Сходится ли последовательность

[AnthonyP]

Последовательность $x^n=(0,0...,0,1,0...)$(до единицы n нулей) в пространстве $l_2$
Метрика в пространстве $\rho(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(y_k - x_k)^2}$
Определение сходимости $\lim\limits_{n\to\infty}^{} \rho(x,x_n)=0$

Правильно ли я понимаю, что $x$ это поточечный предел? Он равен $x=(0,0...0)$ ?

$\rho(x,x_n)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n - x)^2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n )^2}>0$ и это значит, что сходимости нет?

[thething]

AnthonyP в сообщении #1315142 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $x$ это поточечный предел? Он равен $x=(0,0...0)$ ?

Нулей должно быть бесконечно много

AnthonyP в сообщении #1315142 писал(а):

$\rho(x,x_n)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n - x)^2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n )^2}>0$ и это значит, что сходимости нет?

Пересчитайте сперва отдельно, чему равно $x_n-x$. Написать, что сумма больше нуля недостаточно. Надо конкретное значение написать и предел найти.

[AnthonyP]

thething
Намек понял, но почему $x_n-x$ не равно $x_n$ не понял. Могу предположить что $x_n-x=0$ и это как-то связанно с тем, что шары не пересекаются

[thething]

AnthonyP в сообщении #1315147 писал(а):

Намек понял, но почему $x_n-x$ не равно $x_n$ не понял.

А и не говорил, что не равно) Призыв был -- посчитать, т.к. посчитано не было. Отдельно -- это просто для удобства. Хотя в данном примере, конечно же всё очевидно.

-- 26.05.2018, 20:03 --

Заметил, что написал "пересчитайте", вместо "посчитайте", ну бывает, чо..

[AnthonyP]

thething
Тогда $\lim\limits_{n\to\infty}^{} \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n^2}=(0,1,1...)$ и не совсем понятно, чему равно значение этой суммы.

[thething]

AnthonyP
Значит, всё-таки пересчитайте отдельно

-- 26.05.2018, 20:20 --

Обратите внимание, что сумма должна получиться одним числом (или одной функцией, зависящей от $n$). Никаких там векторов.

-- 26.05.2018, 20:28 --

Возможно, Ваше непонимание возникло из-за того, что в качестве индекса суммирования Вы использовали ту же букву, что и индекс общего члена последовательности. Обозначьте индекс суммирования через $k$ -- и всё будет хорошо

[AnthonyP]

thething
Если через функцию, то
$x_1=(0,1,0)$
$x_2=(0,1,1,0,0)$
$x_3=(0,1,1,1,0,0,0)$

$x_n=(0,1,1...1,0,0...0)$ где после первого нуля одинаковое количество $0$ и $1$ равное $n$

[thething]

Там у каждого икса должно быть бесконечно много нулей. Вот Вы написали определение метрики в пространстве $l_2$. Что там означают $x_k$ и $y_k$?

-- 26.05.2018, 20:33 --

AnthonyP в сообщении #1315152 писал(а):

Если через функцию, то
$x_1=(0,1,0)$
$x_2=(0,1,1,0,0)$
$x_3=(0,1,1,1,0,0,0)$

$x_n=(0,1,1...1,0,0...0)$

Это вообще что? У Вас какое задание-то? Что такое $x^n$?

[AnthonyP]

thething
Вернусь на шаг назад

thething в сообщении #1315151 писал(а):

Возможно, Ваше непонимание возникло из-за того, что в качестве индекса суммирования Вы использовали ту же букву, что и индекс общего члена последовательности. Обозначьте индекс суммирования через $k$ -- и всё будет хорошо

$\rho(x,x_n)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n - x)^2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n )^2}$
Суммирование идет по индексу $k$, то есть начальная последовательность $x_n$ не меняется(количество нулей до единицы $= n$ не меняется). Меняется только число на месте $n+1$. Это так?

[thething]

Вернитесь в самое начало и ответьте на вопрос

thething в сообщении #1315153 писал(а):

Вот Вы написали определение метрики в пространстве $l_2$. Что там означают $x_k$ и $y_k$?

Потом исправьте свою формулу

AnthonyP в сообщении #1315154 писал(а):

$\rho(x,x_n)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n - x)^2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n )^2}$

так, чтобы в ней хоть как-то фигурировал индекс $k$ под знаком суммы. Потом посчитайте отдельно $x^n-x$ (заметьте, удобно, что индекс изначально был написан сверху), потом сумму, корень и предел..

(Оффтоп)

Данная задача не заслуживает столь долгого объяснения

[AnthonyP]

thething в сообщении #1315155 писал(а):

Вернитесь в самое начало и ответьте на вопрос

две последовательности

thething в сообщении #1315155 писал(а):

Потом исправьте свою формулу

$\rho(x,x_n)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_k^n - x)^2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_k^n )^2}$ Будет та же последовательность $x^n$, только элемент на месте $n+1$ будет стремиться к бесконечности

Если искать предел при устремлении $n\to\infty$, то он будет равен нулю и сходимость есть. Так?

[Mikhail_K]

AnthonyP
Нет, $x_k$ и $y_k$ - это не последовательности, это члены этих последовательностей.

Смотрите. Есть пространство $l_2$. Элементами этого пространства являются числовые последовательности. Вот, например, если мы пишем что $x\in l_2$, - это значит, что $x$ - это числовая последовательность. Её члены мы нумеруем нижними индексами: $x=(x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots)$. Таким образом, $x_1$ есть первый член последовательности $x$, $x_2$ - второй член, и так далее. $x_k$ есть $k$-й член последовательности $x$. Все эти $x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots$ - обычные числа. Точно так же, если мы пишем $y\in l_2$, то $y$ - это числовая последовательность $y=(y_1,y_2,\ldots,y_k,\ldots)$.

Далее, у Вас рассматривается последовательность $\{x^n\}_{n=1}^\infty$ в пространстве $l_2$. Будьте внимательны: это уже не числовая последовательность! Её элементы $x^1$, $x^2$ и так далее - это не числа, а элементы пространства $l_2$. То есть, каждый из них, в свою очередь, представляет собой числовую последовательность:
$x^1=(x^1_1,x^1_2,\ldots,x^1_k,\ldots)$;
$x^2=(x^2_1,x^2_2,\ldots,x^2_k,\ldots)$;
$\ldots$
$x^n=(x^n_1,x^n_2,\ldots,x^n_k,\ldots)$;
$\ldots$

----------

Опираясь на это, пожалуйста проверьте все свои формулы на предмет их осмысленности.

Например, если в формуле где-то стоит $x^n_k-x$, где $x^n_k$ - число, а $x=(x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots)$ - последовательность, - то такая формула бессмысленна, потому что из числа нельзя вычесть (или прибавить) последовательность. Складывать или вычитать между собой можно только или два числа, или две последовательности (при этом все их члены складываются или вычитаются).

Например, если в формуле есть знак суммы $\sum\limits_{k=1}^\infty$, а под суммой нет ничего зависящего от $k$ - то это тоже что-то весьма странное (догадайтесь почему! - вспомнив смысл этого самого знака суммы).

[ewert]

AnthonyP в сообщении #1315142 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $x$ это поточечный предел? Он равен $x=(0,0...0)$ ?

$\rho(x,x_n)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n - x)^2}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x_n )^2}>0$ и это значит, что сходимости нет?

Идейно -- правильно, и ровно в эту сторону и надо думать. Для себя.

Но вот для дяди, т.е. для формализации идеи -- это невыгодно.

Лучше тупо докажите, что эта последовательность не фундаментальна.