Сходимость в нормированном пространстве

[AnthonyP]

Пространство $l^\infty=\left\lbrace x: x=(x_k)_{k=1}^\infty , \left\lVert x \right\rVert = \sup\limits_{k} \left\lvert x_k \right\rvert < \infty \right\rbrace$
где $x_k^n=\min (\frac{k}{n},1 ), (k=1,2...)$ и метрика $\rho(x,y)=\left\lVert x-y \right\rVert$
Сходимость $\lim\limits_{n\to\infty}^{} \rho(y,x_n)=0$
Где $y=(1,1,...)$ поточечный предел
Тогда $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\rho(y,x_n)= \lim\limits_{n\to\infty}^{} \left\lVert x_n-y \right\rVert=\sup\limits_{n}\left\lvert x_n \right\rvert - \sup\limits_{} \left\lvert y \right\rvert=1-1=0$ и сходимость есть.

Вопрос о проверке $\lim\limits_{n\to\infty}^{} \rho(y,x_n)=0$ Правильно ли она выполнена? И если нет, то в чем ошибка?

[Mikhail_K]

Разумеется, неправильно.

Вначале обращу внимание, что индекс $n$ у Вас в условии задания пишется сверху. Почему Вы его спускаете вниз, что создаёт путаницу с индексом $k$?

Вот у Вас есть формула для нормы: $\|x\|=\sup\limits_k|x_k|$.
Подставьте теперь $x^n-y$ вместо $x$ в эту формулу, чтобы найти $\|x^n-y\|$. А там потом и до $\lim\limits_{n\to\infty}\|x^n-y\|$ доберёмся.

И ещё вопрос: как Вы поточечный (скорее, лучше говорить "покоординатный") предел находили? Напишите подробно.

Посмотрите ещё вот это моё объяснение. Оно совсем по другому поводу, но может поможет что-то прояснить, если что-то не понимаете в происходящем.

-- 02.06.2018, 18:03 --

Совет из этого объяснения - обращать внимание на осмысленность записываемых формул - к Вам также относится.

Вот, например, Вы в одном месте написали $\sup\limits_n|x_n|$. Судя по этой записи, $x_n$ - это числа (от которых можно взять модуль, а затем супремум). Но в другом месте Вы пишете $\rho(y,x_n)$, а это намекает, что $x_n$ - элементы того же метрического пространства, что и $y$, а именно пространства $l^\infty$, то есть вовсе никакие не числа, а числовые последовательности. То есть или с одной из этих записей, или с другой, или с обоими что-то не то.

Не разобравшись хорошо в смысле всех этих $x^n$, $x^n_k$, $y$, $y_k$ - какие именно объекты обозначены этими буковками - к решению задачи приступать нельзя. Даже если как-то получится правильный ответ, и даже если правильное решение - решённой такую задачу нельзя будет назвать.

[AnthonyP]

Mikhail_K
Последовательность в данном задании строится также как и тут http://dxdy.ru/post1315168.html#p1315168
$x_1=(1,1,1...)$
$x_2=(\frac{1}{2},1,1...)$
...
$x_n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}...1,1,1...)$

Тогда $\|x^n\|=\sup\limits_k|x^n_k|=1$ для любого $n$

Mikhail_K в сообщении #1316882 писал(а):

И ещё вопрос: как Вы поточечный (скорее, лучше говорить "покоординатный") предел находили? Напишите подробно.

Как я понял, то нужно для каждого элемента множества ставить в соответствие предел последовательности значений в этой же точке.
Те для каждого фиксированного $k$ находим предел при $n\to\infty$
(И он равен не $(1,1...)$, а $(0,0...)$)

Mikhail_K в сообщении #1316882 писал(а):

Подставьте теперь $x^n-y$ вместо $x$ в эту формулу, чтобы найти $\|x^n-y\|$

Так?
$\lim\limits_{n\to\infty}\|x^n-y\|=\lim\limits_{n\to\infty} \left\lbrace \sup\limits_{k}\left\lvert x_k^n \right\rvert - \sup\limits_{k}\left\lvert y_k \right\rvert \right\rbrace $

[thething]

AnthonyP
Если ориентироваться на это

AnthonyP в сообщении #1316878 писал(а):

где $x_k^n=\min (\frac{k}{n},1 ), (k=1,2...)$

,
то Вы неправильно записали свою последовательность, хотя покоординатный предел нашли правильно.

-- 02.06.2018, 20:55 --

Напишите, например, чему равно $x^3$.

[Otta]

thething в сообщении #1316901 писал(а):

то Вы неправильно записали свою последовательность

Мудрено ее правильно записать, когда обозначения скачут, и $n$ - то номер последовательности, то номер элемента последовательности.

[Mikhail_K]

AnthonyP в сообщении #1316899 писал(а):

Последовательность в данном задании
$x_1=(1,1,1...)$
$x_2=(\frac{1}{2},1,1...)$
...
$x_n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}...1,1,1...)$

Ещё раз: индекс $n$ Вы должны писать сверху. То есть не $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, а $x^1$, $x^2$, $\ldots$, $x^n$.
Потому что $x_1$ - это должно быть число, первая координата (или первый член) какой-то числовой последовательности $x$,
а вот $x^1$ уже может быть сама числовой последовательностью. У которой первая координата $x^1_1$, вторая $x^1_2$, и так далее.

thething в сообщении #1316901 писал(а):

хотя покоординатный предел нашли правильно

Разве?
$k$-я компонента покоординатного предела - это $\lim\limits_{n\to\infty}x^n_k$ при каждом фиксированном $k$.
----------
Хотя, с другой стороны, при способе записи ТС и не поймёшь, что у него обозначается нижним индексом, что верхним. Я ориентировался на первую строку в его условии, где даётся определение пространству $l^\infty$ и норме в нём. Судя по этой записи, нижний индекс обозначает номер координаты (т.е. номер элемента числовой последовательности).

thething в сообщении #1316901 писал(а):

Напишите, например, чему равно $x^3$.

Присоединяюсь к просьбе.

[AnthonyP]

thething
$x^3=(x_1^3,x_2^3,x_3^3...)$
$x_1^3=\min(\frac{1}{3},1)=\frac{1}{3}$
также и для $2,3...$
$x^3=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1,1,1...)$

Да, неправильно написал
$x^n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}...1,1,1...)$ в предыдущем посте.
Должно быть так $x^n=(\frac{1}{n},\frac{2}{n}...1,1,1...)$

[thething]

Mikhail_K в сообщении #1316904 писал(а):

Разве?
$k$-я компонента покоординатного предела - это $\lim\limits_{n\to\infty}x^n_k$ при каждом фиксированном $k$.

Ну, это я про его вторую попытку сказал

AnthonyP в сообщении #1316899 писал(а):

(И он равен не $(1,1...)$, а $(0,0...)$)

[Mikhail_K]

AnthonyP
Да, теперь верно.
thething
Прошу прощения, вторую попытку я не заметил.

[AnthonyP]

thething
Mikhail_K
Спасибо за помощь и извиняюсь за обозначения, не только себя, но всех остальных запутываю.

[Mikhail_K]

AnthonyP в сообщении #1316899 писал(а):

Так?
$\lim\limits_{n\to\infty}\|x^n-y\|=\lim\limits_{n\to\infty} \left\lbrace \sup\limits_{k}\left\lvert x_k^n \right\rvert - \sup\limits_{k}\left\lvert y_k \right\rvert \right\rbrace $

Нет, не так.
Смотрите:
$\|x^n\|=\sup\limits_k|x^n_k|$;
$\|y\|=\sup\limits_k|y_k|$;
поэтому то, что у Вас в фигурных скобках - это $\|x^n\|-\|y\|$.
А Вам нужно $\|x^n-y\|$.

[AnthonyP]

Mikhail_K
Ой, действительно.
$\lim\limits_{n\to\infty}\|x^n-y\|=\lim\limits_{n\to\infty} \sup\limits_{k}\left\lvert x^n_k - y_k \right\rvert $
И это все равно 1 и сходимости нет

[Mikhail_K]

AnthonyP в сообщении #1316915 писал(а):

И это все равно 1 и сходимости нет

Да, всё так.