Маленькая шайбочка внутри цилиндра

[fred1996]

Вы продемонстрировали математическое решение и получили правильный ответ.
В первом (физическом) решении я не проверял пошагово, просто скажу последовательность.
В нижней точкое вертикальная скорость нулевая. Поэтому из ЗСЭ сразу можно вычислить $v_x$ и $V$. В системе отсчета ЦТ цилиндра относительная скорость шайбочки равна $V_0= v_x+V$. К тому же она движется там по окружности. Кроме того в момент нижнего положения шайбочки ЦТ цилиндра движется без ускорения.
Таким образом можно сразу писать уравнение: $m\frac{V_0^2}{R}= N-mg$.
Получается такой же ответ как у вас.

Ну а как насчет частоты малых колебаний?

-- 23.06.2018, 08:37 --

follow_the_sun в сообщении #1322084 писал(а):

fred1996

fred1996 в сообщении #1321442 писал(а):

период малых колебаний

?

$$\int\limits_{0}^{T}v_x(\alpha)d\alpha=4R$$

Чет у вас с размерностями швах.
Ну а школьники обычно частоту находят посредством подходящего выбора обобщенной координаты. В нашем случае это угол $\alpha$, скорости изменения этой координаты и сравнением амплитуд колебаний этих величин. Тут работает ЗСЭ и соотношение $\omega\alpha_A=\dot{\alpha}_ A$

[follow_the_sun]

fred1996
1.$v(\alpha)=\dfrac{d\alpha}{dt} R$ – ДУ с разделяющимися перемеными
2.$\dfrac{dt}{R}=\dfrac{d\alpha}{v(\alpha)}$
3.$t(\alpha)=R\int \dfrac{d\alpha}{v(\alpha)} $
4.За четверть периода угол изменяется на $\dfrac{\pi}{2}$
5.$T=4R\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\alpha}{v(\alpha)}$

[Geen]

follow_the_sun
Гм, а дальше? Как из 5 получить ранее написанный интеграл?

[follow_the_sun]

Geen
Никак. Предыдущий интеграл был неправилен.

[fred1996]

follow_the_sun
Понятно что для конечных углов этот интеграл не берется в стандартных функциях. А как насчет малых углов? И опять же вы предлагаете математический подход.
А как с физическим? Из ЗСЭ?

[pogulyat_vyshel]

частота малых колебаний угла $\alpha$

$$\sqrt{\frac{g}{2R}(2+m/M)}$$

[ESN]

fred1996

Цитата:

Поэтому из ЗСЭ сразу можно вычислить $v_x$ и $V$

Не понимаю, как из одного уравнения можно получить два неизвестных. Так соотношение $2MV=mv_x$, которое я из уравнения моментов получал, не нужно?

Цитата:

В системе отсчета ЦТ цилиндра относительная скорость шайбочки равна $V_0= v_x+V$. К тому же она движется там по окружности. Кроме того в момент нижнего положения шайбочки ЦТ цилиндра движется без ускорения.
Таким образом можно сразу писать уравнение: $m\frac{V_0^2}{R}= N-mg$.

Я так и решал, да получилось неправильно. Похоже, в выражении для $v_x^2=\frac{4\cos^3\alpha}{(2+k)(2+k\sin^2\alpha)}gR$ ошибка. Должно быть в два раза больше. Проверю на досуге.

А малые колебания могут получиться, если начальный угол будет маленьким, я правильно понял? Надо посчитать...

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Угу.
ESN
Все верно. Соотношение горизонтальных скоростей как раз ключ к решению задачи.

[ESN]

Частота малых колебаний.
Пусть начальный угол $\alpha_0$ будет малым. Тогда в ЗСЭ в левой части вместо $\cos\alpha$ будет стоять $\cos\alpha-\cos\alpha_0$. Поэтому и в числителе выражения для $v_x^2$ один косинус нужно заменить на $\cos\alpha-\cos\alpha_0$. Найдём квадрат скорости шайбы в с.о. ЦТ цилиндра:
$V_0^2=(v_x+V)^2+v_y^2=v_x^2\frac{(2+k)^2}{4}(1+\tg^2\alpha)=\frac{2(2+k)gR(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}{2+k\sin^2\alpha}$
Поскольку угол мал, можно выбросить синус в знаменателе, а разность косинусов заменить минус половиной разности квадратов аргументов.
$V_0^2=\frac{(k+2)gR(\alpha_0^2-\alpha^2)}2$ Но $V_0=\dot{\alpha}R$. После подстановки получаем диф. уравнение
$2R\dot{\alpha}^2+(2+k)g\alpha^2=\operatorname{const}$. Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой
$\omega=\sqrt{(2+k)g/2R}$.

На всякий случай. Некоторые выражения в предыдущих моих комментариях неверные. Но как-то так получилось, что ответы сошлись.
Не буду уж править.