2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:03 


28/06/18
13
Возьму произвольное бесконечное вполне упорядоченное множество(или множество, которое можно сделать вполне упорядоченным, не изменяя количество его элементов), под вполне упорядоченным множеством понимаю его википедийное описание https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0 ... 0%B2%D0%BE
1-ый шаг: Возьму наибольшее подмножество этого множества - само это множество. Его минимальному элементу сопоставлю число 1.
n-й шаг: Возьму подмножество $A_n$ множества $A_{n-1}$ из предыдущего шага, $A_n=A_{n-1} \backslash \left\lbrace m_{n-1}\right\rbrace$, где $m_x$ - минимальный элемент множества $A_x$. Сопоставлю его минимальному элементу число n.
Таким образом я поставил в соответствие каждому элементу произвольного вполне упорядоченного множества натуральное число. Каждое вполне упорядоченное множество счётно.
В чём ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
When в сообщении #1323085 писал(а):
я поставил в соответствие каждому элементу

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:16 


28/06/18
13
А как доказывается счётность счётных множеств? Ведь они бесконечны, и сколько не нумеруй элементы множества равномощность этим не докажешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Достаточно один раз пронумеровать пронумеровать все элементы множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:22 


28/06/18
13
gris в сообщении #1323089 писал(а):
Достаточно один раз пронумеровать пронумеровать все элементы множества.

Как пронумеровать все элементы бесконечного множества? И если это возможно, то не это ли я сделал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Например, множество натуральных чисел бесконечно и пронумеровано само собой. А Вы уверены, что Вашим способом сумеете пронумеровать даже счётное множество? А из несчётного Вы выкинете не более одного процента элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:35 


28/06/18
13
Пример множества натуральных чисел не очень хорош в данной ситуации, так как не позволяет понять, к примеру, почему множество рациональных чисел можно нумеровать, не боясь ситуации с тем, что из него не выкинется и малая часть чисел, а произвольное вполне упорядоченное множество нумеровать нельзя.

-- 28.06.2018, 14:45 --

Нашёл на вики "Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, то есть устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел."
Мне кажется, именно это я и сделал(привёл алгоритм, который нумерует элементы множества, причём алгоритм этот похож на используемый при нумерации рациональных чисел).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Механизм нумерации включает доказательство того, что каждый элемент будет пронумерован. А у Вас нет такого доказательства. Нет доказательства существования этой самой биекции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 10:47 


28/06/18
13
Каково такое доказательство для рациональных чисел?

-- 28.06.2018, 14:52 --

С помощью этого алгоритма нумеруются минимальные элементы каждого подмножества, а так как в каждом подмножестве имеется минимальный элемент, то нумеруются элементы каждого подмножества, состоящего из одного элемента, а значит все элементы данного множества. Так нормально?
Хотя, наверное,
Цитата:
нумеруются минимальные элементы каждого подмножества
ещё предстоит доказать.

-- 28.06.2018, 15:03 --

Цитата:
нумеруются минимальные элементы каждого подмножества

$A_1$ - всё множество, в $A_n$ элементов на n-1 меньше чем в $A_1$.
Минимальный элемент произвольного подмножества множества $A_1$ совпадает минимальным элементом $A_n$ если пересечение этого подмножества с $A_n$ не пусто, а с $A_1 \backslash A_n$ - пусто. Тогда, нумеруя все минимальные элементы $A_n$ мы нумеруем минимальные элементы любого подмножества $A_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вряд ли от Вики можно требовать строгого и полного доказательства. Его надо смотреть в учебнике. А там только визуализация диагонального способа. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби и обязательно встретится в таблице. Оно будет лежать на определённой диагонали и будет пронумеровано.
У Вас нумеруются элементы не каждого подмножества. А вот Вам доказательство. Предположим, Вы на некотором шаге получили одноэлементное подмножество и выкинули его минимальный элемент. На этом процесс завершится. То есть Ваше множество конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 11:05 


28/06/18
13
Я доказал в предыдущем сообщении, посмотрите?
Кстати, замечу что $A_1 \backslash A_n \cup A_n = A_1$, так что любое подмножество $A_1$ пересекается как минимум с одним из этих множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Минимальный элемент из $A_1$ никак не может совпасть с минимальным элементом из $A_k\dbig |_{k>1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 11:14 


28/06/18
13
gris в сообщении #1323101 писал(а):
Минимальный элемент из $A_1$ никак не может совпасть с минимальным элементом из $a_k\dbig |k>1$

Минимальный элемент из подмножества множества $A_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 11:18 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
When
Добавим к множеству натуральных чисел "число" $M^*$, большее любого натурального числа. Ваш способ нумерации оставит его без номера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вполне упорядоченность и счётность
Сообщение28.06.2018, 11:21 


28/06/18
13
eugensk в сообщении #1323103 писал(а):
When
Добавим к множеству натуральных чисел "число" $M^*$

Добавим к моему множеству "элемент" $M^*$, больший любого элемента.
Честно говоря я не понял, объясните.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group