2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение11.07.2018, 23:23 


12/06/18
37
Можете объяснить как решать задачи этого типа. У меня в голове эта тема как-то очень плохо усвоилась.
Пример задачи:
Цитата:
2.4.28$\ast$. Два тела массы $m_1$ и $m_2$ соединены недеформированной пружиной
жесткости $k$. К телу массы $m_1$ приложили постоянную силу $F$. Из-за небольшого
внутреннего трения в пружине возникшие колебания затухли. На сколько
возросла внутренняя энергия системы? Какова конечная энергия пружины? Если
к моменту затухания колебаний тело массы $m_2$ прошло в направлении силы F
расстояние l, то какова в этот момент кинетическая энергия системы?

Я смог найти только энергию пружины.
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &m_1a =F - kx& \\ 
 &m_2a = kx& \\ 
\end{array}
\right.$$
$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{F}{kx} - 1 \Rightarrow x = \frac{F}{k}\frac{m_2}{m_1 + m_2}$$
Получается:
$$U = \frac{kx^2}{2} = \frac{F^2}{2k}(\frac{m_2}{m_1 + m_2})^2$$
Ответ сошёлся с тем, что в задачнике, но не исключена возможность чётного числа ошибок
Не как не могу понять, как получить ответы на остальные вопросы. Можете, пожалуйста, дать подсказки и какой-нибудь общий алгоритм решения таких задач. Можно с применением матана. Но без использования уравнения колебаний. Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 02:39 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Задачка очень физическая. В таких задачках обычно требуется идти степ бай степ.
Не опережая событий.
вы уже правильно сосчитали конечное растяжение пружины.
Теперь мыслите категориями энергии.
Возникают законные вопросы. Из чего складывается энергия системы и за счет чего она получена?
Ответив на эти вопросы, вы сможете продвинуться дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 10:41 


12/06/18
37
fred1996 в сообщении #1326090 писал(а):
Из чего складывается энергия системы и за счет чего она получена?

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} = A_{F_{fric}}$$
Или, если рассматривать относительную скорость движения грузов:
$$\frac{\dot{x}^2m_1m_2}{2(m_1 + m_2)} + kx^2 - Fx = Const$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 10:52 
Заслуженный участник


28/12/12
7947
MakVlad в сообщении #1326128 писал(а):
Или, если рассматривать относительную скорость движения грузов:
$$\frac{\dot{x}^2m_1m_2}{2(m_1 + m_2)} + kx^2 - Fx = Const$$

Слагаемое с $F$ очевидно неверное. Кстати, это в какой системе отсчета?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 11:02 


12/06/18
37
DimaM в сообщении #1326131 писал(а):
Кстати, это в какой системе отсчета?

Относительно центра масс.
Я взял два уравнения
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &m_1\ddot{x}_1=F - k(x_1-x_2)& \\
 &m_2\ddot{x}_2=k(x_1 - x_2)& \\
 &x_1-x_2 = x& \\
\end{array}
\right.$$
вычел их и проинтегрировал

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 11:37 
Заслуженный участник


28/12/12
7947
MakVlad в сообщении #1326133 писал(а):
Относительно центра масс.

Система центра масс в данном случае неинерциальная.

MakVlad в сообщении #1326133 писал(а):
вычел их и проинтегрировал

Можете подробнее расписать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 11:49 


12/06/18
37
DimaM в сообщении #1326146 писал(а):
Можете подробнее расписать?

$$\ddot{x}_1 - \ddot{x}_2 = \frac{F}{m_1} - kx\frac{m_1 + m_2}{m_1m_2}$$
$$\ddot{x}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} - \frac{Fm_2}{m_2 + m_1} + kx = 0$$
$$\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\frac{\dot{x}^2}{2} - Fx\frac{m_2}{m_2+m_1} + \frac{kx^2}{2} = C$$
Да, я действительно допустил ошибку. Причем довольно грубую

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 16:38 


12/06/18
37
fred1996
И как же всё-таки найти приращение внутренней энергии системы?
$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} = A_{F_{fric}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 17:59 
Аватара пользователя


11/12/16
14051
уездный город Н
MakVlad

1. Вы не учитываете в Ваших уравнениях начальную длину пружины. Но скорее это недочет, а не ошибка, на ответ это не должно повлиять.
2. Вот это:

MakVlad в сообщении #1326155 писал(а):
$$\ddot{x}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} - \frac{Fm_2}{m_2 + m_1} + kx = 0$$


Положим, $\kappa = k \frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}$, тогда можно переписать:

$\ddot{x} + \kappa x = \frac{F}{m_1} \theta (t)$
где $\theta (t)$ - функция Хэвисайда, "ступенька"
Очевидно, это гармонический осциллятор, который как "дернули" в момент времени $t=0$, так он и будет продолжать колебаться.
А по условию колебания затухли.

3.
MakVlad в сообщении #1326258 писал(а):
$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} = A_{F_{fric}}$$


По условию колебания затухли из-за "небольшой силы трения". Во что превратилась работа силы трения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 18:03 


12/06/18
37
EUgeneUS в сообщении #1326276 писал(а):
Во что превратилась работа силы трения?

Она перешла во внутреннюю энергию системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 18:07 
Аватара пользователя


11/12/16
14051
уездный город Н
UPD:

4. Если колебания затухли, то что стало с $v_1$ и $v_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 18:08 


12/06/18
37
EUgeneUS в сообщении #1326279 писал(а):
Если колебания затухли, то что стало с $v_1$ и $v_2$?

Они стали равными

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 18:08 
Аватара пользователя


11/12/16
14051
уездный город Н
MakVlad в сообщении #1326278 писал(а):
Она перешла во внутреннюю энергию системы?


"Такова природа вещей", отвечал на экзамене один мой знакомый, когда "плавал". :mrgreen:
Может скажете, каким образом, она перешла во внутреннюю энергию системы?

-- 12.07.2018, 18:09 --

MakVlad в сообщении #1326281 писал(а):
Они стали равными

да, они стали равными (но не константой, конечно). Этим можно и нужно воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 18:13 


12/06/18
37
EUgeneUS в сообщении #1326282 писал(а):
"Такова природа вещей", отвечал на экзамене один мой знакомый, когда "плавал". :mrgreen:
Может скажете, каким образом, она перешла во внутреннюю энергию системы?

Я тоже сейчас плаваю. Эта энергия могла пойти на теплоту, или на увеличение кинетической энергии системы (правда, непонятно как)

-- 12.07.2018, 18:16 --

EUgeneUS
И ещё, можно ли использовать это уравнение, или оно некорректно?
MakVlad в сообщении #1326155 писал(а):
$$\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\frac{\dot{x}^2}{2} - Fx\frac{m_2}{m_2+m_1} + \frac{kx^2}{2} = C$$


-- 12.07.2018, 18:23 --

Если это уравнение правильно по отношению к рассматриваемой системе, то можно положить, что
$$\Delta W = Fx\frac{m_2}{m_2 + m_1}$$
(Начальная энергия системы - 0)
Подставляя найденное мной выражение для $x$ получается:
$$\Delta W = \frac{F^2}{k}\frac{m_2^2}{(m_2 + m_1)^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на внутреннюю энергию системы тел
Сообщение12.07.2018, 18:42 
Аватара пользователя


11/12/16
14051
уездный город Н
MakVlad в сообщении #1326283 писал(а):
Эта энергия могла пойти на теплоту, или на увеличение кинетической энергии системы (правда, непонятно как)


На увеличение кинетической энергии системы это вряд ли, а вот в теплоту - это самое то. Теперь сможете ответить на вопрос уважаемого fred1996

fred1996 в сообщении #1326090 писал(а):
Из чего складывается энергия системы и за счет чего она получена?

?

MakVlad в сообщении #1326283 писал(а):
И ещё, можно ли использовать это уравнение, или оно некорректно?

Оно некорректно в том смысле, что получено без учета диссипации (затухания колебаний).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group