2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение20.07.2018, 10:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
gefest_md в сообщении #1327409 писал(а):
$\int f(x,c)\,dx=F(x)+c,

Так не бывает, чтоб одной буквой обозначались разные. Во всяком случае, в приличном опчестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение20.07.2018, 14:50 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
ewert в сообщении #1327802 писал(а):
Так не бывает, чтоб одной буквой обозначались разные.
Я ничего не обозначал. Из выражения $\int f(x)\,dx=\{F(x)+c\}$ убрал фигурные скобки и дописал $c$. Получилось выражение $\int f(x,c)\,dx=F(x)+c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение20.07.2018, 16:42 
Аватара пользователя


07/01/15
1013
Якутск

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1327874 писал(а):
Я ничего не обозначал. Из выражения $\int f(x)\,dx=\{F(x)+c\}$ убрал фигурные скобки и дописал $c$. Получилось выражение $\int f(x,c)\,dx=F(x)+c$.

Психологический переход от одной переменной к двум довольно тяжел. Мне теперь будут сниться кошмары, в которых добрые ОДУ превращаются в страшные ДУЧП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение24.07.2018, 10:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
gefest_md в сообщении #1327874 писал(а):
и дописал $c$

и не туда.

Цитата:
Ничего себе! – сказал Шляпа. – Ты бы еще сказала: «я вижу все, что ем», и я «ем все, что вижу» – это тоже одно и то же!

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение05.08.2018, 09:32 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
ewert в сообщении #1328463 писал(а):
и не туда.
Идея была в том, чтобы подынтегральную функцию $f$ рассматривать в пространстве, а функцию $F$ - в плоскости. И чтобы была биекция $f(x,c)\mapsto F(x)+c.$ С учетом этого $c$ не всегда надо добавлять. Знак интеграла всегда дополнять своим индексом. Например, линейность я бы выразил так:
$\int_1(\alpha u(x)+\beta v(x))\,dx=\alpha\int_2 u(x)\,dx+\beta\int_3 v(x)\, dx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение08.08.2018, 09:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):
И чтобы была биекция $f(x,c)\mapsto F(x)+c.$

Её не может быть тупо потому, что от цэ зависит вовсе не подынтегральная функция. Шляпа был не дурак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 00:00 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):
биекция $f(x,c)\mapsto F(x)+c.$
Прокомментирую. Пусть есть функция $\bar{f}$ на плоскости $Oxz.$ И пусть у неё есть первообразная $F$: $F^\prime=\bar{f}.$ Далее определяю множества (предполагается, что элементы множеств $A$ и $B$ - функции).

$$A=\{g\subseteq\mathbb{R}^2\mid\exists c\in\mathbb{R}\forall x\,(g(x)=F(x)+c)\}$$
Множество $A$ - это множество всех функций $F+c$ на плоскости $Oxz$.

$$B=\{f\subseteq\mathbb{R}^3\mid\forall x\forall y(f(x,y)=\bar{f}(x))\And\exists !c\in\mathbb{R}\forall x(f(x,c)=\bar{f}(x))\}$$
Элемент множества $B$ находится в пространстве $Oxyz$ и он - функция из плоскости $y=c$, которая там повторяет функцию $\bar{f}$.

$$\Phi=\{(g,f)\in A\times B\mid\exists c\in\mathbb{R}[g=F+c\And\forall x(f(x,c)=\bar{f}(x))]\}$$
$\Phi$ - биективное отображение. $\Phi(g)=f$ значит, что $g=F+c$, а $f$ - это $\bar{f}$, перенесённая на плоскость $y=c.$

gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):
линейность
Хочу ещё сказать по поводу линейности. Пусть есть функции $\bar{u}$ и $\bar{v}$, которые имеют первообразные. Тогда определим для них, как для $\bar{f}$, свои множества $A_1,\ B_1,\ \Phi_1$ и $A_2,\ B_2,\ \Phi_2$ соответственно. И тогда можно вроде утверждать, что для функции $\bar{u}+\bar{v}$ существуют $A_0,\ B_0,\ \Phi_0$ такие, что $\Phi^{-1}_0(u+v)=\Phi^{-1}_1(u)+\Phi^{-1}_2(v).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7492
Ну вот зачем это все? Зачем из банального, в общем, понятия, требующего только привлечения внимания к некоторым нюансам, делать нечто совершенно несъедобное в духе бурбакизма? Для фильтрации студентов на тех, кто пережил введение понятия первообразной (не понял - пережил), и тех, кто уже не?

(Оффтоп)

Мне тут намекнули про правильность - на правильность я уже и не смотрю. Вот ей-богу вижу эту кучу буков вместо четырех ожидаемых - и незачем на нее смотреть, на правильность. Не может ее быть, - да и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 13:42 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
Otta в сообщении #1333351 писал(а):
Ну вот зачем это все?
Пост про $A,\ B,\ \Phi$ я опубликовал и для себя тоже. Вот сегодня уже я заметил, что условие о существовании и единственности из определения множества $B$ можно ослабить: оставить только единственность. $\Phi$ останется биективным отображением. По другому я бы это скорее не заметил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7492
gefest_md
Поделитесь тогда, что такое $g\subseteq \mathbb R^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 17:48 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
Otta в сообщении #1333436 писал(а):
gefest_md
Поделитесь тогда, что такое $g\subseteq \mathbb R^2$
$g$ - множество упорядоченных пар вещественных чисел. Я привык к написанию любого множества в виде $\{x\in{X}\mid P(x)\}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7492
То есть некое подмножество плоскости. Что, в таком случае означает запись зависимости этого подмножества от переменной $x$ -- $g(x)$, ну и далее по тексту?

-- 19.08.2018, 20:10 --

Щас придумаю. Ну, например, множество всех кругов радиуса $x$, конечно, будет подмножеством плоскости, зависящим от $x$ (считаем $x>0$). Оно годится? (я не могу проверить, потому что не знаю, что такое $F$). Вы говорите, что это первообразная - Вы невовремя это говорите. Потому что Вы затеялись определять так мучительно больно далее именно первообразную. Так что или надо написать
gefest_md в сообщении #1333348 писал(а):
И пусть у неё есть первообразная $F$: $F^\prime=\bar{f}.$
выбросив всю эту ерунду с двумя переменными (первообразная функции двух переменных не определяется) и успокоиться на этом, или не писать в процитированном фрагменте "первообразная" (но тогда уточнять, по какой переменной идет дифференцирование, раз уж их две, и области определения функций уж больно не совпадают, опять же).
А лучше вообще не мучить понятие. Оно от этого не становится понятней, сплошная путаница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 23:19 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
Otta
Мне казалось, что я пишу всё так подробно, что забыл привести какой-нибудь простой пример. Никогда не помешает. Конкретный пример: Возьмём функцию $\bar{f}(x)=x$ и её первообразную $F(x)=\frac{1}{2}x^2.$ Тогда функция $g_0(x)=\frac{1}{2}x^2+1$ принадлежит множеству $A,$ функция $f_0(x,2)=x$ принадлежит множеству $B.$

Возьмём ещё функции $g(x)=\frac{1}{2}x^2+3$ и $f(x,3)=x.$ Тогда пара $\left(g,f\right)$ принадлежит $\Phi.$ Так как $\Phi$ - биективная функция, то можно писать $\Phi^{-1}(f)=g.

Это $\Phi$ построено для $\bar{f}.$ Поэтому писал, чтобы знак $\int$
gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):
дополнять своим индексом.
А функции $f$ и $\bar{f}$ так похоже между собой (как-будто это два равных вектора), что под тем же знаком можно как обычно оставить $\bar{f}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7492
gefest_md в сообщении #1333527 писал(а):
Возьмём функцию $\bar{f}(x)=x$ и её первообразную $F(x)=\frac{1}{2}x^2.$

Стоп. Вы первообразную уже определили или только собираетесь определять?
Если да - то каково определение.
Если нет - о чем Вы пишете потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение19.08.2018, 23:32 
Аватара пользователя


01/12/06
567
рм
Otta в сообщении #1333528 писал(а):
Вы первообразную уже определили или только собираетесь определять?
$\bar{f}$ и её первообразную считаю заданными. И с ними я определил $A$, $B$ и $\Phi.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 89 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group