Механика - математика?

[warlock66613]

Стоит заметить, что для таких объектов, как дифференциал, обобщённая функция и др., "математически корректное" понимание не вытесняет "физически-интуитивное", а дополняет. Вряд ли найдётся физик, который не знает, что дифференциал — это вовсе не бесконечно малая величина, а обобщённая функция — не функция. Но, тем не менее, дифференциал используется как нечто, подходящее для математического выражения "физически бесконечно малой величины", а обобщённая функция, встретившаяся в физическом расчёте, на самом деле вовсе не обязательно должна в конце-концов быть скалярно умножена на обычную, то есть тот "физически-интутивный" объект, который она призвана выражать, функционалом не является (например, зависимость электрического напряжения (то есть, измеримой величины!) от времени может выражаться обобщённой функцией Хевисайда).

[Munin]

Metford
Приведите, пожалуйста!

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1321659 писал(а):

на самом деле вовсе не обязательно должна в конце-концов быть скалярно умножена на обычную, то есть тот "физически-интутивный" объект, который она призвана выражать, функционалом не является (например, зависимость электрического напряжения (то есть, измеримой величины!) от времени может выражаться обобщённой функцией Хевисайда).

Прежде всего, обобщенная функция Хевисайда является, кроме всего прочего, также и обычной функцией.

И обобщенная функция, хотя и не обязана быть в конце концов (т.е. до конца статьи) применена к пробной функции, но может быть применена к ней в любой момент. Более того, часто в начале и конце у нас есть голые обобщенные функции, а в середине рассуждений мы применяем их к пробным. Это вовсе не отменяет того факта, что обобщенная функция есть "функционал", а лучше "линейная форма над пробными (удовлетворяющая определенным условиям)", потому что "функционал" обычно подразумевает некую топологию, а тут топология такая, что ни один здравомыслящий физик (и 9/10 здравомыслящих математиков) в детали входить не пожелает.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1321678 писал(а):

функционал" обычно подразумевает некую топологию, а тут топология такая, что ни один здравомыслящий физик (и 9/10 здравомыслящих математиков) в детали входить не пожелает.

Всетаки пространство $\mathcal{D}$ в уравнениях математической физики встречается не так часто, пространство пробных функций это как правило пространства Соболева, реже какие-то другие, но всеже банаховы пространства.

-- 22.06.2018, 13:52 --

Кстати одним из источников понятия "обобщенное решение" являются вариационные принципы
Так, что все это очень физичные вещи , в этой связи и ударные волны можно вспомнить

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321729 писал(а):

Всетаки пространство $\mathscr{D}$ в уравнениях математической физики встречается не так часто, пространство пробных функций это как правило пространства Соболева, реже какие-то другие, но все же банаховы пространства.

Если говорить о слабых решениях--согласен. Но в базисном определении обобщенной функции все-таки $\mathscr{D}$, $\mathscr{E}$ и $\mathscr{S}$.

Кстати, кто-нибудь в какой статье Дирак ввел "дельту"?

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1321642 писал(а):

Ммм. Я, наверное, тут упираюсь в свою безграмотность. Просветите меня: насколько часто в физике возникают неаналитические функции? Я как-то привык, что всё подряд на каждом шагу разлагают в ряд вождя и учителя Тейлора.

Не знаю, но аналитичность и правда ведь очень сильное условие. Подумать только, по любой окрестности любой точки восстановить вообще всё. (Понятное дело, у физиков точность конечная, но философски это всё равно выглядит сильновато.)

Anton_Peplov в сообщении #1321642 писал(а):

Ох, забираюсь в хвилософию, но скажу: есть такое недоказуемое убеждение,типа вера, что если у физика получилась экспериментально работающая модель, то "оформить" её математически заведомо можно. Другое дело, непонятно, сколько усилий на это потребуется.

Ну так экспериментально работающая — это допущение сильное, вот и результат выходит сильно правдоподобным.

Кстати о непонимании математиками физиков (для этого, наверно, стоит создать отдельную тему, если кто-то решит ответить): каким пространствам принадлежат квантовые поля (произвольное тензорное, а потом было бы хорошо и произвольное спинорное)?

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321729 писал(а):

Так, что все это очень физичные вещи

С этим никто из физиков в здравом уме и не будет спорить. Более того, не будь запроса на обобщённые функции и обобщённые решения со стороны физиков, физики бы о них и знать никогда ничего не знали, и это была бы безраздельная сфера математиков.

[Red_Herring]

arseniiv в сообщении #1321737 писал(а):

Не знаю, но аналитичность и правда ведь очень сильное условие.

Много лет назад на семинаре С.Л.Соболева в Новосибирске один сотрудник ВЦ рассказывал свою докторскую по обратным задачам. С.Л., который в молодости работал в Сейсмологическом Институте, сказал «В земле аналитичности нет!»

Частенько, когда я слышу доклады по УЧП, в которых налагается условие аналитичности, я вспоминаю (вслух) эту историю...

[Munin]

arseniiv в сообщении #1321737 писал(а):

Кстати о непонимании математиками физиков (для этого, наверно, стоит создать отдельную тему, если кто-то решит ответить): каким пространствам принадлежат квантовые поля (произвольное тензорное, а потом было бы хорошо и произвольное спинорное)?

Тензорное или спинорное - не суть важно.

Важно в данном случае различение на уровне квантовой механики трёх, по меньшей мере, разных сущностей:
- состояние квантовой системы;
- оператор физической величины;
- значение этой физической величины для данного состояния.
(не пускаясь в тонкости различий представлений Шрёдингера, Гейзенберга и Фейнмана...)

Большинство формул КТП имеют дело с операторами. Поэтому когда вы видите что-то типа $\psi(x^\mu)$ - это операторное поле.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1321744 писал(а):

Институте, сказал «В земле аналитичности нет!»

Не очень мне понятна эта фраза. В земле вообще нет математических абстракций они все у нас в голове. А так каждая задача должна решаться в своем пространстве, которое для нее адекватно. Задача Коши-Ковалевской например в пространстве аналитических функций. Это уже скорее реплика не на вашу фразу а на какие-то другие выше по ветке

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321749 писал(а):

Не очень мне понятна эта фраза. В земле вообще нет математических абстракций они все у нас в голове. А так каждая задача должна решаться в своем пространстве, которое для нее адекватно. Задача Коши-Ковалевской например в пространстве аналитических функций. Это уже скорее реплика не на вашу фразу а на какие-то другие выше по ветке

Фраза означала, что ограничение слишком сильное. Что касается TKK, то не отрицая ее математической полезности, хочу заметить, что она игнорирует тип уравнения (исключая, что задача К. нехарактеристическая) и потому даже время существования пропорционально радиусу сходимости. В виде оправдания можно сказать, что для (нестрого) гиперболических уравнений от этой зависимости можно избавиться (работы по гипефункциям), но там уже есть теоремы существования в соответствующих классах Жевре (т.ч. гиперфункции IMHO с точки зрения УЧП неинтересны).

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321749 писал(а):

Не очень мне понятна эта фраза.

Вот именно. Физику понятна :-)

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1321764 писал(а):

время существования пропорционально радиусу сходимости.

Есть задачи теории врзмущений (причем оду) в которых теоремы типа Коши-Ковалевской используются. И то что грубо говоря область сходимости по пространстенным переменным уменьшается с ростом времени как раз оказывается принципиальным фактом, правильным с точки зрения физических приложений

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321796 писал(а):

И то что грубо говоря область сходимости по пространстенным переменным уменьшается с ростом времени как раз оказывается принципиальным фактом, правильным с точки зрения физических приложений

Исходная задача для ОДУ, а ТКК тоже для ОДУ?

Я все таки имею в виду другое: если рассмотреть ТКК для УЧП, то время существования пропорционально радиусу сходимости начальных данных.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1321799 писал(а):

Исходная задача для ОДУ, а ТКК тоже для ОДУ?

теория возмущений для ОДУ может приводить к задаче типа Коши-Ковалевской для УРЧП

Red_Herring в сообщении #1321799 писал(а):

Я все таки имею в виду другое: если рассмотреть ТКК для УЧП, то время существования пропорционально радиусу сходимости начальных данных.

Да, мы с вами говорим в точности про одно и тоже