чувствуем. А что чувcтвуем? Варианты распределения частиц по квантовым состояниям :evil: ? Что значит "палец нагревается", на материальном уровне?


Да, мы чувствуем варианты распределения по квантовым состояниям. Дело в том, что они приводят к передаче энергии.

Посмотрим, что происходит при передаче энергии от железки к пальцу:
- если у железки много энергии, а у пальца мало, то у железки много вариантов распределения по квантовым состояниям, а у пальца мало;
- наоборот, если у железки мало энергии, а у пальца много, то у железки мало вариантов распределения по квантовым состояниям, а у пальца много.
Но железка и палец стремятся увеличить свои варианты распределения одновременно. Поэтому до какого-то уровня железка может тратить энергию, несильно жертвуя своей долей вариантами, в то время как за счёт пальца варианты растут быстрее. А потом уже нет: если железка ещё потратит энергию, то максимум останется позади, и общее число вариантов уменьшится.

Рассмотрим самый простой (и немного нереалистичный, но передающий суть) пример. Пусть и железка и палец - это система, которая может находиться в вариантах $1,2,\ldots,E.$ То есть, если энергия пальца 2, то он может находиться в двух вариантах, а если энергия пальца 4 - в четырёх вариантах. И пусть суммарная энергия железки и пальца, скажем, 6. Тогда для системы "железка + палец" мы должны изобразить что-то вроде такой картинки:
$\square\square\square\square$
$\square\square\square\square$
По вертикали отложим варианты пальца, а по горизонтали - варианты железки. Тогда варианты общей системы "железка + палец" оказываются произведением вариантов железки и пальца. На каждый вариант железки, палец может оказаться ещё в 2 вариантах - отсюда и произведение.

И теперь посмотрим на теплопередачу в такой системе. Вначале у нас железка горячая (энергия 5), а палец холодный (энергия 1). Это картинка такая:
$\square\square\square\square\square$
Здесь всего 5 вариантов. Но допустим, часть энергии передалась от железки к пальцу:
$\square\square\square\square$
$\square\square\square\square$
Это выгодно: тут уже 8 вариантов. Такой процесс произойдёт. И может произойти ещё шажок:
$\square\square\square$
$\square\square\square$
$\square\square\square$
Здесь уже 9 вариантов. Это максимум - дальше наступит уменьшение. Поэтому, здесь процесс и остановится. Что у нас произошло? Была горячая железка (5) и холодный палец (1), а в итоге они выровнялись (3 и 3), стали одинаково тёплыми. Именно это и происходит в реальности: энергия передаётся от горячего тела к холодному, пока температуры не выравниваются. Это называется тепловым равновесием.

Почему я говорю "температуры выравниваются", а не "энергии выравниваются"? Потому что я для упрощения сделал железку и палец одинаковыми, а на самом деле, у них может быть разная теплоёмкость. Например, если для пальца варианты будут $1,2,\ldots,E,$ а для железки - $1,2,\ldots,E^2,$ то у железки будет больше теплоёмкость. Тогда равновесие установится в случае, когда энергия у пальца будет 2, а у железки - 4 - именно это будет максимумом вариантов.

Потом из этого определения вычисляются распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. И дальше их всегда хватает, на все случаи жизни. Они имеют смысл вероятности того, что данная частица (фермион или бозон) примет данную энергию, подразумевая, что она находится в тепловом равновесии с резервуаром, имеющим заданную температуру. Здесь подразумевается, что в формуле $1/T=\partial S/\partial U$ рассматриваются энтропия $S$ и энергия $U$ системы "резервуар + данная частица". Резервуар - большой, и может находиться во множестве состояний, и всегда может передать данной частице энергию и для перехода вверх, и для перехода вниз. Но данная частица даёт свой вклад в энергию и энтропию. Из этого и получаются вероятности переходов вверх и вниз, вероятности занять каждый отдельный уровень энергии.

Если распределение отличается от Бозе-Эйнштейновского или Ферми-Дираковского, то система не находится в равновесии. Она будет двигаться к равновесию, если дать ей эволюционировать самостоятельно.

Давайте пока зафиксируем этот уровень.

[amon]

topSC в сообщении #1327757 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что температура это что-то вроде скорости атомов?

Иногда да, иногда - нет. Температура - это то, что у разных тел, находящихся в контакте и в равновесии, оказывается одинаковым. Из этого неотчетливого тезиса выводится с разной степенью строгости разные утверждения типа $T=\partial U/\partial S,$ связь температуры со статистикой и прочее и прочее. Подробности есть в любом хорошем учебнике по термодинамике и стат.физике. Для начала можно посмотреть второй параграф в "Термодинамика, статистическая физика и кинетика" Ю. Б. Румера и М. Ш. Рывкина. Про сверхпроводимость там тоже есть, но существенно дальше.

[Munin]

Моим любимым учебником был
Киттель. Статистическая термодинамика.
Этот автор очень доходчиво объясняет серьёзные вещи. Хотя может быть, в этой книге не заходит слишком глубоко и далеко. Сверхпроводимость, может быть, это уже в Ландау-Лифшице.

[Cos(x-pi/2)]

amon в сообщении #1328133 писал(а):

Температура - это то, что у разных тел, находящихся в контакте и в равновесии, оказывается одинаковым. Из этого неотчетливого тезиса выводится с разной степенью строгости разные утверждения типа $T=\partial U/\partial S,$ связь температуры со статистикой и прочее и прочее. Подробности есть в любом хорошем учебнике по термодинамике и стат.физике.

С этого начинается и курс лекций Р. Фейнмана "Статистическая механика" (есть здесь, в конце списка книг). О сверхпроводимости - глава 10.

[topSC]

Munin, благодарю Вас за детальные объяснения (ответы в головном мозге начали генерироваться на каком-то подсознательном уровне) и учебник Киттеля!

Munin в сообщении #1328026 писал(а):

Давайте пока зафиксируем этот уровень.

Этот уровень зафиксирован, за исключением одного момента. Последовательное изложение в учебнике Киттеля позволило также зафиксировать и чисто формальный уровень вывода определения температуры (я имею в виду последовательный путь к формуле $1/\tau_1=\partial \sigma_1 / \partial U_1=\partial \sigma_2 / \partial U_2=1/\tau_2,$ первые 4 главы).

Munin в сообщении #1328026 писал(а):

Но железка и палец стремятся увеличить свои варианты распределения одновременно.

Правильно ли я понимаю формальную причину, что это происходит из-за того, что наиболее вероятным распределением энергии является то, при котором система имеет максимальное число допустимых состояний (это и называют тепловым равновесием), что в свою очередь следует из:
- основной гипотезы о возможности нахождении замкнутой системы в любом допустимом стационарном (хотя мы всё-таки знаем, что эти состояния не совсем стационарны, так как всегда существуют возмущения типа нулевых колебаний) квантовом состоянии с равной вероятностью;
- конструкции усреднения по ансамблю Гиббса, где системы из ансамбля равновероятны?

amon, спасибо за пояснения о температуре. В Румере и Рывкине мне больше понравились главы о флуктуациях + я увидел вывод формулы Кубо, хотя, кажется, о линейном отклике они не говорят.

[Munin]

topSC в сообщении #1329041 писал(а):

Правильно ли я понимаю формальную причину, что это происходит из-за того, что наиболее вероятным распределением энергии является то, при котором система имеет максимальное число допустимых состояний (это и называют тепловым равновесием), что в свою очередь следует из:
- основной гипотезы о возможности нахождении замкнутой системы в любом допустимом стационарном... квантовом состоянии с равной вероятностью;
- конструкции усреднения по ансамблю Гиббса, где системы из ансамбля равновероятны?

Ага.

Вот скажите, почему я в своём "пояснении на пальцах" в конце предложил железку $1,2,\ldots,E^2$ состояниями? Почему меня не устроило $1,2,\ldots,2E$?

topSC в сообщении #1329041 писал(а):

хотя мы всё-таки знаем, что эти состояния не совсем стационарны, так как всегда существуют возмущения типа нулевых колебаний

Э нет. Слова "нулевые колебания" очень популярны, но на самом деле не отображают никаких колебаний. Стационарности состояний они не нарушают.

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
для продолжения разговора на эту тему.

Вернёмся к началу темы.

topSC в сообщении #1327757 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что температура это что-то вроде скорости атомов? Когда говорят, что атом охладили, я думаю, что его замедлили, но вот механизм не представляю, а также не представляю, что конкретно замедляется внутри атома.

Это два разных вопроса:
- Когда говорят об атомах, об охлаждении атомов (во множественном числе), то подразумевают их скорость. Это вполне ложится на идеальные газы Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака, смотря какие у вас атомы. Скорость у атомов есть вплоть до очень низких температур, микрокельвины и т. п. Здесь же - конденсат Бозе-Эйнштейна из ультрахолодных атомов в магнитной ловушке.
- Когда говорят о внутренностях атома, то подразумеваются его возбуждённые состояния. А они возбуждаются только при очень высоких температурах (тысячи кельвин, потому что по $k_B$ один эВ равен 11604,5 К), так что более низкие температуры для одного отдельного атома - как "абсолютный нуль". И вообще, его можно рассматривать не как термодинамическую систему, а как находящийся в точном квантовом состоянии.

[topSC]

Munin в сообщении #1328026 писал(а):

Но железка и палец стремятся увеличить свои варианты распределения одновременно.

Правда, что объяснения этому явлению без формального подхода нет, что это объективная реальность?

Munin в сообщении #1329056 писал(а):

Вот скажите, почему я в своём "пояснении на пальцах" в конце предложил железку $1,2,\ldots,E^2$ состояниями? Почему меня не устроило $1,2,\ldots,2E$?

Чтобы была ощутимая разница в энтропии ($\ln E^2=2\ln E,$ а $\ln 2E=\ln E+\ln 2$)? Вы хотели показать, что может быть другой максимум?

Munin в сообщении #1329056 писал(а):

Слова "нулевые колебания" очень популярны, но на самом деле не отображают никаких колебаний. Стационарности состояний они не нарушают.

О нулевых колебаниях я был не прав. Хотел сказать о возмущениях, которые не дают большой вклад в энергию. Они же существуют? Какова их роль?

Munin в сообщении #1329056 писал(а):

более низкие температуры для одного отдельного атома - как "абсолютный нуль". И вообще, его можно рассматривать не как термодинамическую систему, а как находящийся в точном квантовом состоянии.

А как на эксперименте генерируют отдельный атом и работают с ним? Можно ли наблюдать один атом в возбуждённом состоянии? В его окрестности что-то есть в этот момент?

По определению нельзя сказать, что отдельный атом или что-то вроде электрона имеет температуру, так как нет никакого ансамбля, а из $P(E_n)=Z^{-1} e^{-\beta E_n}$ получим $T=0, T=\infty, T<0$ в случаях $P(E_0)=1, P(E_0)=P(E_1)=1/2, P(E_1)=1$ соответственно (если всего два энергетических уровня)?

(Оффтоп)

Оставлю на более позднее обсуждение эту ссылку When temperature goes quantum, чтобы не забыть.

[Munin]

topSC в сообщении #1329212 писал(а):

Вы хотели показать, что может быть другой максимум?

А будет ли другой максимум при состояниях $1,2,\ldots,2E$? И какой будет при $1,2,\ldots,E^2$?

topSC в сообщении #1329212 писал(а):

Хотел сказать о возмущениях

А, это другой вопрос. Формально говоря, надо от возмущённых состояний перейти к новому базису точных уровней энергии, и только в нём строго будет выполняться распределение.

topSC в сообщении #1329212 писал(а):

А как на эксперименте генерируют отдельный атом и работают с ним?

В эксперименте работают с большим числом атомов. Они дают разные отклики, и получается статистика. Если хотят работать с одним атомом, то посылают в кучку атомов фотоны по одному (это сделать можно).

topSC в сообщении #1329212 писал(а):

По определению нельзя сказать, что отдельный атом или что-то вроде электрона имеет температуру

Само по себе - да. Но подразумевается, что оно находится в контакте с резервуаром, и тогда получается, что можно сказать о температуре резервуара.

Например, всё-таки любое лабораторное оборудование излучает тепловые фотоны. Либо комнатной температуры - инфракрасные, либо если оно криогенное - микроволновые. Атом имеет некоторую вероятность с ними взаимодействовать.

[topSC]

Munin в сообщении #1329213 писал(а):

А будет ли другой максимум при состояниях $1,2,\ldots,2E$? И какой будет при $1,2,\ldots,E^2$?

В первом случае равновесие установится, когда энергия у пальца 3 и у железки 3 - это будет максимумом вариантов (18). Во втором случае максимум вариантов, когда энергия у пальца 2, а у железки 4 (32). Во втором случае энергии пальца и железки не равны.

Munin в сообщении #1329213 писал(а):

Формально говоря, надо от возмущённых состояний перейти к новому базису точных уровней энергии, и только в нём строго будет выполняться распределение.

Понял. А есть на примете практический пример, где действительно можно было бы допустить ошибку, забыв учесть эти возмущения?

Munin в сообщении #1329213 писал(а):

Само по себе - да. Но подразумевается, что оно находится в контакте с резервуаром, и тогда получается, что можно сказать о температуре резервуара.

Например, всё-таки любое лабораторное оборудование излучает тепловые фотоны. Либо комнатной температуры - инфракрасные, либо если оно криогенное - микроволновые. Атом имеет некоторую вероятность с ними взаимодействовать.

Munin в сообщении #1328026 писал(а):

Давайте начнём со статистической, но не квантовой физики.

Но тут уже начинают говорить, что система находится в смешанном состоянии и описывается оператором плотности, так?

-- 28.07.2018, 00:20 --

Что такое тепловой фотон? Это фотон, который возник в ходе электромагнитного излучения, возникающего за счёт внутренней энергии тела. То есть они отличаются от других фотонов своими статистическими свойствами? Как понять, что фотон тепловой? Или мы только источник можем идентифицировать?

[Munin]

topSC в сообщении #1329223 писал(а):

В первом случае равновесие установится, когда энергия у пальца 3 и у железки 3 - это будет максимумом вариантов (18). Во втором случае максимум вариантов, когда энергия у пальца 2, а у железки 4 (32). Во втором случае энергии пальца и железки не равны.

Вот видите? Чтобы показать "разную теплоёмкость", мало было просто изменить зависимость числа состояний от энергии. Надо было изменить её характер (в данном случае, полиномиальную степень). Глядя на формулы из Киттеля, это всё очень легко понять.

topSC в сообщении #1329223 писал(а):

А есть на примете практический пример, где действительно можно было бы допустить ошибку, забыв учесть эти возмущения?

Нет, у меня нет.

topSC в сообщении #1329223 писал(а):

Что такое тепловой фотон?

Я подразумевал именно источник. Я не настолько разбираюсь в фотонах, увы, чтобы сказать точнее.

[topSC]

Munin, в какой момент переходят к квантовой физике? Пока что мы рассматривали статистическую (не квантовую), но ведь есть квантовая стат. физика и ещё стат. теория поля.
Рассмотрим пространство Фока и конкретный гамильтониан для лабораторного образца (например, кусок сплава нано масштаба). Образец находится в тепловом равновесии с лабораторным окружением. Тут всё ещё применим канонический ансамбль (в смысле квантовой стат. физики). Но говорят уже о состояниях, линейном операторе плотности.

[Munin]

Я так понимаю, что в физике есть "статистический переход". До перехода мы рассматриваем некую систему в "детерминированном" состоянии. Квантовую или неквантовую, полевую или неполевую. Для неё есть точно решаемые уравнения, которые в некотором пространстве состояний выбирают одно состояние.

А при переходе, мы рассматриваем ансамбль таких систем. То есть, во всём пространстве состояний расставляем вероятности. (Внимание, классические вероятности! Это не то же самое, что квантовые комплексные амплитуды.) И рассматриваем уравнения системы как условия на распределение вероятностей в пространстве состояний.