"Множества", в действительности не являющиеся множествами

[arseniiv]

yafkin в сообщении #1324101 писал(а):

Глубокоуважаемый arseniiv ,а на каком полигоне мы работаем? "множестве всех множеств"-оно не существует.

Как можно догадаться, я говорил про ZF(C), и там действительно, как уже упоминали, класс всех множеств не есть множество. (А почему вы спрашиваете-то? За скачками вашей мысли трудно уследить по её выражению на форуме, и это мешает коммуникации. А «глубокоуважаемый» никак не помогает. Истинным проявлением уважения к собеседникам будет ясная, понятная речь.)

yafkin в сообщении #1324101 писал(а):

А множества ,которые не являются множествами на самом деле ,содержат свойство приводящее к логическим противоречиям- отрицающие его свойство принадлежности.

Не обязательно. Набор аксиом ZF о существовании множеств — весьма консервативный.

yafkin в сообщении #1324101 писал(а):

Если создать множество в одной системе аксиом, а потом анализировать в другой то скорее всего так и получится.

Тут вы перепрыгиываете через много вещей, которые считаете очевидными без повода. В теории первого порядка мы можем «указать на некоторый объект», обладающий свойством $P$, лишь доказав $\exists! x.\;Px$. И тут может с самого начала выйти так, что в одной теории это выполняется, а в другой нет, т. е. там даже нет вашего множества вообще, или подходящих больше одного. Даже если в обоих теориях утверждение будет верно, всё равно нельзя будет говорить, что вы рассматриваете одно и то же множество в разных теориях: только некоторые модели этих теорий будут совпадать. Ну, вы про модели до сих пор не удосужились ничего прочитать, так что зря я всё это начал…

[yafkin]

arseniiv в сообщении #1324193 писал(а):

Тут вы перепрыгиываете через много вещей, которые считаете очевидными без повода. В теории первого порядка мы можем «указать на некоторый объект», обладающий свойством $P$, лишь доказав $\exists! x.\;Px$. И тут может с самого начала выйти так, что в одной теории это выполняется, а в другой нет, т. е. там даже нет вашего множества вообще, или подходящих больше одного. Даже если в обоих теориях утверждение будет верно, всё равно нельзя будет говорить, что вы рассматриваете одно и то же множество в разных теориях: только некоторые модели этих теорий будут совпадать. Ну, вы про модели до сих пор не удосужились ничего прочитать, так что зря я всё это начал…

1-спасибо.
2-Просто еще и на хлеб зарабатывать приходится ,да и в голову все укладывается не так быстро как хотелось бы .
3- я то могу удосужится это прочитать, а Вы не сможете второй раз войти в ту же реку.

Желаю Вам жить долго и счасливо.

[ewert]

Я о другом хочу. Перечитывая разные книжки, с удивлением обнаружил, что многие почтенные товарищи на голубом глазу уверяют: любые два множества сравнимы по мощности. И даже приплетают для обоснования аксиому выбора (ну или лемму Цермело -- какая разница).

Так вот, вопрос в студию. Они что, и впрямь не осознают бессмысленность самой постановки вопроса?

(Оффтоп)

а, пардон. Цермело принято называть теоремой, а леммой -- Цорна. Но я ж с самого начала оговорил: разница-то?...

[yafkin]

arseniiv в сообщении #1324193 писал(а):

Ну, вы про модели до сих пор не удосужились ничего прочитать, так что зря я всё это начал…

Может и не зря . Давно интересует мнение специалиста .
Как Вы писали, алгеброй теории множеств является Булева алгебра и получается ,что для анализа на право существования придется использовать именно ее. Но Вы также знаете, что всегда можно построить функцию выдающюю при любых входных значениях ,наперед заданное выходное значение цифрового автомата без памяти . Дайте совет что делать с такой логикой?

-- 04.07.2018, 11:04 --

ewert в сообщении #1324283 писал(а):

Так вот, вопрос в студию. Они что, и впрямь не осознают бессмысленность самой постановки вопроса?

Наверно "краткость сестра таланта" посетила не только меня.

А можно подробнее? Особенно про континиум.

[ewert]

yafkin в сообщении #1324285 писал(а):

А можно подробнее? Особенно про континиум.

Про континуум так же агрессивно не смогу -- он абсолютно конструктивен. (если имелась в виду не гипотеза, тогда наоборот)

[mihaild]

ewert в сообщении #1324283 писал(а):

Они что, и впрямь не осознают бессмысленность самой постановки вопроса?

Про многих товарищей не знаю, но я точно не осознаю. Что бессмысленного в вопросе "можно ли данными преобразованиями получить данную строчку"?

[ewert]

mihaild в сообщении #1324295 писал(а):

Что бессмысленного в вопросе "можно ли данными преобразованиями получить данную строчку"?

Даже если эта строчка лишена хоть какого-то практически значимого результата, да?

[yafkin]

mihaild в сообщении #1324295 писал(а):

Что бессмысленного в вопросе

Кто бы еще обьяснил, что такое смысл? -это возможность создания шифровального аппарата, поиски логической схемы .
Для логического синтеза по моему задача несложная, если набор конечен, для компьютера есть WORD Может опять "краткость сестра таланта"?

-- 04.07.2018, 14:41 --

ewert в сообщении #1324287 писал(а):

Про континуум так же агрессивно не смогу -- он абсолютно конструктивен.

И как Вы опредеяете, что это элемент множества ,неконструктивно и без предиката? да еще и без ординала?

[mihaild]

ewert в сообщении #1324296 писал(а):

Даже если эта строчка лишена хоть какого-то практически значимого результата, да?

Да. Математики не отвечают на вопрос "зачем?".
Интересность вопроса и его осмысленность - разные вещи. Вопрос о том, четно ли число волос у кого-то на голове, вполне осмысленен, хотя и неинтересен.

-- 04.07.2018, 16:02 --

yafkin в сообщении #1324314 писал(а):

Для логического синтеза по моему задача несложная, если набор конечен

Какая задача? Проверка выводимости? Если бы она была несложной, в математике бы давно кончились открытые вопросы)

[xjar1]

Вообще, в стандартных курсах анализа и алгебры часто обходятся наивной теорией множеств.

Можете ли посоветовать литературу для более глубокого изучения теории множеств? Чтобы изучить ZFC, NBG, да и вообще понимать разницу между классами, множествами, семействами, категориями(?) и т.п.

И да,есть ли в анализе и алгебры моменты, когда приходится отказываться от наивной теории множеств и переходить к чему-то более серьезному?

[ewert]

xjar1 в сообщении #1324386 писал(а):

Вообще, в стандартных курсах анализа и алгебры часто обходятся наивной теорией множеств.

Не часто, а всегда. Если же кто иногда и прибегает к аксиоматическим изощрениям -- ничего, кроме извращений, и не получается.

mihaild в сообщении #1324375 писал(а):

Интересность вопроса и его осмысленность - разные вещи.

Но речь-то шла именно о бессмысленности словосочетания "любые множества". Что не отменяет его интересности; сколько ангелов на кончике иглы -- тоже весьма интересно.

[Someone]

xjar1 в сообщении #1324386 писал(а):

Вообще, в стандартных курсах анализа и алгебры часто обходятся наивной теорией множеств.

Да. По-моему, подавляющее большинство математиков спокойно обходятся наивной теорией множеств. При необходимости можно учесть результаты аксиоматических теорий множеств (типа несуществования множества всех множеств или необходимости (счётной) аксиомы выбора для доказательства эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне). Так что можете не париться.

xjar1 в сообщении #1324386 писал(а):

Чтобы изучить ZFC, NBG, да и вообще понимать разницу между классами, множествами, семействами, категориями(?) и т.п.

Класс от множества отличается тем, что не может быть элементом другого класса. Например, класс всех множеств не является множеством. Хотя можно построить теорию, допускающую совокупности классов. Термин "семейство" обычно используется как синоним термина "множество". Категории изучаются в специальной теории категорий. Классы часто встречаются в алгебре (многообразия всяких алгебраических систем сплошь и рядом являются классами) и топологии. Там же встречаются всякие категории и функторы.

xjar1 в сообщении #1324386 писал(а):

И да,есть ли в анализе и алгебры моменты, когда приходится отказываться от наивной теории множеств и переходить к чему-то более серьезному?

Вообще говоря, такие моменты встречаются, но по этому поводу не обязательно по уши закапываться в математическую логику и аксиоматические теории. Есть риск назад не выбраться. Обычно достаточно узнать, как там разрешается интересующий Вас вопрос.

Для изучения ZFC можно использовать, например, книгу Куратовского и Мостовского "Теория множеств". Излагаемая там теория множеств отличается от ZFC отсутствием аксиомы регулярности (авторы говорят, что аксиому регулярности они считают интуитивно истинной, но пользоваться ей не хотят) и наличием аксиомы реляционных типов, которая во всей книге упоминается то ли один, то ли два раза. NBG от ZFC отличается тем, что основным понятием является не множество, а класс, в то время как множество определяется как такой класс, который является элементом какого-нибудь класса. В том, что касается множеств, ZFC и NBG идентичны, но NBG может говорить например, о таких вещах, как класс всех множеств. Впрочем, ZFC допускает консервативное расширение языка конструкцией $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула языка ZFC, в которой $x$ — свободная переменная. Тогда класс всех множеств определяется как $\{x:x=x\}$. Расширение консервативное в том смысле, что совокупность доказуемых теорем о множествах в результате не меняется, но теперь можно говорить о классах. Тем не менее, NBG немножко сильнее ZFC.

[george66]

xjar1 в сообщении #1324386 писал(а):

Можете ли посоветовать литературу для более глубокого изучения теории множеств? Чтобы изучить ZFC, NBG, да и вообще понимать разницу между классами, множествами, семействами, категориями(?) и т.п.

Я помню, изучал теорию множеств по дополнению к книге Келли "Общая топология". Кроме того, по воспоминаниям, очень внятное начало у книги Коэна "Теория множеств и континуум-гипотеза" (и юмор от комментариев переводчика, которые приближаются по объёму к основному тексту). Но это всё читал давно.

[mihaild]

ewert в сообщении #1324402 писал(а):

Но речь-то шла именно о бессмысленности словосочетания "любые множества".

Тогда прошу прощения, я значит вообще не понял, о чем речь. Впрочем, чем словосочетание "любые множества" бессмысленно (в оригинальном контексте) я тоже не понимаю.

xjar1 в сообщении #1324386 писал(а):

И да,есть ли в анализе и алгебры моменты, когда приходится отказываться от наивной теории множеств и переходить к чему-то более серьезному?

Ну например существование базиса у любого векторного пространства, нетривиальность группы автоморфизмов группы мощности большей 2, существование неизмеримых множеств на прямой и многие аналогичные штуки зависят от аксиомы выбора. Считать ли что ради них нужно закапываться в теорию множеств?

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1324455 писал(а):

зависят от аксиомы выбора

Причём это, как правило, даже не указывается в соответствующем учебнике по алгебре или анализу. Можно сказать, что аксиома выбора общепринята среди всех математиков, которые не занимаются конкретно теорией множеств и прочими основаниями.

На самом деле от аксиомы выбора зависит даже определение бесконечного множества как множества, равномощного своему собственному подмножеству. Хотел написать "...которое используется повсеместно", но понял, что это лишь моё ощущение, которое я не готов подкрепить списком примеров.