2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение22.06.2018, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11304
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1321803 писал(а):
теория возмущений для ОДУ может приводить к задаче Коши-Ковалевской для УРЧП
Поэтому я и спросил.
Цитата:
Да, мы с вами говорим в точности про одно и тоже
Как Вы сформулировали, нет. Рассмотрим $u=f(xe^t)$ решение $u_t=xu_x$. Здесь решение не разрушается никогда ($T=\infty$), но вот радиус сходимости по $x$ в точке $x=0$ убывает экспоненциально по $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение22.06.2018, 16:06 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1321806 писал(а):
Рассмотрим $u=f(xe^t)$ решение $u_t=xu_x$

Это понятно, однако в общем случае решения задачи Коши-Ковалевской ведут себя как функции Вида $\frac{c_1}{c_2-c_3z-t}$ и время существования этих решений оказывается принципиальным фактом в теории возмущений. Но только там в соответствующей задаче типа Коши-Ковалевской $t$ это не физическое время, а параметр усреднения системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение22.06.2018, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11304
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1321811 писал(а):
Это понятно, однако в общем случае решения задачи Коши-Ковалевской ведут себя как функции
Потому что задачи негиперболические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 00:41 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
Red_Herring в сообщении #1321678 писал(а):
обобщенная функция Хевисайда является, кроме всего прочего, также и обычной функцией
Обычная (в приведённом мной примере и вообще) подходит хуже: она в нуле не непрерывна и недифференцируема, а напряжение, понятно, должно быть (по крайней мере, гораздо лучше чтобы было) непрерывно и дифференцируемо. Можно просто нарисовать график обобщённой функции (которого, конечно же, не существует — в смысле нет такого понятия в математике):
Изображение
и обычной:
Изображение
Первый просто "на глаз" "физичнее".

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11304
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1321927 писал(а):
Обычная (в приведённом мной примере и вообще) подходит хуже:
А почему мы должны выбрать что-то одно: либо обычная, либо обобщенная? Хевисайд и то, и другое--и это важно в нелинейных уравнениях. Например, уравнение Бюргерса без вязкости $u_t+(u^2/2)_x=0$ допускает физически осмысленные разрывные решения, где $u^2$ имеет смысл потому, что $u$ обычная функция, но уравнение понимается уже в смысле обобщенных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 10:41 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
Red_Herring в сообщении #1321937 писал(а):
А почему мы должны выбрать что-то одно: либо обычная, либо обобщенная?
Ну, потому что это объекты совершенно разной математической природы. (Тут мы, видимо, переходим от вопроса от "физическом уровне строгости" к вопросу о "математическом уровне строгости" — то есть, допустимо ли называть регулярные обобщённые функции просто функциями?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11304
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1321963 писал(а):
Ну, потому что это объекты совершенно разной математической природы. (Тут мы, видимо, переходим от вопроса от "физическом уровне строгости" к вопросу о "математическом уровне строгости" — то есть, допустимо ли называть регулярные обобщённые функции просто функциями?)
С тем же успехом можно сказать что целые и рациональные числа нельзя складывать, потому что "это объекты совершенно разной математической природы".

Поскольку некоторым (локально суммируемым) обобщенным функциям ставится в соответствие обобщенная, причем каноническим образом, то такие функции (и в частности функции Хевисайда) являются также и обобщенными. И их можно математически строго рассматривать, причем одновременно, и как функции, и как распределения. См. пример с нелинейным уравнением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 11:05 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Функция $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^m)$ восстанавливается (естественно с точностью до множества меры нуль) по значениям обобщенной функции $\psi\mapsto\int_{\mathbb{R}^m}f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}^m)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1321971 писал(а):
Функция $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^m)$ восстанавливается (естественно с точностью до множества меры нуль) по значениям обобщенной функции $\psi\mapsto\int_{\mathbb{R}^m}f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}^m)$

Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"? (Обращаюсь к Red_Herring, поскольку pogulyat_vyshel тщательно игнорирует все мои вопросы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11304
Hogtown
Munin в сообщении #1321991 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"?
Это некорректный вопрос. Дело в том, что для обобщенных функций мы знаем, что такое $u=v$ на открытом множестве $D$: $u(\varphi)=v(\varphi)$ для всех пробных функций $\varphi$ с носителями, содержащимися в $D$. И все. Ни о каких других множествах речи не идет.

Вот, например обобщенная производная от $v(x)$, непрерывной но нигде не дифференцируемой функции, ни на каком открытом множестве с обычной не совпадает.

(Старый анекдот)

П. Доктор, меня все игнорируют!
Д. Следующий!

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, я неправильно понял, перепутал $f$ и $\psi.$ Да, тогда я ерунду написал.

А pogulyat_vyshel, соответственно, банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11304
Hogtown
Munin в сообщении #1322006 писал(а):
А pogulyat_vyshel, соответственно, банальность.

Это известная теорема, но не банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Red_Herring в сообщении #1322010 писал(а):
Это известная теорема


Я бы сказал, известная лемма...

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 17:02 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1321812 писал(а):
Потому что задачи негиперболические.

А вот я как-то привык думать, что это именно потому, что данная задача -- гиперболическая. Точнее говоря, она сводится к гиперболической см третий том M. Taylor PDE. И в этой книжке, теорема Коши-Ковалевской получается как следствие теоремы существования для гиперболической системы

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #1322010 писал(а):
Это известная теорема, но не банальность.

Ну разумеется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 106 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group