"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #124249 писал(а):

Если исходный диффур записaть как
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
то натуральное уравнение будет иметь вид...

Ну, похоже я тогда не полез в таблицу интегралов, а сделал подстановку (естественную в данном случае, именно так этот интеграл считался до попадания в таблицу) $x=2b\ch t$. Получил $y(t)$.
Других объяснений своим поступкам пока не нахожу.

Добавлено спустя 23 секунды:

e7e5 в сообщении #154142 писал(а):

Вы можете дать задачку на какую-нибудь "простую" кривую с ответом, чтобы себя смог проверить?

Ну, с параболой попробу1те повозиться, $y=\dfrac{x^2}{2p}$. Кажется, она поддаётся "натурализации".

Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:

Прямая $y=ax+b$ точно поддаётся.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Прямая $y=ax+b$ точно поддаётся.

Выписываю:
$k(x)=0$
$ds/dx= \sqrt {1+a^2},
$s=x \sqrt {1+a^2},
т.е $x(s) = \frac {s} {\sqrt {1+a^2}} Правильно?

Вот если $a=0$, т.е прямая параллельна оси $OX$, то $x(s)=s$ , что имеет простой смысл: двигаясь паралелльно оси $x$, длина по прямой, как раз равна перемещению по $OX$

[Алексей К.]

Осталось натуральное уравнение сыскать...

[e7e5]

Пока буду искать сам, в том числе и с параболой и вернусь...

Вот одну книжку интересную на гугле нашел
Handbook and Atlas of Curves
E. V. Shikin, вроде интересная книжка на 400 страниц

Если рассматривать классы плоских кривых - то к какому можно отнести кривые с "потолка"?

[Алексей К.]

Книга Шикин Е.В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. -- М.: ФАЗИС, 1997 мне хорошо известна. Местами хочется её поредактировать.
Натуральные уравнения там, к сожалению, не приводятся.
То, что Вы нашли, возможно, её перевод на буржуйский язык.
Деление кривых на классы происходит по самым разным признакам, часто неинтересным. Подумаю.

Добавлено спустя 5 минут 18 секунд:

e7e5 в сообщении #154889 писал(а):

Если рассматривать классы плоских кривых - то к какому можно отнести кривые с "потолка"?

Ну, вот Вам и название нового класса!

Когда я в сообщении #124249 писал(а):

В анналах её пока не нашёл,

я имел в виду, что Шикина пролистал и не увидел.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Осталось натуральное уравнение сыскать...

Для прямой: угол наклона прямой - есть константа, дфференциал от конcтанты - ноль, т.е.
$k(s)=0$

Для параболы: $y=\dfrac{x^2}{2p}$.
порешал, но не полцчилось, а именно
.

$k(x)= \frac {1} {p(1+x^2/p^2)^{3/2}}

Длина: пришлось вычислять интеграл интегрированием по частям, + по ходу в довесок получился инетграл, который вычисляется гиперболической подстановкой
$s(x)= \frac {x} {2p} \sqrt{x^2+p^2} +\frac {p} {2} ln \frac {x+\sqrt{x^2+p^2}} {p}

А вот искллючить $x$ не получается... А что можно выписать для параболы натуральное уравнение - у Вас получается?


Далее для кривой с потолка: сошлось с Вами! для $y(t)$

По ходу вычислений у меня получился интеграл, в котором квадрат гиперболического синуса , так что как раз
$y(t)=\dfrac{b}{2}\sh(2t)-bt \quad\left(\sh t=\sqrt{\dfrac{s}{b}}\right)$.
(Здесь также учел $ \tau(s)$, также что производная $y'$ - и есть угол наклона касательной к данной точке кривой. Вообщем сошлось.

А вот как получить теперь $x(t)$?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Для прямой: угол наклона прямой - есть константа, дфференциал от конcтанты - ноль, т.е.
$k(s)=0$

Для прямой --- её кривизна постоянна и равна нулю. Для вывода натурального уравнения достаточно вслушаться в слова:

$$\fbox{\mbox{Прямая... Прямая... Прямая...}}$$

e7e5 писал(а):

А что можно выписать для параболы натуральное уравнение - у Вас получается?

Я же в сообщении #154296ТАК писал(а):

Ну, с параболой попробуйте повозиться... Кажется, она поддаётся "натурализации".

Прийдётся вспоминать, пересчитывать... Но в рабочее время. Сейчас надо фарш в перцы сувать, а не параболой заниматься.

e7e5 писал(а):

Далее для кривой с потолка: сошлось с Вами! для $y(t)$
А вот как получить теперь $x(t)$?

А как Вы получили $y(t)$? Без $x(t)$???

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А как Вы получили $y(t)$? Без $x(t)$???

Решал дифур
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
Из него интеграл
$y(x)=\frac {1} {2b} \int\limits_{2b}^x\ \sqrt{x^2-4b^2}\mathrm{d}t$

Далее сделал подстановку
$x=2b cht$
$dx=2b sht$
Для $t$ границы интегрирования от 0 до $t$

$y(t)=\frac {1} {2b} \int\limits_0^t\ 2b sht * 2bsht\mathrm{d}t$
Получилось
.$y(t)= \frac {b} {2} sh2t -bt$

Поскольку $\tau(s)=\arctg\sqrt{\dfrac{b}{s}}$ (наклон касательной) и
с другой стороны имеем $y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$, получил

$\sh t=\sqrt{\dfrac{s}{b}}$.

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

$ \sqrt{x^2-4b^2}=2b sht$

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Далее сделал подстановку
$x=2b cht$.

Ну? Это и было $x(t)$...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

Далее сделал подстановку
$x=2b cht$.

Ну? Это и было $x(t)$...

Как же теперь по точкам эту кривую построить.
Вот например беру $s=0$, $s=1$, считаю $t$, потом нахожу x и y, так?

[Алексей К.]

Ну, например так, как Вы написали. (Странный вопрос от человека, потратившего столько сил на поиск параметрического уравнения кривой... )
Можно сразу от $t$ отталкиваться.
Я бы исходил из натурального параметра $s$ --- типа легко точечки равномерно расставить.

Добавлено спустя 21 минуту 22 секунды:

e7e5 в сообщении #155394 писал(а):

А что можно выписать для параболы натуральное уравнение - у Вас получается?

Да, с параболой номер не проходит. Но с полукубической, $y\sim x^{3/2}$ результат выражается в эл. ф-циях: $1/k(s)=\dfrac1{18}(27s+8)\sqrt{(27s+8)^{2/3}-4}$.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Можно сразу от $t$ отталкиваться.
Я бы исходил из натурального параметра $s$ --- типа легко точечки равномерно расставить.

Мне кажется отталкиваться от $t$ немного неестественно, это все-таки не длина...

Пожалуйста поясните подробнее, как бы Вы исходили из натурального параметра?

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

Вы же построили график ранее...

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #155590 писал(а):

Мне кажется отталкиваться от немного неестественно, это все-таки не длина...

Ну и что? Может, время, может что-то угловое, неважно что. Такая халява, что в Вашем распоряжении есть длина, нечасто бывает.

e7e5 в сообщении #155590 писал(а):

Пожалуйста поясните подробнее, как бы Вы исходили из натурального параметра?

Так и стройте:

e7e5 писал(а):

Вот например беру $s=0$, $s=1$, считаю $t$, потом нахожу x и y, так?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Так и стройте

e7e5 писал(а):

Вот например беру $s=0$, $s=1$, считаю $t$, потом нахожу x и y, так?

Начал строить на бумажке, но сначала записал

$t=arcsh( \sqrt {s/b})= ln( \sqrt {s/b} + \sqrt{s/b+1})
Пусть $b=1$
$s=0$
$t=0$
Поэтому $y(0)=0$ , $x(0)=0$ - удовлетворяет "физическому" смыслу задачи - источник света начал свое движение из начала координат по оси OX и светит "наверх"
....
движется равномерно далее, а зайчик бежит по кривой, ускоряясь, пробегает длину :

$s=1$
$t=ln( 1+ \sqrt 2)$ вроде все так?

[Алексей К.]

Я ни в какой физический смысл не вникал, исходил из дифф. уравнений. Значения $x(0)$, $y(0)$ могут быть выбраны произвольно и приписывать этому какой-то "физический смыл"... Увольте.

Ну, а про калькулятор умолчу.