2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение22.06.2018, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1321803 писал(а):
теория возмущений для ОДУ может приводить к задаче Коши-Ковалевской для УРЧП
Поэтому я и спросил.
Цитата:
Да, мы с вами говорим в точности про одно и тоже
Как Вы сформулировали, нет. Рассмотрим $u=f(xe^t)$ решение $u_t=xu_x$. Здесь решение не разрушается никогда ($T=\infty$), но вот радиус сходимости по $x$ в точке $x=0$ убывает экспоненциально по $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение22.06.2018, 16:06 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1321806 писал(а):
Рассмотрим $u=f(xe^t)$ решение $u_t=xu_x$

Это понятно, однако в общем случае решения задачи Коши-Ковалевской ведут себя как функции Вида $\frac{c_1}{c_2-c_3z-t}$ и время существования этих решений оказывается принципиальным фактом в теории возмущений. Но только там в соответствующей задаче типа Коши-Ковалевской $t$ это не физическое время, а параметр усреднения системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение22.06.2018, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1321811 писал(а):
Это понятно, однако в общем случае решения задачи Коши-Ковалевской ведут себя как функции
Потому что задачи негиперболические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 00:41 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Red_Herring в сообщении #1321678 писал(а):
обобщенная функция Хевисайда является, кроме всего прочего, также и обычной функцией
Обычная (в приведённом мной примере и вообще) подходит хуже: она в нуле не непрерывна и недифференцируема, а напряжение, понятно, должно быть (по крайней мере, гораздо лучше чтобы было) непрерывно и дифференцируемо. Можно просто нарисовать график обобщённой функции (которого, конечно же, не существует — в смысле нет такого понятия в математике):
Изображение
и обычной:
Изображение
Первый просто "на глаз" "физичнее".

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1321927 писал(а):
Обычная (в приведённом мной примере и вообще) подходит хуже:
А почему мы должны выбрать что-то одно: либо обычная, либо обобщенная? Хевисайд и то, и другое--и это важно в нелинейных уравнениях. Например, уравнение Бюргерса без вязкости $u_t+(u^2/2)_x=0$ допускает физически осмысленные разрывные решения, где $u^2$ имеет смысл потому, что $u$ обычная функция, но уравнение понимается уже в смысле обобщенных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 10:41 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Red_Herring в сообщении #1321937 писал(а):
А почему мы должны выбрать что-то одно: либо обычная, либо обобщенная?
Ну, потому что это объекты совершенно разной математической природы. (Тут мы, видимо, переходим от вопроса от "физическом уровне строгости" к вопросу о "математическом уровне строгости" — то есть, допустимо ли называть регулярные обобщённые функции просто функциями?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1321963 писал(а):
Ну, потому что это объекты совершенно разной математической природы. (Тут мы, видимо, переходим от вопроса от "физическом уровне строгости" к вопросу о "математическом уровне строгости" — то есть, допустимо ли называть регулярные обобщённые функции просто функциями?)
С тем же успехом можно сказать что целые и рациональные числа нельзя складывать, потому что "это объекты совершенно разной математической природы".

Поскольку некоторым (локально суммируемым) обобщенным функциям ставится в соответствие обобщенная, причем каноническим образом, то такие функции (и в частности функции Хевисайда) являются также и обобщенными. И их можно математически строго рассматривать, причем одновременно, и как функции, и как распределения. См. пример с нелинейным уравнением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 11:05 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Функция $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^m)$ восстанавливается (естественно с точностью до множества меры нуль) по значениям обобщенной функции $\psi\mapsto\int_{\mathbb{R}^m}f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}^m)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1321971 писал(а):
Функция $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^m)$ восстанавливается (естественно с точностью до множества меры нуль) по значениям обобщенной функции $\psi\mapsto\int_{\mathbb{R}^m}f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}^m)$

Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"? (Обращаюсь к Red_Herring, поскольку pogulyat_vyshel тщательно игнорирует все мои вопросы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1321991 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"?
Это некорректный вопрос. Дело в том, что для обобщенных функций мы знаем, что такое $u=v$ на открытом множестве $D$: $u(\varphi)=v(\varphi)$ для всех пробных функций $\varphi$ с носителями, содержащимися в $D$. И все. Ни о каких других множествах речи не идет.

Вот, например обобщенная производная от $v(x)$, непрерывной но нигде не дифференцируемой функции, ни на каком открытом множестве с обычной не совпадает.

(Старый анекдот)

П. Доктор, меня все игнорируют!
Д. Следующий!

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, я неправильно понял, перепутал $f$ и $\psi.$ Да, тогда я ерунду написал.

А pogulyat_vyshel, соответственно, банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1322006 писал(а):
А pogulyat_vyshel, соответственно, банальность.

Это известная теорема, но не банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Red_Herring в сообщении #1322010 писал(а):
Это известная теорема


Я бы сказал, известная лемма...

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 17:02 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1321812 писал(а):
Потому что задачи негиперболические.

А вот я как-то привык думать, что это именно потому, что данная задача -- гиперболическая. Точнее говоря, она сводится к гиперболической см третий том M. Taylor PDE. И в этой книжке, теорема Коши-Ковалевской получается как следствие теоремы существования для гиперболической системы

 Профиль  
                  
 
 Re: Механика - математика?
Сообщение23.06.2018, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #1322010 писал(а):
Это известная теорема, но не банальность.

Ну разумеется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 106 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group