"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[e7e5]

Henrylee писал(а):

Похоже на то, что любые окружности, лежащие внутри исходной, касающиеся ее и проходящие через ее центр, будут искомыми равномерными кривыми (наряду с концентрическими).

Да, получаются окружности. Если в

$$ x^2+(y-v/2)^2=v^2/4 $$

раскрыть скобки, упростить, использовать формулы перехода от декртовой систем координат к полярной, то как раз получаем

$$ \rho(t)=v\sin t $$

Но для меня неочевидна физическая сторона дела. С концентрическими окружностями все понятно, а со смещенными нет ( т.е все те, которые катятся по внутренней стороне исходной окружности и проходят через ее центр)

Можно «на пальцах» пояснить, почему на такой окружности ( или таких окружностях) движение будет равномерным? Может сначала идет ускорение по части окружности, а потом торможение, например в первой четверти от $0$ до $\pi/2$. Против математики не пойдешь, но с точки зрения физики, как то не представляется...

[Алексей К.]

Что это там за "исходная" окружность? Или я чего-то не понял? В уравнениях Henrylee тоже вроде нет никаких следов какой-то окружности. Есть прожектор, вращающийся с постоянной угловой скоростью. Или я чего-то не понял?

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

e7e5 писал(а):

Против математики не пойдешь, но с точки зрения физики, как то не представляется...

Физики тоже здесь не вижу... Равномено-ускоренные движения без анализа сил --- не физика. Одна математика.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Что это там за "исходная" окружность? Или я чего-то не понял?

Пожалуйста посмотрите нескольким постами ранее, когда выводилось уравнение, там был радиус окружности $R$ ( по ней, по исходной окружности как раз двигается это "прожектор" и светит во вне .

Из этого уравнения получилсь концентрические окружности
Это же уравнение дало концентрические окружности меньшего радиуса ( это если прожектор все двигается по исходной, но светит теперь во внутрь).

И автор уравнения, еще заметил другое решение - смщенную окружность...

А физика в том - что за уравнением - есть движение этого прожектора ( равномерное) и кривая, по которой свет от него ( его световое пятно) движется либо равномерно, либо равноускоренно.

Вот и получаются равноускоренные кривые, либо равномерные.

Добавлено спустя 15 минут:

Алексей К. писал(а):

Физики тоже здесь не вижу... Равномено-ускоренные движения без анализа сил --- не физика. Одна математика.

Разве движение лазерного луча ( лазер - хороший прожектор для модели точечного источника, и светит далеко) по искомой кривой не есть физика? Или как движется солнечный зайчик. В кинематике ( разделе физике) не интересуются силами.
Просто уравнение это математическая модель.

Тем не менее, мне непонятно, почему так происходит со смещенной окружностью.

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Пожалуйста посмотрите нескольким постами ранее, когда выводилось уравнение, там был радиус окружности $R$ ( по ней, по исходной окружности как раз двигается это "прожектор" и светит во вне.

Смотрим.

Henrylee писал(а):

Попробуем. Рассмотрим полярную систему координат с центром в центре нашей окружности. По ней равномерно бежит точка с координатами $(R,t)$, для определенности возьмем верхнюю полуокружность $t\in[0,\pi]$. Вне круга расположена искомая кривая, заданная уравнением $\rho(\varphi)$, отражение на ней нашей точки имеет кординаты $(\rho(t),t)$. Поскольку точка бежит равноускоренно с ускорением $C$, то

$$ \frac{d^2s}{dt^2}=C $$

или

$$ \frac{ds}{dt}=Ct+C_1 $$

Приходим к уравнению

$$ \left(\frac{d\rho}{dt}\cos t-\rho(t)\sin t\right)^2+ \left(\frac{d\rho}{dt}\sin t+\rho(t)\cos t\right)^2=(Ct+C_1)^2 $$

Упомянутый радиус оказался на фиг не нужен; обладавший маленьким клочком бумаги-времени Henrylee просто не успел упростить модель. Концентричные окружности при этом никуда бы не делись. Возражаете Вы неубедительно, предлагаю дождаться мнения Henrylee, и решить дело по очкам

С тривиальным решением --- смещённой окружностью легко разобраться, нарисовав её циркулем, радиусы --- линейкой, и построивши график пути от времени. Всё наверняка легко считается. Увидев параболу, не понять равноускоренности (не поверить в равноускоренность) невозможно. Но, думаю, можно не понять, ища за этим некую физику. Там забавно подумать, почему только полуокружность получается, и не стоИт ли в правильном уравнении $|c_0+c_1\varphi|$, по модулю? Но на думание я пока по-прежнему не способен, а zoo по-прежнему не занимается качественным анализом уравнения...

Равноускоренность была задана в условии без всякой физики, от того и возникла в решении.

e7e5 писал(а):

А физика в том - что за уравнением - есть движение этого прожектора ( равномерное) и кривая, по которой свет от него ( его световое пятно) движется либо равномерно, либо равноускоренно.Вот и получаются равноускоренные кривые, либо равномерные.

Строже говоря, получаются кривые, соответствующие равноускоренному либо равномерному движению зайчика. А не равноускоренные либо равномерные кривые.
А лазер притянут за уши. Физики по-прежнему не вижу (и думаю, не от того, что я её не знаю, а от того, что её здесь нет). Тоже хочется по очкам решить. Попросить, что ли photonа встрять с правильными словами? Или, может кто ещё нас почитывает и любезно выскажется?

Добавлено спустя 57 минут 57 секунд:

Или вот, посветим этим прожектором на логарифмическую спираль, определим закон движения зайчика (уж там-то всё просто и красиво должно быть!), а потом будем спрашивать --- а если такой закон, то какая кривая? О!, снова логарифмическая спираль! Во все дырки суётся!
Ничего особенного в равноускоренности нет, просто относительнао простая модель, можно в школе изучать. Впрочем --- яблоки именно так падают...

Зря, наверное, photonа потревожил, там же ночь, спит он, а тут ЛС-ка прибежала... Типа вставай, физику-кинематику давай...

[Henrylee]

Алексей К.
Про излишние буковки и введенные понятия Вы правы. Само собой, когда я начинал решать задачу, то на всякий случай сделал несколько допущений - радиус там, да еще диапазон изменения t урезал. Вобщем от частности отталкивался,так что может и модуль там дальше появляется где-то, не проверял. Первое уравнение хотелось получить, а уж там обобщить всегда можно. Ну а по поводу наличия какой-либо окружности в задаче - так задача и ставилась для окружности. Другое дело, что при поиске внешних кривых (вот Ваши спирали, например) можно считать, что окружности нет, а есть точечный вращающийся источник. А вот для внутренних при отказе от исходной окр. уже теряется первоначальный физ. смысл задачи.

PS Хотя... вовсе он и не теряется. Тут не прав я. Так что смело от исходной окружности можно отказываться в пользу вращающегося источника.
e7e5
Действительно, со смещенной окружностью, на первый взгляд, результат неожиданный. Но на самом деле, можно объяснить на пальцах.
Пусть точка касания исходной и маленькой окружности имеет декартовы координаты $(0,R)$, т.е. центр мал. окр. $(0,R/2)$. Пусть источник начинает двигаться от точки касания в полож. направлении по большой окружности. Светит он, естественно, в сторону начала координат (т.е. центра большой окр-ти). Линейная скорость зайчика в нулевой момент времени совпадает со скоростью источника. При дальнейшем движении видно, как меняются составляющие этой скорости. Одна составляющая (направленная перпендикулярно радиус-вектору) будет уменьшаться по модулю, а другая (направленная по радиус-вектору) будет увеличиваться. Неудивительно, что результирующая будет по модулю постоянна. Не знаю как объяснить лучше, наверно все же посчитать что-нибудь, как советовал Алексей К.

[e7e5]

Алексей К писал(а):

Равноускоренность была задана в условии без всякой физики, от того и возникла в решении.

Да, это так ( правда сначала, похожий эффект был замечен в поезде ). А при рассмотрении равномерного движения, я искал просто объяснение другими словами (популярное), ну например:

Henrylee писал(а):

Неудивительно, что результирующая будет по модулю постоянна.

, чтобы это было понятно обычному школьнику. Чтобы в школьном кабинете физики можно было сделать макет опыта.

Хорошо. Теперь прожектор поместим на эллипс. Двигается он по эллипсу равномерно.Светит во вне эллипса, либо внутрь ( свет идет перпендикулярно к каждому элементу длины эллипса). И будем искать такие же кривые, по которым зайчик движется равноускоренно ( либо в равномерно). Здесь ведь вращающийся источник в центре координат уже не поможет? Уравнение выписывать теперь нужно в эллиптических координатах?

[Henrylee]

e7e5 писал(а):

Уравнение выписывать теперь нужно в эллиптических координатах?

По-моему удобнее записать уравнение эллипса параметрически как

$$ x(\varphi)=a\cos\varphi $$

$$ y(\varphi)=b\sin\varphi $$

Потом записать условие равномерности движения точки и, считая $\varphi=\varphi(t)$, получим уравнение движение источника света по эллипсу.

PS А может как-то еще проще можно

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Хорошо. Теперь прожектор поместим на эллипс. Двигается он по эллипсу равномерно.

Представляю, что бы сказала мне моя бабушка, кабы я, не дорешав одну задачу, не посмотрев даже на дискриминантные кривые (на линии перегибов, на изоклины и проч.) одного уравнения, хватался бы за другое. "У тебя вода в .... не держится", сказала бы она мне в очередной раз...

e7e5 писал(а):

Хорошо. Теперь прожектор поместим на эллипс. Двигается он по эллипсу равномерно.

Henrylee писал(а):

PS А может как-то еще проще можно

Я конечно, не пробовал, и даже когда доведу до ума обещанное (PostScript), не попробую. Ибо видится мне следующее.

Попытавшись подвигаться равномерно по эллипсу, некто сразу наткнётся на эллиптические интегралы. Т.е. они могут оказаться уже в условии задачи, в коэффициентах, а когда её начнут решать, когда в какую-нибудь правую часть затешется равномерное или равноускоренное движение зайчика по искомой кривой, то зайчик, которому было неуютно ещё в шкурке уравнения Абеля, побежит искать помощи в пятом томе Прудникова, узнает, что томов всего три, сойдёт с ума или покончит жизнь самоубийством, протаранив хрупким тельцем прожектор.

Конец света, или Частное решение уравнения.

[Алексей К.]

Да уж, трагическая судьба зайчика повергла всех в молчание...

Алексей К. писал(а):

С тривиальным решением --- смещённой окружностью легко разобраться, нарисовав её циркулем, радиусы --- линейкой, и построивши график пути от времени. Всё наверняка легко считается. Увидев параболу, не понять равноускоренности (не поверить в равноускоренность) невозможно. Но, думаю, можно не понять, ища за этим некую физику.

Это я перемудрил, прицепив сюда параболу: не усёк, что это у нас "равномерная", а не "равноускоренная" кривая. А глубокий физический смысл постиг, вспомнив, что

Геометрия за 6-й класс писал(а):

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой!

Угол между касательной и хордой --- это угловой путь $\omega t$ прожектора (до трагедии).
Дуга, стягиваемая хордой --- это путь зайчика $s/R$.
Половина --- коэффициент пропорциональности.

$$\begin{picture}(100,100) \put(20,20){\circle{40}}\put(20,0){\line(1,0){50}}\put(20,0){\line(0,1){50}}\put(20,0){\line(1,1){33}} \put(20,20){\line(1,0){20}}\put(20,20){\oval(10,10)[br]}\put(23,15){${}_{s\!{/}\!R}$}} \qbezier(60,0)(55,20)(48,28)\put(59,15){$\omega t$} \end{picture}$$

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А глубокий физический смысл постиг, вспомнив, что

Геометрия за 6-й класс писал(а):

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой!

(до трагедии)

Henrylee писал(а):

По-моему удобнее записать уравнение эллипса параметрически как

$$ x(\varphi)=a\cos\varphi $$

$$ y(\varphi)=b\sin\varphi $$

Потом записать условие равномерности движения точки и, считая $\varphi=\varphi(t)$, получим уравнение движение источника света по эллипсу.

Условие равномерности - это из парметрических уравнений выписывам скорость, затем ускорение, которое приравниваем нулю?

$$ x'(\varphi)=-a\sin\varphi*\varphi' $$

$$ y'(\varphi)=b\cos\varphi*\varphi' $$

Квадрат скорости дивжения:

$$x'^2+y'^2 =(-a\sin\varphi*\varphi')^2+(b\cos\varphi*\varphi' )^2$$

. Пока не очень понятно...

[Алексей К.]

А длина дуги эллипса выражается, насколько я помню, эллиптическими интегралами. Если элл. инт и не войдут в коэффициенты (я, помню, не делал уверенного утверждения), то при интегрировании ДУ эта бяка полезет... Оно, конечно, может случиться, что нормали так встанут в уравнении, что что-то упростится, но... как-то уже всё менее интересно.
Ждите неленивого решателя...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Оно, конечно, может случиться, что нормали так встанут в уравнении, что что-то упростится, но... как-то уже всё менее интересно.
Ждите неленивого решателя...

Д.В.Клетеник писал(а):

Сборник задач по аналитической геометрии".
Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) так, что x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично при помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется равномерное сжатия плоскости к оси Oy....

http://www.a-geometry.narod.ru/problems/problems_18.htm

Так может из окружности таким способом деформирования координатных осей получится эллипс. Т.е. "спиральки" на рисунки для круга - несколькими постами выше просто деформируются...и наооборот ... И непонятно, сохранят ли такие "равноускоренные" кривые свои свойства при таких деформациях. Сложно....

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Т.е. "спиральки" на рисунки для круга - несколькими постами выше просто деформируются...и наооборот ... И непонятно, сохранят ли такие "равноускоренные" кривые свои свойства при таких деформациях. Сложно....

Понятно, что не сохранят. Порешайте, нормали постройте для лучей, и убедитесь, как всё покатится в тартарары... Пережить пару раз крушение подобного рода иллюзий весьма полезно для повышения квалификации (пережить в смысле реальных расчётов, а не оплакивания зайчика).

Добавлено спустя 21 минуту 44 секунды:

Вот, например, простенькая задачка про эллипс запутала именитого Профессора. Нормали списать можно оттуда (по причине временного бага дать ссылку непосредственно на сообщение от Вт Июн 03, 2008 13:49:12 не могу).

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Пережить пару раз крушение подобного рода иллюзий весьма полезно для повышения квалификации (пережить в смысле реальных расчётов, а не оплакивания зайчика).

Да, иллюзии.
Нормаль ( как раз по ней и будет идти свет от прожектора) к любой точке ( маленькому элементу) эллипса будет делить пополам угол между фокальными радиусами проведенными в эту точку.

Получается, что прожектор двигается по эллипсу, а зайчик каждый раз будет «перепрыгивать» ( непрерывно) с одной нормали на другую, так что пройденное расстояние от одной нормали до другой будет возрастать по отношению к предыдущему «прыжку» так, чтобы двигаться зайчику равноускоренно ( это мы требуем от зайчика по условию).
Зайчик чудесным образом должен знать, как ему каждый раз прыгать ( тот факт, что прожектор по эллипсу двигается, и сойти с ума не должен - уж он знает, как прыгать, в отличии от нас).

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Если исходный диффур

Henrylee писал(а):

Навскидку "вульгарно" в голову приходит следующее
$ds=C x\,dx$, отсюда

$$ y\prime=\sqrt{C^2x^2-1} $$

записaть как
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
то натуральное уравнение будет иметь вид
$k(s)=\dfrac{1}{2(s+b)}\sqrt{\dfrac{b}{s}}.$
Оно легко интегрируется:
$\tau(s)=\arctg\sqrt{\dfrac{b}{s}}$ (наклон касательной), $\cos\tau=\sqrt{\frac{b}{s+b}}, \quad \sin\tau=\sqrt{\frac{s}{s+b}}$, и т. д.

Здесь $k(s)=$$1/R$ , R - кривизна
Далее, использовал известную формулу для кривизны, если есть первая производная - а она есть $y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$

На бумажке с квадратом считал - описался..
$R=$$(1+y'^2)^{3/2}$/$y''$ .
Т.е.$(1+y'^2)^{1/2}=$x/2b$
$y''=$x$/$$b$(x^2-4b)^{1/2}$


Также в принятых обозначениях $C=$$1/2b$
$S=$$x^2/4b$
$x^2=$$4bS$

$R=$$b(x/2b)^3$$\sqrt{x^2-4b^2}$/$x$
$R=$$S/2b$*$\sqrt{4bS-4b^2}$
И не сходится, где ошибаюсь?
PS то же в отпуске..., но в деревне, звезды смотрю