Механика - математика?

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321803 писал(а):

теория возмущений для ОДУ может приводить к задаче Коши-Ковалевской для УРЧП

Поэтому я и спросил.

Цитата:

Да, мы с вами говорим в точности про одно и тоже

Как Вы сформулировали, нет. Рассмотрим $u=f(xe^t)$ решение $u_t=xu_x$. Здесь решение не разрушается никогда ($T=\infty$), но вот радиус сходимости по $x$ в точке $x=0$ убывает экспоненциально по $t$.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1321806 писал(а):

Рассмотрим $u=f(xe^t)$ решение $u_t=xu_x$

Это понятно, однако в общем случае решения задачи Коши-Ковалевской ведут себя как функции Вида $\frac{c_1}{c_2-c_3z-t}$ и время существования этих решений оказывается принципиальным фактом в теории возмущений. Но только там в соответствующей задаче типа Коши-Ковалевской $t$ это не физическое время, а параметр усреднения системы.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321811 писал(а):

Это понятно, однако в общем случае решения задачи Коши-Ковалевской ведут себя как функции

Потому что задачи негиперболические.

[warlock66613]

Red_Herring в сообщении #1321678 писал(а):

обобщенная функция Хевисайда является, кроме всего прочего, также и обычной функцией

Обычная (в приведённом мной примере и вообще) подходит хуже: она в нуле не непрерывна и недифференцируема, а напряжение, понятно, должно быть (по крайней мере, гораздо лучше чтобы было) непрерывно и дифференцируемо. Можно просто нарисовать график обобщённой функции (которого, конечно же, не существует — в смысле нет такого понятия в математике):

и обычной:

Первый просто "на глаз" "физичнее".

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1321927 писал(а):

Обычная (в приведённом мной примере и вообще) подходит хуже:

А почему мы должны выбрать что-то одно: либо обычная, либо обобщенная? Хевисайд и то, и другое--и это важно в нелинейных уравнениях. Например, уравнение Бюргерса без вязкости $u_t+(u^2/2)_x=0$ допускает физически осмысленные разрывные решения, где $u^2$ имеет смысл потому, что $u$ обычная функция, но уравнение понимается уже в смысле обобщенных функций.

[warlock66613]

Red_Herring в сообщении #1321937 писал(а):

А почему мы должны выбрать что-то одно: либо обычная, либо обобщенная?

Ну, потому что это объекты совершенно разной математической природы. (Тут мы, видимо, переходим от вопроса от "физическом уровне строгости" к вопросу о "математическом уровне строгости" — то есть, допустимо ли называть регулярные обобщённые функции просто функциями?)

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1321963 писал(а):

Ну, потому что это объекты совершенно разной математической природы. (Тут мы, видимо, переходим от вопроса от "физическом уровне строгости" к вопросу о "математическом уровне строгости" — то есть, допустимо ли называть регулярные обобщённые функции просто функциями?)

С тем же успехом можно сказать что целые и рациональные числа нельзя складывать, потому что "это объекты совершенно разной математической природы".

Поскольку некоторым (локально суммируемым) обобщенным функциям ставится в соответствие обобщенная, причем каноническим образом, то такие функции (и в частности функции Хевисайда) являются также и обобщенными. И их можно математически строго рассматривать, причем одновременно, и как функции, и как распределения. См. пример с нелинейным уравнением.

[pogulyat_vyshel]

Функция $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^m)$ восстанавливается (естественно с точностью до множества меры нуль) по значениям обобщенной функции $\psi\mapsto\int_{\mathbb{R}^m}f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}^m)$

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321971 писал(а):

Функция $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^m)$ восстанавливается (естественно с точностью до множества меры нуль) по значениям обобщенной функции $\psi\mapsto\int_{\mathbb{R}^m}f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}^m)$

Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"? (Обращаюсь к Red_Herring, поскольку pogulyat_vyshel тщательно игнорирует все мои вопросы.)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1321991 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"?

Это некорректный вопрос. Дело в том, что для обобщенных функций мы знаем, что такое $u=v$ на открытом множестве $D$: $u(\varphi)=v(\varphi)$ для всех пробных функций $\varphi$ с носителями, содержащимися в $D$. И все. Ни о каких других множествах речи не идет.

Вот, например обобщенная производная от $v(x)$, непрерывной но нигде не дифференцируемой функции, ни на каком открытом множестве с обычной не совпадает.

(Старый анекдот)

П. Доктор, меня все игнорируют!
Д. Следующий!

[Munin]

А, я неправильно понял, перепутал $f$ и $\psi.$ Да, тогда я ерунду написал.

А pogulyat_vyshel, соответственно, банальность.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1322006 писал(а):

А pogulyat_vyshel, соответственно, банальность.

Это известная теорема, но не банальность.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1322010 писал(а):

Это известная теорема

Я бы сказал, известная лемма...

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1321812 писал(а):

Потому что задачи негиперболические.

А вот я как-то привык думать, что это именно потому, что данная задача -- гиперболическая. Точнее говоря, она сводится к гиперболической см третий том M. Taylor PDE. И в этой книжке, теорема Коши-Ковалевской получается как следствие теоремы существования для гиперболической системы

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1322010 писал(а):

Это известная теорема, но не банальность.

Ну разумеется.