ВТФ и дискретная геометрия

[Someone]

И мне непонятно, в каком смысле здесь употребляется слово "инвариант". Обычно это слово используют для обозначения величины, которая не изменяется в результате действия заданных преобразований. Какие здесь рассматриваются преобразования?

[SVD-d]

Не уверен, что ТС сразу найдёт что ответить. Чтобы помочь, предлагаю, например, такое преобразование

[serval]

Извините, что не отвечаю - навалилась работа.

Любое число $k^n$ где $k,n$ натуральные можно представить как результат скалярного произведения векторов $(\vec k,\ \vec n)$ компоненты которых также натуральны.

Есть линейные преобразования: $(A^p_1\vec k,\ \vec n)=(k+p)^n, (\vec k,\ A^q_2\vec n)=k^{n+q}$

Меня интересует преобразование $F(a+b-c=0) \rightarrow (a^n+b^n-c^n=0)$ , но пока только для $(a^2+b^2-c^2=0)$

Как представить пифагорову тройку при помощи преобразований $A_1,A_2$ я нашел, а как при помощи них представить $F$ - ищу.

[TR63]

serval в сообщении #1321786 писал(а):

Таким образом для чисел $a,b,c$ удовлетворяющих уравнению $a^n+b^n=c^n$ существуют инварианты

при $n=1:\ a+b-c=0$

при $n=2:\ a(t+1)-b-c=0$

Вам был приведен в другой теме grizzly контрпример $(33;56;65)$ и дана подсказка, как найти условие, при котором Ваша гипотеза, возможно, будет верна. Т.е. добавка дополнительного общего свойства может позволить сделать таки экстраполяцию Вашего утверждения.
В этой теме также дана интересная подсказка topic193-345.html (дерево примитивных пифагоровых троек). Интересно, верно ли Ваше утверждение для верхней ветви этого дерева (т.е. обладают ли те тройки свойством: $m-n=1$.)
SVD-d, Ваш контрпример не является контрпримером. Вы проверяете не то условие, которое надо проверить. Надо проверить, что

serval в сообщении #1321786 писал(а):

где $t=\text{НОД}\ (c-a,b)$

и равно $t=\frac{(c-a)+b}{a}$

Надо проверять равенство правых частей.

serval в сообщении #1321867 писал(а):

Пожалуйста, дайте пример для произвольной тройки чисел не являющейся пифагоровой.

Эта формулировка мне не понятна. Утверждение

serval в сообщении #1321867 писал(а):

для произвольной тройки чисел не являющейся пифагоровой

доказать или опровергнуть надо?

[SVD-d]

TR63 в сообщении #1323147 писал(а):

Ваш контрпример не является контрпримером

Та часть, которая про НОД вполне неплохо обсуждается в другом месте и без моего участия. Я хотел обратить внимание на другую часть этого утверждения, потому что именно из неё - то есть, из поиска некой "закономерности" - ТС пытался делать глубокомысленные выводы.

[TR63]

SVD-d в сообщении #1323185 писал(а):

именно из неё - то есть, из поиска некой "закономерности" - ТС пытался делать глубокомысленные выводы

serval
всего лишь немного не дожал в поисках закономерности. И получилась осечка. Но, возможно, она поправима. Одно из условий экстраполяции-наличие общего свойства в анамнезе. SVD-d, Ваша ссылка ему может пригодится в поисках закономерности. Возможно он сам найдёт другое общее свойство (не то, которое получается, если решать в лоб), на основании которого сможет экстраполировать своё утверждение в полученной области определения так, что, по крайней мере, контрпример найти не удастся.

[serval]

Чтобы найти подход к пониманию того, почему нет натуральных числовых троек удовлетворяющих условию $a^n+b^n=c^n,\ n>2$ следует выяснить условия существования пифагоровых троек.

Для этого рассмотрим следующую задачу.

Дана функция $f(x)=2x$. Для наглядности можно нарисовать её график.

Пусть по оси $x$ от начала координат в положительном направлении отложен отрезок длины $S_0$. В момент времени $T_0$ края отрезка одновременно начинают движение в положительном направлении оси со скоростями: левый край $l$ - со скоростью $V_l$, правый край $r$ - со скоростью $V_r$ такими, что $V_l>V_r$ (левый край стартовавший из $0$ догоняет правый край стартовавший из $S_0$).

Интервал $S(T)$, имевший в начальный момент времени значение $S(T_0)=S_0$, будет сокращаться по закону $S(T)=S_0+V_r T-V_l T=S_0-(V_l-V_r)T$.

Рассмотрим два события:

1. Момент $T_1$, в который квадрат (расстояния пройденного левым краем $l$) станет равен разности квадрата (расстояния пройденного правым краем $r$ в сумме с начальным интервалом $S_0$) и квадрата (начального интервала $S_0$):

$V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2$. Из этого условия найдём значение времени $T_1$:

$V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2=S_0^2+2S_0 V_r T_1+V_r^2 T_1^2-S_0^2$, $(V_l^2-V_r^2)T_1^2=2S_0 V_r T_1$

$T_1=S_0 \frac{2V_r}{V_l^2-V_r^2}$

2. Момент $T_2$, в который левый край $l$ догонит правый край $r$:

$V_l T_2=S_0+V_r T_2$. Из этого условия найдём значение времени $T_2$:

$(V_l-V_r)T_2=S_0$

$T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}$

Далее, найдем время прошедшее между этими событиями $\Delta T=T_2-T_1$:

$\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}-S_0 \frac{2V_r}{V_l^2-V_r^2}=S_0 \frac{V_l+V_r-2V_r}{V_l^2-V_r^2}$

$\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r}$

Из одновременного выполнения условий

$\begin{cases} T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}\\ \Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r} \end{cases}$

следует, что безразмерно $S_0=V_l^2-V_r^2$

Тогда

$T_1=2V_r$, откуда $V_l T_1=2V_l V_r$

$S_1(T_1)=S_0+V_r T_1=V_l^2-V_r^2+2V_r^2$, откуда $S_1(T_1)=V_l^2+V_r^2$

что при простом переобозначении:

$S_0=a$ - начальный интервал

$V_l T_1=b$ - расстояние пройденное левым краем $l$

$S_1(T_1)=c$ - расстояние пройденное правым краем $r$ в сумме с начальным интервалом $S_0$

$V_l=m$ - скорость левого края $l$

$V_r=n$ - скорость правого края $r$

совпадает с хорошо известными заменами членов примитивной пифагоровой тройки:

$a=m^2-n^2$

$b=2mn$

$c=m^2+n^2$

При этом, условия 1 и 2, из которых были получены итоговые значения, одинаковы для любой исходной функции такой, что $\int\limits_0^x f(x)dx=x^n$.

[serval]

Указанные замены выводятся каким-либо иным способом, или я изобрёл велосипед?

[SVD-d]

(Оффтоп)

serval в сообщении #1333662 писал(а):

$V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2=S_0^2+2S_0 V_r T_1+V_r^2 T_1^2-S_0^2$, $(V_l^2-V_r^2)T_1^2=2S_0 V_r T_1$

Используйте, пожалуйста, перенос строк вместо запятой или хотя бы делайте расстояние между различными формулами побольше.

serval в сообщении #1333605 писал(а):

Из одновременного выполнения условий

$\begin{cases} T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}\\ \Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r} \end{cases}$

следует, что безразмерно $S_0=V_l^2-V_r^2$

Правда следует?

[serval]

Законный вопрос.
То, что $S_0$ одновременно кратен $V_l-V_r$ и $V_l+V_r$, а значит и $V_l^2-V_r^2$ - очевидно. Вопрос лишь в том - равен ли коэффициент кратности $1$?
Молчание заслуженных участников, наверняка читающих тему, намекает на то, что равен
Прошу немного подождать, мне нужно проверить обоснование.

[serval]

Прошу прощения за долгое молчание, что-то я глубоко задумался Хотя, ответ почти очевиден - если коэффициент кратности будет $>1$, то пифагорова тройка просто не будет примитивной.

[serval]

Для того, чтобы провести доказательство для третьей степени мне нужно правильно представить куб натурального числа двойной суммой числовой последовательности.
Верно ли следующее равенство?

$\frac{a^3-a}{3!}=\sum\limits_{m=1}^a \sum\limits_{k=1}^{m-1} k$

Я не уверен в расстановке пределов. Если ошибся - пожалуйста, поправьте.

[Someone]

Если значения двух многочленов степени $n$ совпадают в $n+1$ различных точках, то они совпадают везде. Возьмите в качестве $a$ числа $1,2,3,4$ и сравните.

[serval]

Пока не получилось красиво сформулировать подход к доказательству ВТФ для кубов, поэтому продолжил разбираться с квадратами.

Задача была такой: пусть зависимость $c^2(a^2)$ имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2$ , какова зависимость $c\ (a)$ ? Очевидный ответ: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Возник вопрос - можно ли выразить эту зависимость без радикалов? Выяснилось, что можно.

Обозначим: $c-a = r\cdot t,\ b = l\cdot t$ , где $t = \text{НОД}\ (c-a,b)$ . Тогда зависимость $c\ (a)$ такова: $\displaystyle c = b\cdot \frac{l}{r} - a$

Однако, более информативна такая запись: $\displaystyle c = l^2\cdot \frac{t}{r} - a$ , которая показывает условие натуральности $c$ при натуральных $a$ и $b$ : должно быть натуральным число $\displaystyle k = \frac{t}{r}$

Таким образом, для того чтобы существовала примитивная пифагорова тройка $a^2 + b^2 = c^2$ должно выполняться условие:

$\displaystyle \frac{\text{НОД}^2\ (c-a,b)}{c-a} = k \in N$

P.S. Следующее, что с очевидностью требуется сделать - исследовать модули по которым сравнимы числитель и знаменатель последней дроби.

[serval]

Сделав длинный крюк, удалось установить ещё один почти очевидный факт - примитивные пифагоровы тройки можно пронумеровать естественным образом. Номер тройки имеет значение

$k=\displaystyle \frac{c-a}{\text{НОД} \ (c-a,b)}$

При этом, тройки с чётными и нечётными младшими слагаемыми нумеруются независимо: с нечётными - имеют все номера начиная с 1 (1, 2, 3 и так далее), с чётными - имеют нечётные номера начиная с 3 (3, 5, 7 и так далее).