Вполне упорядоченность и счётность

[mihaild]

When в сообщении #1323127 писал(а):

можете предъявить пример несчётного вполне упорядоченного множества?

Возьмём несчётное множество. Возьмём все возможные полные порядки на его подмножествах. Побьем эти порядки на классы эквивалентности относительно изоморфизма порядков. Эти классы вполне упорядочены относительно вложенности.
Упражнение: докажите, что этих классов несчетно.
Указание: пусть их счётно. Тогда один из этих классов как раз содержит порядки, изоморфные всему множеству классов. Возьмём изоморфизм и попробуем посмотреть, куда мог бы переходить наш класс.
(Рассуждение позволяет доказать, что для любого вполне упорядоченного множества существует вполне упорядоченное множество большей мощности)

[Duelist]

When

When в сообщении #1323088 писал(а):

А как доказывается счётность счётных множеств? Ведь они бесконечны, и сколько не нумеруй элементы множества равномощность этим не докажешь.

Счётное мн-во по определению - такое множество, которое биективно множеству натуральных чисел. Соответственно, док-во состоит в док-ве существования такой биекции. В том числе отображение можно построить явно. У Вас такого отображения не получилось, увы.
Само множество натуральных чисел - наименьший бесконечный кардинал, а определяется оно как ординал, вполне упорядочиваемый отношением, обратным к отношению принадлежности ($\in$). Собственно, ординал по определению конечен титтк он принадлежит $\mathbb{N} $. В конечном случае кардиналы совпадают с ординалами и являются натуральными числами (в том числе ноль - пустое множество).
Можно также доказать, что множество конечно титтк для некоторого отношения $r$ верно, что $r$ и $r^{-1}$ вполне упорядочивают данное множество.

When в сообщении #1323085 писал(а):

Возьму произвольное бесконечное вполне упорядоченное множество(или множество, которое можно сделать вполне упорядоченным, не изменяя количество его элементов), под вполне упорядоченным множеством понимаю его википедийное описание https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0 ... 0%B2%D0%BE
1-ый шаг: Возьму наибольшее подмножество этого множества - само это множество. Его минимальному элементу сопоставлю число 1.
n-й шаг: Возьму подмножество $A_n$ множества $A_{n-1}$ из предыдущего шага, $A_n=A_{n-1} \backslash \left\lbrace m_{n-1}\right\rbrace$, где $m_x$ - минимальный элемент множества $A_x$. Сопоставлю его минимальному элементу число n.
Таким образом я поставил в соответствие каждому элементу произвольного вполне упорядоченного множества натуральное число. Каждое вполне упорядоченное множество счётно.
В чём ошибка?

Вы просто вложили мн-во натуральных чисел в данное мн-во. Ваше отображение инъективно, но сюръективности не имеем. Иными словами, попробуйте строго доказать, что всякому эл-ту Вашего бесконечного вполне упорядоченного мн-ва соответствует некоторое натуральное число.

When в сообщении #1323127 писал(а):

Просто ради интереса, можете предъявить пример несчётного вполне упорядоченного множества?

Мн-во вещественных чисел, например. Как - смотрите теорему Цермело. Хотя, порядок, конечно, будет неестественным. Можно просто взять $P(2^{\mathbb{N}})$ - кардинал, равномощный мн-ву всех подмножеств натуральных чисел. Сам он, разумеется, вполне упорядочен, по т. Кантора он больше $\mathbb{N}$ (причём $\mathbb{N}$ является для него как подмножеством, так и элементом) и, собственно, равномощен $\mathbb{R}$ - мн-ву вещественных чисел.