Вполне упорядоченность и счётность

[When]

Возьму произвольное бесконечное вполне упорядоченное множество(или множество, которое можно сделать вполне упорядоченным, не изменяя количество его элементов), под вполне упорядоченным множеством понимаю его википедийное описание https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0 ... 0%B2%D0%BE
1-ый шаг: Возьму наибольшее подмножество этого множества - само это множество. Его минимальному элементу сопоставлю число 1.
n-й шаг: Возьму подмножество $A_n$ множества $A_{n-1}$ из предыдущего шага, $A_n=A_{n-1} \backslash \left\lbrace m_{n-1}\right\rbrace$, где $m_x$ - минимальный элемент множества $A_x$. Сопоставлю его минимальному элементу число n.
Таким образом я поставил в соответствие каждому элементу произвольного вполне упорядоченного множества натуральное число. Каждое вполне упорядоченное множество счётно.
В чём ошибка?

[gris]

When в сообщении #1323085 писал(а):

я поставил в соответствие каждому элементу

[When]

А как доказывается счётность счётных множеств? Ведь они бесконечны, и сколько не нумеруй элементы множества равномощность этим не докажешь.

[gris]

Достаточно один раз пронумеровать пронумеровать все элементы множества.

[When]

gris в сообщении #1323089 писал(а):

Достаточно один раз пронумеровать пронумеровать все элементы множества.

Как пронумеровать все элементы бесконечного множества? И если это возможно, то не это ли я сделал?

[gris]

Например, множество натуральных чисел бесконечно и пронумеровано само собой. А Вы уверены, что Вашим способом сумеете пронумеровать даже счётное множество? А из несчётного Вы выкинете не более одного процента элементов.

[When]

Пример множества натуральных чисел не очень хорош в данной ситуации, так как не позволяет понять, к примеру, почему множество рациональных чисел можно нумеровать, не боясь ситуации с тем, что из него не выкинется и малая часть чисел, а произвольное вполне упорядоченное множество нумеровать нельзя.

-- 28.06.2018, 14:45 --

Нашёл на вики "Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, то есть устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел."
Мне кажется, именно это я и сделал(привёл алгоритм, который нумерует элементы множества, причём алгоритм этот похож на используемый при нумерации рациональных чисел).

[gris]

Механизм нумерации включает доказательство того, что каждый элемент будет пронумерован. А у Вас нет такого доказательства. Нет доказательства существования этой самой биекции.

[When]

Каково такое доказательство для рациональных чисел?

-- 28.06.2018, 14:52 --

С помощью этого алгоритма нумеруются минимальные элементы каждого подмножества, а так как в каждом подмножестве имеется минимальный элемент, то нумеруются элементы каждого подмножества, состоящего из одного элемента, а значит все элементы данного множества. Так нормально?
Хотя, наверное,

Цитата:

нумеруются минимальные элементы каждого подмножества

ещё предстоит доказать.

-- 28.06.2018, 15:03 --

Цитата:

нумеруются минимальные элементы каждого подмножества

$A_1$ - всё множество, в $A_n$ элементов на n-1 меньше чем в $A_1$.
Минимальный элемент произвольного подмножества множества $A_1$ совпадает минимальным элементом $A_n$ если пересечение этого подмножества с $A_n$ не пусто, а с $A_1 \backslash A_n$ - пусто. Тогда, нумеруя все минимальные элементы $A_n$ мы нумеруем минимальные элементы любого подмножества $A_1$.

[gris]

Вряд ли от Вики можно требовать строгого и полного доказательства. Его надо смотреть в учебнике. А там только визуализация диагонального способа. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби и обязательно встретится в таблице. Оно будет лежать на определённой диагонали и будет пронумеровано.
У Вас нумеруются элементы не каждого подмножества. А вот Вам доказательство. Предположим, Вы на некотором шаге получили одноэлементное подмножество и выкинули его минимальный элемент. На этом процесс завершится. То есть Ваше множество конечно.

[When]

Я доказал в предыдущем сообщении, посмотрите?
Кстати, замечу что $A_1 \backslash A_n \cup A_n = A_1$, так что любое подмножество $A_1$ пересекается как минимум с одним из этих множеств.

[gris]

Минимальный элемент из $A_1$ никак не может совпасть с минимальным элементом из $A_k\dbig |_{k>1}$

[When]

gris в сообщении #1323101 писал(а):

Минимальный элемент из $A_1$ никак не может совпасть с минимальным элементом из $a_k\dbig |k>1$

Минимальный элемент из подмножества множества $A_1$

[eugensk]

When
Добавим к множеству натуральных чисел "число" $M^*$, большее любого натурального числа. Ваш способ нумерации оставит его без номера.

[When]

eugensk в сообщении #1323103 писал(а):

When
Добавим к множеству натуральных чисел "число" $M^*$

Добавим к моему множеству "элемент" $M^*$, больший любого элемента.
Честно говоря я не понял, объясните.