Задачи на внутреннюю энергию системы тел

[MakVlad]

Можете объяснить как решать задачи этого типа. У меня в голове эта тема как-то очень плохо усвоилась.
Пример задачи:

Цитата:

2.4.28$\ast$. Два тела массы $m_1$ и $m_2$ соединены недеформированной пружиной
жесткости $k$. К телу массы $m_1$ приложили постоянную силу $F$. Из-за небольшого
внутреннего трения в пружине возникшие колебания затухли. На сколько
возросла внутренняя энергия системы? Какова конечная энергия пружины? Если
к моменту затухания колебаний тело массы $m_2$ прошло в направлении силы F
расстояние l, то какова в этот момент кинетическая энергия системы?

Я смог найти только энергию пружины.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &m_1a =F - kx& \\ &m_2a = kx& \\ \end{array} \right.$$

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{F}{kx} - 1 \Rightarrow x = \frac{F}{k}\frac{m_2}{m_1 + m_2}$$

Получается:

$$U = \frac{kx^2}{2} = \frac{F^2}{2k}(\frac{m_2}{m_1 + m_2})^2$$

Ответ сошёлся с тем, что в задачнике, но не исключена возможность чётного числа ошибок
Не как не могу понять, как получить ответы на остальные вопросы. Можете, пожалуйста, дать подсказки и какой-нибудь общий алгоритм решения таких задач. Можно с применением матана. Но без использования уравнения колебаний. Заранее спасибо

[fred1996]

Задачка очень физическая. В таких задачках обычно требуется идти степ бай степ.
Не опережая событий.
вы уже правильно сосчитали конечное растяжение пружины.
Теперь мыслите категориями энергии.
Возникают законные вопросы. Из чего складывается энергия системы и за счет чего она получена?
Ответив на эти вопросы, вы сможете продвинуться дальше.

[MakVlad]

fred1996 в сообщении #1326090 писал(а):

Из чего складывается энергия системы и за счет чего она получена?

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} = A_{F_{fric}}$$

Или, если рассматривать относительную скорость движения грузов:

$$\frac{\dot{x}^2m_1m_2}{2(m_1 + m_2)} + kx^2 - Fx = Const$$

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1326128 писал(а):

Или, если рассматривать относительную скорость движения грузов:

$$\frac{\dot{x}^2m_1m_2}{2(m_1 + m_2)} + kx^2 - Fx = Const$$

Слагаемое с $F$ очевидно неверное. Кстати, это в какой системе отсчета?

[MakVlad]

DimaM в сообщении #1326131 писал(а):

Кстати, это в какой системе отсчета?

Относительно центра масс.
Я взял два уравнения

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &m_1\ddot{x}_1=F - k(x_1-x_2)& \\ &m_2\ddot{x}_2=k(x_1 - x_2)& \\ &x_1-x_2 = x& \\ \end{array} \right.$$

вычел их и проинтегрировал

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1326133 писал(а):

Относительно центра масс.

Система центра масс в данном случае неинерциальная.

MakVlad в сообщении #1326133 писал(а):

вычел их и проинтегрировал

Можете подробнее расписать?

[MakVlad]

DimaM в сообщении #1326146 писал(а):

Можете подробнее расписать?

$$\ddot{x}_1 - \ddot{x}_2 = \frac{F}{m_1} - kx\frac{m_1 + m_2}{m_1m_2}$$

$$\ddot{x}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} - \frac{Fm_2}{m_2 + m_1} + kx = 0$$

$$\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\frac{\dot{x}^2}{2} - Fx\frac{m_2}{m_2+m_1} + \frac{kx^2}{2} = C$$

Да, я действительно допустил ошибку. Причем довольно грубую

[MakVlad]

fred1996
И как же всё-таки найти приращение внутренней энергии системы?

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} = A_{F_{fric}}$$

[EUgeneUS]

MakVlad

1. Вы не учитываете в Ваших уравнениях начальную длину пружины. Но скорее это недочет, а не ошибка, на ответ это не должно повлиять.
2. Вот это:

MakVlad в сообщении #1326155 писал(а):

$$\ddot{x}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} - \frac{Fm_2}{m_2 + m_1} + kx = 0$$

Положим, $\kappa = k \frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}$, тогда можно переписать:

$\ddot{x} + \kappa x = \frac{F}{m_1} \theta (t)$
где $\theta (t)$ - функция Хэвисайда, "ступенька"
Очевидно, это гармонический осциллятор, который как "дернули" в момент времени $t=0$, так он и будет продолжать колебаться.
А по условию колебания затухли.

3.

MakVlad в сообщении #1326258 писал(а):

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} = A_{F_{fric}}$$

По условию колебания затухли из-за "небольшой силы трения". Во что превратилась работа силы трения?

[MakVlad]

EUgeneUS в сообщении #1326276 писал(а):

Во что превратилась работа силы трения?

Она перешла во внутреннюю энергию системы?

[EUgeneUS]

UPD:

4. Если колебания затухли, то что стало с $v_1$ и $v_2$?

[MakVlad]

EUgeneUS в сообщении #1326279 писал(а):

Если колебания затухли, то что стало с $v_1$ и $v_2$?

Они стали равными

[EUgeneUS]

MakVlad в сообщении #1326278 писал(а):

Она перешла во внутреннюю энергию системы?

"Такова природа вещей", отвечал на экзамене один мой знакомый, когда "плавал".
Может скажете, каким образом, она перешла во внутреннюю энергию системы?

-- 12.07.2018, 18:09 --

MakVlad в сообщении #1326281 писал(а):

Они стали равными

да, они стали равными (но не константой, конечно). Этим можно и нужно воспользоваться.

[MakVlad]

EUgeneUS в сообщении #1326282 писал(а):

"Такова природа вещей", отвечал на экзамене один мой знакомый, когда "плавал".
Может скажете, каким образом, она перешла во внутреннюю энергию системы?

Я тоже сейчас плаваю. Эта энергия могла пойти на теплоту, или на увеличение кинетической энергии системы (правда, непонятно как)

-- 12.07.2018, 18:16 --

EUgeneUS
И ещё, можно ли использовать это уравнение, или оно некорректно?

MakVlad в сообщении #1326155 писал(а):

$$\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\frac{\dot{x}^2}{2} - Fx\frac{m_2}{m_2+m_1} + \frac{kx^2}{2} = C$$

-- 12.07.2018, 18:23 --

Если это уравнение правильно по отношению к рассматриваемой системе, то можно положить, что

$$\Delta W = Fx\frac{m_2}{m_2 + m_1}$$

(Начальная энергия системы - 0)
Подставляя найденное мной выражение для $x$ получается:

$$\Delta W = \frac{F^2}{k}\frac{m_2^2}{(m_2 + m_1)^2}$$

[EUgeneUS]

MakVlad в сообщении #1326283 писал(а):

Эта энергия могла пойти на теплоту, или на увеличение кинетической энергии системы (правда, непонятно как)

На увеличение кинетической энергии системы это вряд ли, а вот в теплоту - это самое то. Теперь сможете ответить на вопрос уважаемого fred1996

fred1996 в сообщении #1326090 писал(а):

Из чего складывается энергия системы и за счет чего она получена?

?

MakVlad в сообщении #1326283 писал(а):

И ещё, можно ли использовать это уравнение, или оно некорректно?

Оно некорректно в том смысле, что получено без учета диссипации (затухания колебаний).