Пройденный путь в физике и его знак

[pogulyat_vyshel]

Я привык к такому определению натурального параметра:

$$\Big|\frac{d\boldsymbol r(s)}{ds}\Big|=1,\quad \forall s.$$

Отсюда, в частности ясно, что касательный вектор $\boldsymbol \tau=\frac{d\boldsymbol r(s)}{ds}$ никак не зависит от закона движения точки по кривой, он определяет направление возрастания параметра $s$, а не направление скорости точки

[arseniiv]

Red_Herring в сообщении #1322313 писал(а):

то в первом случае $\int_L ds=0$

Кстати, почему? Траектория не обязана быть кривой без самопересечений, так что и в первом случае при возврате получится не ноль: мы попадём в ту же точку, но раз уже в другое время, то и значение натурального параметра другое. Мы можем получить отрицательное значение — вот этого не отнять.

-- Вс июн 24, 2018 20:39:38 --

Хотя и во втором можем… I’m confused.

[Mihr]

pogulyat_vyshel, я следовал именно общепринятым (в физике) обозначениям. Тем самым обозначениям, которыми пользовался и ТС (см. исходный пост). Я понимаю, что в математике свои традиционные обозначения. (Кстати, приводимые вами обозначения мне знакомы). Но всё же и вам не мешало бы по крайней мере взглянуть, в каком разделе форума находится тема. Думаю, с заявлением

pogulyat_vyshel в сообщении #1322299 писал(а):

"Общепринятые обозначения" вы понимаете некорректно.

вы погорячились. Хотя по большому счёту это

pogulyat_vyshel в сообщении #1322299 писал(а):

не моя проблема

[Red_Herring]

arseniiv в сообщении #1322319 писал(а):

Траектория не обязана быть кривой без самопересечений, так что и в первом случае при возврате получится не ноль: мы попадём в ту же точку, но раз уже в другое время, то и значение натурального параметра другое.

Разумеется Вы правы, я подразумевал (не высказывая явно), что траектория--незамкнута и не имеет самопересечений.

arseniiv в сообщении #1322319 писал(а):

Хотя и во втором можем…

Как? Длина всегда неотрицательна.

[arseniiv]

Просто я не понял второй интеграл.

[Red_Herring]

arseniiv в сообщении #1322337 писал(а):

Просто я не понял второй интеграл.

Да, мне следовало расписать $\int_L ds :=\int_{t_0}^{t_1} |\frac{d\mathbf{r}}{dt}| \,dt $ ($t_1>t_0$).

[arseniiv]

Тогда недопонимания обращаются в ноль.

[misha.physics]

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1322317 писал(а):

Отсюда, в частности ясно, что касательный вектор $\boldsymbol \tau=\frac{d\boldsymbol r(s)}{ds}$ никак не зависит от закона движения точки по кривой, он определяет направление возрастания параметра $s$, а не направление скорости точки

Точно, понятно.

Кстати, интересно, что направление вектора скорости не зависит от знака $\dot s$. Ведь $\vec{v}=\frac{ds}{dt}\vec{\tau}=\frac{ds}{dt}\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{d\vec{r}}{dt}$. Вектор $\vec{v}$ сонаправлен с $d\vec{r}$ (при положительных $dt$).

-- 24 июн 2018, 20:24 --

И спасибо всем большое за помощь. Думаю, этот вопрос мы прояснили :)