2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение23.06.2018, 19:27 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Вы продемонстрировали математическое решение и получили правильный ответ.
В первом (физическом) решении я не проверял пошагово, просто скажу последовательность.
В нижней точкое вертикальная скорость нулевая. Поэтому из ЗСЭ сразу можно вычислить $v_x$ и $V$. В системе отсчета ЦТ цилиндра относительная скорость шайбочки равна $V_0= v_x+V$. К тому же она движется там по окружности. Кроме того в момент нижнего положения шайбочки ЦТ цилиндра движется без ускорения.
Таким образом можно сразу писать уравнение: $m\frac{V_0^2}{R}= N-mg$.
Получается такой же ответ как у вас.

Ну а как насчет частоты малых колебаний?

-- 23.06.2018, 08:37 --

follow_the_sun в сообщении #1322084 писал(а):
fred1996
fred1996 в сообщении #1321442 писал(а):
период малых колебаний

?
$$\int\limits_{0}^{T}v_x(\alpha)d\alpha=4R$$

Чет у вас с размерностями швах.
Ну а школьники обычно частоту находят посредством подходящего выбора обобщенной координаты. В нашем случае это угол $\alpha$, скорости изменения этой координаты и сравнением амплитуд колебаний этих величин. Тут работает ЗСЭ и соотношение $\omega\alpha_A=\dot{\alpha}_ A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение23.06.2018, 23:13 
Аватара пользователя


21/06/18
328
fred1996
1.$v(\alpha)=\dfrac{d\alpha}{dt} R$ – ДУ с разделяющимися перемеными
2.$\dfrac{dt}{R}=\dfrac{d\alpha}{v(\alpha)}$
3.$t(\alpha)=R\int \dfrac{d\alpha}{v(\alpha)} $
4.За четверть периода угол изменяется на $\dfrac{\pi}{2}$
5.$T=4R\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\alpha}{v(\alpha)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение23.06.2018, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
follow_the_sun
Гм, а дальше? Как из 5 получить ранее написанный интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение24.06.2018, 00:06 
Аватара пользователя


21/06/18
328
Geen
Никак. Предыдущий интеграл был неправилен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение24.06.2018, 02:00 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
follow_the_sun
Понятно что для конечных углов этот интеграл не берется в стандартных функциях. А как насчет малых углов? И опять же вы предлагаете математический подход.
А как с физическим? Из ЗСЭ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение24.06.2018, 08:56 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
частота малых колебаний угла $\alpha$
$$\sqrt{\frac{g}{2R}(2+m/M)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение24.06.2018, 09:53 
Аватара пользователя


10/06/18
13
fred1996
Цитата:
Поэтому из ЗСЭ сразу можно вычислить $v_x$ и $V$

Не понимаю, как из одного уравнения можно получить два неизвестных. Так соотношение $2MV=mv_x$, которое я из уравнения моментов получал, не нужно?

Цитата:
В системе отсчета ЦТ цилиндра относительная скорость шайбочки равна $V_0= v_x+V$. К тому же она движется там по окружности. Кроме того в момент нижнего положения шайбочки ЦТ цилиндра движется без ускорения.
Таким образом можно сразу писать уравнение: $m\frac{V_0^2}{R}= N-mg$.

Я так и решал, да получилось неправильно. Похоже, в выражении для $v_x^2=\frac{4\cos^3\alpha}{(2+k)(2+k\sin^2\alpha)}gR$ ошибка. Должно быть в два раза больше. Проверю на досуге.

А малые колебания могут получиться, если начальный угол будет маленьким, я правильно понял? Надо посчитать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение24.06.2018, 12:06 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel
Угу.
ESN
Все верно. Соотношение горизонтальных скоростей как раз ключ к решению задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькая шайбочка внутри цилиндра
Сообщение25.06.2018, 00:06 
Аватара пользователя


10/06/18
13
Частота малых колебаний.
Пусть начальный угол $\alpha_0$ будет малым. Тогда в ЗСЭ в левой части вместо $\cos\alpha$ будет стоять $\cos\alpha-\cos\alpha_0$. Поэтому и в числителе выражения для $v_x^2$ один косинус нужно заменить на $\cos\alpha-\cos\alpha_0$. Найдём квадрат скорости шайбы в с.о. ЦТ цилиндра:
$V_0^2=(v_x+V)^2+v_y^2=v_x^2\frac{(2+k)^2}{4}(1+\tg^2\alpha)=\frac{2(2+k)gR(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}{2+k\sin^2\alpha}$
Поскольку угол мал, можно выбросить синус в знаменателе, а разность косинусов заменить минус половиной разности квадратов аргументов.
$V_0^2=\frac{(k+2)gR(\alpha_0^2-\alpha^2)}2$ Но $V_0=\dot{\alpha}R$. После подстановки получаем диф. уравнение
$2R\dot{\alpha}^2+(2+k)g\alpha^2=\operatorname{const}$. Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой
$\omega=\sqrt{(2+k)g/2R}$.

На всякий случай. Некоторые выражения в предыдущих моих комментариях неверные. Но как-то так получилось, что ответы сошлись. :lol:
Не буду уж править.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group