2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 17:05 


02/12/16
60
Известно, что "множество" всех множеств или, например, всех групп в действительности множеством не является.

Есть какие-либо еще менее очевидные примеры, когда $\{X|P(X)\}$ очень похоже на множество, но им не является? Здесь $P$ - некоторое свойство.

И еще, есть, какой либо алгоритм, чтобы понять, является ли $\{X|P(X)\}$ множеством?
Или всегда необходимо пытаться искать противоречия?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 17:56 
Заслуженный участник


08/01/12
915
xjar1 в сообщении #1323590 писал(а):
Есть какие-либо еще менее очевидные примеры, когда $\{X|P(X)\}$ очень похоже на множество, но им не является? Здесь $P$ - некоторое свойство.

Сколько угодно: для вообще любого свойства $P$ не более чем одно из двух выражений $\{X|P(X)\}$ и $\{X|\neg P(X)\}$ задаёт множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Это доказывается где-нибудь в NBG?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну а что там доказывать? Очевидно же, что $\{X|P(X)\}\cup\{X|\neg P(X)\}$ есть совокупность всех множеств. А объединение двух множеств всегда есть множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Чёрт. Это же надо так отупеть, всего год прожив без математики. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 20:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
xjar1 в сообщении #1323590 писал(а):
$\{X|P(X)\}$ очень похоже на множество, но им не является? Здесь $P$ - некоторое свойство.

В "множестве всех множеств" единственное свойство, которым обладают множества -- это называться множеством. Что назвать свойством довольно трудно.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение30.06.2018, 23:49 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Алгоритма нет, это зависит от теории. Например, в системе аксиом New Foundations можно построить множество всех множеств, зато в общем случае нельзя из множества выделить подмножество по какой угодно формуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение02.07.2018, 14:04 


30/08/13
406
Someone в сообщении #1323642 писал(а):
А объединение двух множеств всегда есть множество.

Я наверно опять чего-то не понимаю, но множества всех множеств не существует по причине существования чертовой лестницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение02.07.2018, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
yafkin в сообщении #1323942 писал(а):
множества всех множеств не существует
А где я говорил, что существует? Но почему бы не существовать классу всех множеств, который я обозвал "совокупностью"?

ewert в сообщении #1323646 писал(а):
В "множестве всех множеств" единственное свойство, которым обладают множества -- это называться множеством. Что назвать свойством довольно трудно.
Обычно класс всех множеств в ZFC (точнее, в консервативном расширении языка ZFC) определяют как $\{X\colon X=X\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение02.07.2018, 15:47 


30/08/13
406
А аксиомы бесконечности и создания множеств? С классом множеств ,что ничего делать нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение02.07.2018, 19:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
С классами можно делать много чего — например, всю алгебру множеств (булеву, в смысле). Главное помнить, что класс, не являющийся множеством, не может входить в другой класс.

И не могли бы вы задавать вопросы аккуратнее? Чего стоит поредактировать пост пару раз перед отправкой, задумавшись о том, как его поймут другие, не имея возможности залезть в вашу голову? Неясно, к чему вы тут притянули аксиомы бесконечности и создания (создания??) множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение03.07.2018, 03:34 
Заслуженный участник


31/12/15
922
В New Foundations существует именно множество (не класс) всех множеств, а парадоксы обходятся другим путём. Грубо говоря, в ZF запрещено образовывать слишком большие множества, а в NF слишком сложные. Даже подмножество натурального ряда можно образовать не по любой формуле, зато есть множество всех множеств, ординал всех ординалов, множество всех множеств из эн элементов (и оно представляет натуральное число эн), для любого множества его дополнение тоже является множеством и т.д. Книга Holmes, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set
https://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение03.07.2018, 03:50 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
george66 в сообщении #1324091 писал(а):
зато есть множество всех множеств, ординал всех ординалов, множество всех множеств из эн элементов (и оно представляет натуральное число эн)
Удобно. А множество всех кардиналов тоже есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение03.07.2018, 04:15 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Кажется, есть. Но ведут они себя странно. Например, ординал всех ординалов не является самым большим ординалом (и за ним есть следующий).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Множества", в действительности не являющиеся множествами
Сообщение03.07.2018, 07:49 


30/08/13
406
arseniiv в сообщении #1324018 писал(а):
С классами можно делать много чего — например, всю алгебру множеств (булеву, в смысле). Главное помнить, что класс, не являющийся множеством, не может входить в другой класс.

И не могли бы вы задавать вопросы аккуратнее? Чего стоит поредактировать пост пару раз перед отправкой, задумавшись о том, как его поймут другие, не имея возможности залезть в вашу голову? Неясно, к чему вы тут притянули аксиомы бесконечности и создания (создания??) множеств.


ewert в сообщении #1323646 писал(а):
В "множестве всех множеств" единственное свойство, которым обладают множества -- это называться множеством. Что назвать свойством довольно трудно.


Глубокоуважаемый arseniiv ,а на каком полигоне мы работаем? "множестве всех множеств"-оно не существует.
Вот здесь мне действительно трудно сформулировать тему: если рассматриваются классы множеств на континиуме, то мощность их не более чем счетна, или имеет мощность континиума, а дальше чертова лестница.
Причем эти множества отвечают требованиям в рамках Вавилова.
Множества из одинаковых элементов тоже небольшая диковинка.
А множества ,которые не являются множествами на самом деле ,содержат свойство приводящее к логическим противоречиям- отрицающие его свойство принадлежности.
Если создать множество в одной системе аксиом, а потом анализировать в другой то скорее всего так и получится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group