Механика - математика?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1321260 писал(а):

Проблема в том, что здесь кафедра математики едина, и в принципе каждый может быть поставлен на любой курс.

Это как-то сужает понятие "математик", накладывает на него дополнительные ограничения.

Red_Herring в сообщении #1321252 писал(а):

Ну хотя бы то, что по крайней мере некоторых математиков интересует физический смысл.

Отлично, некоторых - интересует. А некоторых - не интересует, но они продолжают называть себя механиками.

Вот было бы очень интересно, если бы ровно то, что написали вы, прозвучало бы от уважаемого pogulyat_vyshel, но я боюсь, не дождёмся.

(Кстати, а у меня физический вопрос: трение качения - штука "физически понятная" для колеса, а как она ведёт себя для шара на плоскости? Зависит ли она от наклона оси вращения шара, и если да, то как? Сочетается ли она вообще с условием абсолютной шероховатости, и при этом вращением вокруг наклонной оси?)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1321243 писал(а):

То, что для математика "более сильный результат", для физика может ни о чём не говорить. Например, если что-то распространили с $\mathbb{R},\mathbb{C}$ на другие поля, или с размерностей $1,2,3,4$ на $n.$ Физик скажет "ну и что я буду с этим делать?".

Ну, я имел в виду, сильнее теоремы о существовании, и понятно каким образом (предъявить сам объект или хотя бы что-то похожее на него).

Munin в сообщении #1321243 писал(а):

Я здесь уже писал в другой теме, и другие уже написали в этой теме, что у физика есть другая интуиция: основанная на знании экспериментальной реальности. Она может подсказывать правильный ответ, даже если решение некорректно.

Ну это ведь как-то неправильно. Мы хотим проверить теорию, «выводим» таким образом более верный результат, чем она дала бы правильными рассуждениями, и радуемся. Не удивлюсь, если такая ситуация уже случалась.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1321291 писал(а):

Кстати, а у меня физический вопрос: трение качения - штука "физически понятная" для колеса, а как она ведёт себя для шара на плоскости? Зависит ли она от наклона оси вращения шара, и если да, то как? Сочетается ли она вообще с условием абсолютной шероховатости, и при этом вращением вокруг наклонной оси?)

Не знаю, здесь нужен ввод со стороны физиков. Я лично думаю (могу, естественно, ошибаться), что если шар катится по абсолютно шершавой поверхности и (мгновенная) скорость центра $\boldsymbol{v}$, то (мгновенная) угловая скорость вращения $\boldsymbol{\omega}$, ортогональна $\boldsymbol{v}$ и раскладывается на две компоненты: одна пропорциональна $\boldsymbol{n}$ (единичная нормаль к поверхности в точке контакта), вторая ортогональна $\boldsymbol{n}$. При этом величина второй компоненты равна $r^{-1}|\boldsymbol{v}|$, а величина первой независима. И трение пропорционально замедляет каждую компоненту, но коэффициенты различны: второй собственно отвечает за трение качения, а первый--за трение верчения (шар стоит на месте, но вертится). Не знаю, как это называется.

Цитата:

Крутится, вертится шар голубой,
Крутится, вертится над головой,
Крутится, вертится, хочет упасть,
Как называется эта напасть?

-- 20.06.2018, 05:55 --

Munin в сообщении #1321291 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1321260 писал(а):

Проблема в том, что здесь кафедра математики едина, и в принципе каждый может быть поставлен на любой курс.

Это как-то сужает понятие "математик", накладывает на него дополнительные ограничения.

В СССР именно так обстояло дело с кафедрами высшей математики институтов, и не изменилось после переименования их в университеты. Более того, даже в настоящем университете ЛГУ/СПбГУ существует отдельная кафедра высшей математики и математической физики.

На самом деле эксцессов немного, но вот ОДУ это довольно обычная жертва. Их читают на 2м курсе и у нас их есть 2 курса: для математиков и для "всех прочих" (что, однако, не означает, что нельзя взять "не свои ОДУ"). Разумеется, выучить "прочие ОДУ" нетрудно, но тут нюанс: на что обратить внимание? Вот один мой очень хороший знакомый тратит непропорционально много часов на ур-ния и системы с постоянными коэффициентами и квазиполиномиальной правой частью ибо они приятны его алгебраической части его души, а вот к вариации произвольных постоянных он равнодушен.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1321296 писал(а):

Ну, я имел в виду, сильнее теоремы о существовании, и понятно каким образом (предъявить сам объект или хотя бы что-то похожее на него).

Скорее всего, вы имеете в виду результаты о явном построении / нахождении объекта (перечислении, решении дифура и т. д.) (пусть даже приближённо).
Да, такие результаты физиков интересуют сильнее всего.
Точнее будет сказать (и это шок для математиков), что никакие другие результаты физиков не интересуют вообще.

Так что здесь выпадает "первая стадия" вашего сценария: когда математики получают что-то, не являющееся этими конструктивными результатами, их деятельность физиков совершенно не интересует. Какое дело физику до существования решения уравнения, если это решение всё равно нельзя найти и "пощупать"?

Вы говорите, пусть физик не пренебрегает этими результатами, пусть разбирается в них. А зачем? Известно ведь, что наличие таких результатов совершенно не гарантирует, что в будущем возникнут результаты, нужные физику, да и когда они возникнут: через 30 лет, через 50, через 100 - нельзя предсказать. Пусть это будет внутриматематическим занятием.

arseniiv в сообщении #1321296 писал(а):

Мы хотим проверить теорию, «выводим» таким образом более верный результат, чем она дала бы правильными рассуждениями, и радуемся. Не удивлюсь, если такая ситуация уже случалась.

Ага, многократно.

arseniiv в сообщении #1321296 писал(а):

Ну это ведь как-то неправильно.

:-) "Неправильно" с точки зрения математиков? Допускаю. Ну так математики вообще формалисты.

А с точки зрения физиков? Вы поймите, для физиков математика вообще вторична. Это несовершенная попытка описать Единственно Истинную Реальность. Это всегда "натягивание совы на глобус". Если где-то реальность расходится с математикой - тем хуже для математики (с точки зрения физиков, повторяю).

Соответственно, любые наши любезные сердцу логические рассуждения - тоже шатки как верёвочный мостик, не дают никакой гарантии в реальном мире. Ну вот до какого-то предела они работают, сравниваем - и видим, что всё так. А дальше? Логика может сломаться на каждом шагу:

(Оффтоп)

- С точки зрения движущегося наблюдателя свет летит с той же скоростью, что и с точки зрения неподвижного.
- Частицы движутся, но траектории у них нет.
- Сверхсветовое взаимодействие есть, но передать им информацию нельзя.
- Бывает, что в пространстве есть энергия, но нет ни одной частицы.

Поэтому, для физика единственное "правильно" - это в соответствии с реальностью. Работает теорема или нет - они проверяют в эксперименте, а не с ручкой над бумажкой.

-- 20.06.2018 14:17:09 --

Red_Herring в сообщении #1321317 писал(а):

На самом деле эксцессов немного, но вот ОДУ это довольно обычная жертва. Их читают на 2м курсе и у нас их есть 2 курса: для математиков и для "всех прочих" (что, однако, не означает, что нельзя взять "не свои ОДУ"). Разумеется, выучить "прочие ОДУ" нетрудно, но тут нюанс: на что обратить внимание?

Я бы (если бы меня кто-нибудь спрашивал) сказал, что здесь стоит немного вынырнуть из своих пожеланий, и посмотреть на те ОДУ, которые нужны в той прикладной области, для которых студентов этот курс и читается. Наверняка для оптиков, небесных механиков, экономистов, и например, экологов (в смысле раздела биологии о сообществах) это будут разные типы ОДУ и разные подходы к их решению (кого-то интересуют дискретные моменты, кого-то - качественные, кого-то - многомерные, кого-то - "почти линейная" нелинейность, наверняка многих - численные методы, и т. п.).

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1321336 писал(а):

Я бы (если бы меня кто-нибудь спрашивал) сказал, что здесь стоит немного вынырнуть из своих пожеланий, и посмотреть на те ОДУ, которые нужны в той прикладной области, для которых студентов этот курс и читается. Наверняка для оптиков, небесных механиков, экономистов, и например, экологов (в смысле раздела биологии о сообществах) это будут разные типы ОДУ и разные подходы к их решению (кого-то интересуют дискретные моменты, кого-то - качественные, кого-то - многомерные, кого-то - "почти линейная" нелинейность, наверняка многих - численные методы, и т. п.).

Я немного соврал: есть еще ОДУ для инженеров, там действительно МатЛаб рулит. Но обычный курс (не для математиков и не для инженеров) имеет очень широкую аудиторию: в той же самой комнате будут и физики, и даже некоторые математики, статистики, и компьютерщики, химики, биологи, экономисты, и даже отдельные психологи, лингвисты и бог знает кто (все эти специальности входят в факультет "Артс энд Сайенс". Это реальность университетского образования Сев. Америки.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1321336 писал(а):

Да, такие результаты физиков интересуют сильнее всего.
Точнее будет сказать (и это шок для математиков), что никакие другие результаты физиков не интересуют вообще.

Ну вот прям шок. По-моему, это описывается математик типовой, резиновый. Вряд ли средний математик менее сообразителен в таких бытовых вещах, чем средний физик.

Munin в сообщении #1321336 писал(а):

Вы говорите, пусть физик не пренебрегает этими результатами, пусть разбирается в них. А зачем?

А низачем, я имел в виду больше разбираться в том, какие преобразования точно корректны, а какие лучше стараться не делать, и если они делаются, не забывать писать комментарии «при условии корректности того-то и того-то». Так ведь наверняка и делается?

Munin в сообщении #1321336 писал(а):

"Неправильно" с точки зрения математиков? Допускаю.

Да не. Я имел в виду ситуацию, когда физик получает физической интуицией «следствие» теории, не являющееся её следствием, но не имея математической интуиции или достаточного знакомства с тем, что можно с данным матаппаратом делать, а что нет, он не узнает об этом, пока где-то ещё не покажут, что это не так. До той поры он может зазря обрадоваться, получив «подтверждение» теории в эксперименте, подтвердив такое «следствие». Не имею понятия, насколько такая ситуация реальна, но по крайней мере из ваших слов нельзя судить, что её не может быть.

Munin в сообщении #1321336 писал(а):

Поэтому, для физика единственное "правильно" - это в соответствии с реальностью. Работает теорема или нет - они проверяют в эксперименте, а не с ручкой над бумажкой.

Я это никогда и не отрицал. Но физик же в идеале работает с некоторой конкретной теорией. Не важно, насколько полной и в каком вообще смысле полной.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1321358 писал(а):

А низачем, я имел в виду больше разбираться в том, какие преобразования точно корректны, а какие лучше стараться не делать, и если они делаются, не забывать писать комментарии «при условии корректности того-то и того-то».

А это не столь важно. Для физика, некорректным может оказаться вообще любое преобразование. Так что класс "точно корректных" для него ничем не выделен. Он все применяет на свой страх и риск. Иногда полезно знать исключения и особые случаи, но только когда они реализуются в природе.

arseniiv в сообщении #1321358 писал(а):

Я имел в виду ситуацию, когда физик получает физической интуицией «следствие» теории, не являющееся её следствием, но не имея математической интуиции или достаточного знакомства с тем, что можно с данным матаппаратом делать, а что нет, он не узнает об этом, пока где-то ещё не покажут, что это не так. До той поры он может зазря обрадоваться, получив «подтверждение» теории в эксперименте, подтвердив такое «следствие».

А почему зазря-то? Это вполне законная радость, и вполне законное подтверждение, по меркам физики, безо всяких кавычек. Такое реально происходит, хотя не очень часто.

А вопрос "почему это работает?" - отдельный, задаётся уже потом, и часто вообще не волнует физиков, а сваливается на математиков.

arseniiv в сообщении #1321358 писал(а):

Но физик же в идеале работает с некоторой конкретной теорией.

Кстати, и это не всегда так. Часто физик работает с несколькими теориями (да ещё и с несколькими их аналитическими и численными упрощениями). И не знает, какой из многих разных даваемых математикой ответов попадёт в точку.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1321384 писал(а):

А вопрос "почему это работает?" - отдельный, задаётся уже потом, и часто вообще не волнует физиков, а сваливается на математиков.

Так неужели ни разу не было такого, чтобы на такой вопрос математики через лет пять-сто пять ответили «а это работает намного реже, чем вы думали и использовали» (в частном случае вообще никогда)?

Ну вот например виковские повороты вроде объяснили. А вот от мнимых координат для описания СТО, контрастно, очень быстро избавились. Нет ли вещей, про которые математики говорят: «вы делаете это точно неправильно, мы уже доказали», — а физики закрывают уши?

Munin в сообщении #1321384 писал(а):

Кстати, и это не всегда так. Часто физик работает с несколькими теориями (да ещё и с несколькими их аналитическими и численными упрощениями). И не знает, какой из многих разных даваемых математикой ответов попадёт в точку.

Ну, это и в математике так, можно сказать. Но это можно в принципе описать как много отдельных работ отдельно с каждой теорией.

-- Ср июн 20, 2018 19:44:03 --

Всё-таки мне кажется, что некоторые ожидания о математиках и физиках, описанные тут, не очень соответствуют действительности. Вряд ли кто-то встречал даже малую часть всех современных себе математиков или физиков (и говорил с ними достаточно долго, чтобы разобрать их взгляды!), особенно если он сам «с другой стороны» (хотя и сторон-то на самом деле скорее всего нет).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1321387 писал(а):

Так неужели ни разу не было такого, чтобы на такой вопрос математики через лет пять-сто пять ответили «а это работает намного реже, чем вы думали и использовали» (в частном случае вообще никогда)?

Было, и физики часто отвечают: "а нам плевать, у нас работает".

В том числе, понятия "чаще" и "реже" у математиков и физиков сильно разные, доходя до противоположности. И даже понятие "работает". Физиков вполне устраивает, если что-то работает приблизительно.

arseniiv в сообщении #1321387 писал(а):

Ну, это и в математике так, можно сказать. Но это можно в принципе описать как много отдельных работ отдельно с каждой теорией.

В том-то и дело, что в физике - нет. Это именно одна работа. Потому что в центре работы физика - не теория, а явление.

arseniiv в сообщении #1321387 писал(а):

Вряд ли кто-то встречал даже малую часть всех современных себе математиков или физиков

Чтобы понять, что такое черепаха, не обязательно лично встречаться с каждой из них.

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1321317 писал(а):

Более того, даже в настоящем университете ЛГУ/СПбГУ существует отдельная кафедра высшей математики и математической физики.

Строго говоря, это все же особый случай: это кафедра физфака, специализирующаяся на матфизике и заодно обеспечивающая преподавание математики физикам (и только им).

[Anton_Peplov]

Munin

Я не оспариваю, что бывает, что "неправильная математика" работает. Но скажите вот что: если момент экспериментальной / наблюдательной проверки "работает - не работает" заведомо отсрочен на десятилетия, будем ли мы столь же смело применять "неправильную" математику, как и "правильную"? А если мы вообще пока не знаем, как наши выводы можно проверить, и надеемся, что путь проверки найдётся со временем? Ведь не всякая работа в области физики или других физических наук - это сразу построение предсказательной модели.

Мне вспомнилось, что (по устным рассказам достаточно уважаемых в этой области людей) на заре радиоастрономии неправильно считали наблюдательные интегральные кривые подсчёта $N = N(S)$, где $N$ - наблюдаемое число источников с плотностью потока (на данной частоте) больше $S$. К экспериментально полученным точкам применяли метод наименьших квадратов, не обращая внимания, что это зависимые точки.

Ошибка здесь уровня учебника теорвера для младших курсов, и астрономы достаточно быстро схватились за голову и исправились. А если бы речь шла о более сложной математике, где условия корректности не так очевидны?

Помнится, из наклона прямой (в логарифмическом масштабе) $N = N(S)$ пытались делать космологические выводы (к сожалению, не помню, какие). Если бы их и можно было со временем проверить, то через сложную цепочку связей с другими фактами и гипотезами. И то, в каком из них оказалось слабое звено, было бы не очевидно.

Верно, что правильная математика не всегда приводит к экспериментально подтверждённому выводу, а неправильная, аналогично, не всегда приводит к экспериментально опровергнутому. Но действительно ли правильная математика ничем не выделена по сравнению с неправильной, или это выделение просто более тонкое? Если верно последнее, то можно ли этот выделяющий принцип сформулировать?

Я ничего не утверждаю. Я пытаюсь понять.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1321429 писал(а):

Но скажите вот что: если момент экспериментальной / наблюдательной проверки "работает - не работает" заведомо отсрочен на десятилетия, будем ли мы столь же смело применять "неправильную" математику, как и "правильную"?

Это как раз вопрос спорный :-) Да, в такой ситуации "правильность" математики - ориентир. Один из немногих. Но всё равно для физиков - не единственный (иначе они просто отдают эту область в руки математикам, и идут  курить   пить чай  заниматься другими задачами). Довольно часто об ответе можно сказать что-то косвенное: по аналогии с другими физическими явлениями; применяя тот же математический аппарат (или приём) на других задачах; в другом масштабе, при других параметрах; и т. д.

Anton_Peplov в сообщении #1321429 писал(а):

Ведь не всякая работа в области физики или других физических наук - это сразу построение предсказательной модели.

Но всякая старается ею быть. (Если речь о теоретических работах.)

Anton_Peplov в сообщении #1321429 писал(а):

Верно, что правильная математика не всегда приводит к экспериментально подтверждённому выводу, а неправильная, аналогично, не всегда приводит к экспериментально опровергнутому.

Веселее то, что неправильная иногда приводит к экспериментально подтверждённому.

Anton_Peplov в сообщении #1321429 писал(а):

Но действительно ли правильная математика ничем не выделена по сравнению с неправильной, или это выделение просто более тонкое?

Ну разумеется, выделена!!! В подавляющем большинстве случаев правильная математика работает, а неправильная - нет. (Хотя есть и контрпримеры, их ну настолько мало по сравнению с общей массой, что приходится вспоминать одни и те же.) Просто это различие не абсолютное, и в каком-то смысле статистическое.

Я говорю скорее о другом: тонкости различий между правильной и неправильной математикой - столь важные для математиков - могут проходить в области, не интересующей физиков. За пределами той сферы, где они эту математику применяют.

Кроме того, физику нужно иметь смелость иногда применять неправильную математику, даже когда математики ему сказали, что она неправильная.

[fred1996]

Red_Herring
В подтверждение ваших слов скажу, что мой приятель читает достаточно стандартный курс лекций по линейной алгебре.
Читает математикам. А еще практически параллельно читает курс по матрицам 2x2 для всех желающих.

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1321429 писал(а):

Но действительно ли правильная математика ничем не выделена по сравнению с неправильной, или это выделение просто более тонкое? Если верно последнее, то можно ли этот выделяющий принцип сформулировать?

Хотя спросили не меня, встряну, поскольку наши с Munin"ом точки зрения сильно перекрываются. Если для задачи есть разработанный аппарат, то позор джунглям если вместо этого используется какая-то ахинея. Только нерешенных задач в таких областях почти не осталось, либо они специальные и сложные, но не нужные, а хочется сделать что-то простое и нужное. Ну некогда ждать, пока решат задачу о дифракции на диэлектрическом клине, надо резонаторы считать, а в них этих клиньев ...

А вопрос о том какая математика нужна, а какая не нужна настолько перекликается с вопросом о том почему математика вообще работает, что это я остерегусь обсуждать. Тут товарищи потяжелее меня во много раз отметились.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1321432 писал(а):

Я говорю скорее о другом: тонкости различий между правильной и неправильной математикой - столь важные для математиков - могут проходить в области, не интересующей физиков. За пределами той сферы, где они эту математику применяют.

Имели ли Вы в виду то, что я скажу в следующем абзаце, или что-то ещё?

Физикам глубоко чихать на книжку "Контрпримеры в анализе", столь замечательную математически. Потому что физик в некоторых пределах свободен в выборе математической модели, описывающей его набор данных. В качестве тривиального примера - у него есть конечный набор точек и некоторые сведения об общем ходе графика. Ясно, что функций, удовлетворяющих этим условиям, будет бесконечно много. И, разумеется, физик будет иметь в виду функцию, выдерживающую все нужные математические кульбиты: аналитическую и что там ещё. Посему все эти кривые Пеано, расходящиеся ряды Фурье и прочие ужасы его не касаются.

Хотя вот неспрямляемые кривые как-то коснулись людей, пытавшихся измерить длину береговой линии:)