"Множества", в действительности не являющиеся множествами

[xjar1]

Известно, что "множество" всех множеств или, например, всех групп в действительности множеством не является.

Есть какие-либо еще менее очевидные примеры, когда $\{X|P(X)\}$ очень похоже на множество, но им не является? Здесь $P$ - некоторое свойство.

И еще, есть, какой либо алгоритм, чтобы понять, является ли $\{X|P(X)\}$ множеством?
Или всегда необходимо пытаться искать противоречия?

Спасибо.

[apriv]

xjar1 в сообщении #1323590 писал(а):

Есть какие-либо еще менее очевидные примеры, когда $\{X|P(X)\}$ очень похоже на множество, но им не является? Здесь $P$ - некоторое свойство.

Сколько угодно: для вообще любого свойства $P$ не более чем одно из двух выражений $\{X|P(X)\}$ и $\{X|\neg P(X)\}$ задаёт множество.

[Anton_Peplov]

Это доказывается где-нибудь в NBG?

[Someone]

Ну а что там доказывать? Очевидно же, что $\{X|P(X)\}\cup\{X|\neg P(X)\}$ есть совокупность всех множеств. А объединение двух множеств всегда есть множество.

[Anton_Peplov]

Чёрт. Это же надо так отупеть, всего год прожив без математики. Спасибо.

[ewert]

xjar1 в сообщении #1323590 писал(а):

$\{X|P(X)\}$ очень похоже на множество, но им не является? Здесь $P$ - некоторое свойство.

В "множестве всех множеств" единственное свойство, которым обладают множества -- это называться множеством. Что назвать свойством довольно трудно.

[george66]

Алгоритма нет, это зависит от теории. Например, в системе аксиом New Foundations можно построить множество всех множеств, зато в общем случае нельзя из множества выделить подмножество по какой угодно формуле.

[yafkin]

Someone в сообщении #1323642 писал(а):

А объединение двух множеств всегда есть множество.

Я наверно опять чего-то не понимаю, но множества всех множеств не существует по причине существования чертовой лестницы.

[Someone]

yafkin в сообщении #1323942 писал(а):

множества всех множеств не существует

А где я говорил, что существует? Но почему бы не существовать классу всех множеств, который я обозвал "совокупностью"?

ewert в сообщении #1323646 писал(а):

В "множестве всех множеств" единственное свойство, которым обладают множества -- это называться множеством. Что назвать свойством довольно трудно.

Обычно класс всех множеств в ZFC (точнее, в консервативном расширении языка ZFC) определяют как $\{X\colon X=X\}$.

[yafkin]

А аксиомы бесконечности и создания множеств? С классом множеств ,что ничего делать нельзя?

[arseniiv]

С классами можно делать много чего — например, всю алгебру множеств (булеву, в смысле). Главное помнить, что класс, не являющийся множеством, не может входить в другой класс.

И не могли бы вы задавать вопросы аккуратнее? Чего стоит поредактировать пост пару раз перед отправкой, задумавшись о том, как его поймут другие, не имея возможности залезть в вашу голову? Неясно, к чему вы тут притянули аксиомы бесконечности и создания (создания??) множеств.

[george66]

В New Foundations существует именно множество (не класс) всех множеств, а парадоксы обходятся другим путём. Грубо говоря, в ZF запрещено образовывать слишком большие множества, а в NF слишком сложные. Даже подмножество натурального ряда можно образовать не по любой формуле, зато есть множество всех множеств, ординал всех ординалов, множество всех множеств из эн элементов (и оно представляет натуральное число эн), для любого множества его дополнение тоже является множеством и т.д. Книга Holmes, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set
https://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf

[arseniiv]

george66 в сообщении #1324091 писал(а):

зато есть множество всех множеств, ординал всех ординалов, множество всех множеств из эн элементов (и оно представляет натуральное число эн)

Удобно. А множество всех кардиналов тоже есть?

[george66]

Кажется, есть. Но ведут они себя странно. Например, ординал всех ординалов не является самым большим ординалом (и за ним есть следующий).

[yafkin]

arseniiv в сообщении #1324018 писал(а):

С классами можно делать много чего — например, всю алгебру множеств (булеву, в смысле). Главное помнить, что класс, не являющийся множеством, не может входить в другой класс.

И не могли бы вы задавать вопросы аккуратнее? Чего стоит поредактировать пост пару раз перед отправкой, задумавшись о том, как его поймут другие, не имея возможности залезть в вашу голову? Неясно, к чему вы тут притянули аксиомы бесконечности и создания (создания??) множеств.

ewert в сообщении #1323646 писал(а):

В "множестве всех множеств" единственное свойство, которым обладают множества -- это называться множеством. Что назвать свойством довольно трудно.

Глубокоуважаемый arseniiv ,а на каком полигоне мы работаем? "множестве всех множеств"-оно не существует.
Вот здесь мне действительно трудно сформулировать тему: если рассматриваются классы множеств на континиуме, то мощность их не более чем счетна, или имеет мощность континиума, а дальше чертова лестница.
Причем эти множества отвечают требованиям в рамках Вавилова.
Множества из одинаковых элементов тоже небольшая диковинка.
А множества ,которые не являются множествами на самом деле ,содержат свойство приводящее к логическим противоречиям- отрицающие его свойство принадлежности.
Если создать множество в одной системе аксиом, а потом анализировать в другой то скорее всего так и получится.