Вопрос о классификации групп (и не только групп)

[Munin]

nya в сообщении #1316372 писал(а):

в контексте групп вообще непонятно что эта строка значить должна

Сразу будоражит придумать, что же должна :-)

lek
Спасибо, углублюсь.

[nya]

Munin в сообщении #1316380 писал(а):

Сразу будоражит придумать, что же должна

Да, интересно есть ли какое-то описание в таких вот терминах у $H^3_{nonab}(G,H)$, но вряд ли, тут как с гомологиями/когомологиями хохшильда скорее всего - низкие размерности $\leq 3$ имеют какую-то ясную интерпретацию - а дальше нет.

[xjar1]

Кстати, получается любая группа (даже бесконечная) изоморфна некоторой подгруппе в $S_\infty = \mathrm{Bij}(\mathbb{N},\mathbb{N})$?

[Munin]

nya в сообщении #1316372 писал(а):

По $k$- коциклу обычно строится что-то типа $0 \to A \to K_1 \to ... \to K_k \to B \to 0$

Мне тут спросонок пришла идея, что можно обобщить понятие точной последовательности до такой, в которой $\varphi^{k+1}=0,\quad\varphi^k\ne 0.$

-- 31.05.2018 10:59:28 --

xjar1 в сообщении #1316438 писал(а):

Кстати, получается любая группа (даже бесконечная) изоморфна некоторой подгруппе в $S_\infty = \mathrm{Bij}(\mathbb{N},\mathbb{N})$?

Нет, вряд ли. Здесь вылезают вопросы мощности множеств. Ваша $S_\infty$ имеет порядок всего лишь $|S_\infty|=|\mathbb{N}|^{|\mathbb{N}|}=2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}.$ А легко можно представить себе группы порядка $2^\mathfrak{c},2^{2^\mathfrak{c}},$ и так далее, например, $\operatorname{Bij}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\operatorname{Bij}\bigl(\operatorname{Bij}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\operatorname{Bij}(\mathbb{R},\mathbb{R})\bigr),\ldots$ Эта башня бесконечна.

[nya]

Munin в сообщении #1316446 писал(а):

Мне тут спросонок пришла идея, что можно обобщить понятие точной последовательности до такой, в которой $\varphi^{k+1}=0,\quad\varphi^k\ne 0.$

Я вам немного ерунду написал, что такое точная последовательность понятно - меня немного смутило то, что образ это не всегда нормальная подгруппа, но для понятия точной последовательности этого и не надо. Вы правы, что нужно обобщить так, чтобы $Im(\phi_i) = Ker(\phi_{i+1})$. Впрочем, я не уверен что это понятие адекватно как k-расширение воспринимать и что будет какая-то биекция между $H^k(G,H)$ и множеством $k$-расширений.

-- 31.05.2018, 15:13 --

xjar1 в сообщении #1316438 писал(а):

Кстати, получается любая группа (даже бесконечная) изоморфна некоторой подгруппе в $S_\infty = \mathrm{Bij}(\mathbb{N},\mathbb{N})$?

Любая группа реализуется как группа перестановок множества элементы которого - сама эта группа (просто умножением справа). В самом общем случае это то, что называется "леммой Йонеды" и звучит она так: любая категория точно и полно вкладывается в категорию своих Set-предпучков. Группа - это категория с одним объектом у которой все стрелки изоморфизмы, а вложение Йонеды в этом случае посылает группу как раз в группу перестановок на самой себе с правым действием.

[Munin]

nya в сообщении #1316489 писал(а):

Вы правы, что нужно обобщить так, чтобы $Im(\phi_i) = Ker(\phi_{i+1})$.

Это как-то не то, что я написал. У меня $\varphi^k$ - композиция $k$ стрелочек в "недоточной" последовательности.

[nya]

Munin в сообщении #1316503 писал(а):

Это как-то не то, что я написал. У меня $\varphi^k$ - композиция $k$ стрелочек в "недоточной" последовательности.

А, да не, не думаю что осмысленно очень: ну как минимум последнюю стрелочку всегда можно нулем сделать а оставшиеся - это просто какая то цепочка морфизмов такая, что композиция всех не равна 0, таких цепочек же много очень, с чего бы их расширениями называть. Ещё ваше определение нее очень со случаем k=1 согласуется

[Munin]

Хм. Как бы это сказать.

Точную последовательность я воспринимаю так: промежуточный член строится на каких-то "составляющих" $c_1,c_2,$ одна из которых совпадает с "составляющей" предыдущего члена, а другая - последующего.

А хотел я выразить вот что: член строится на составляющих $c_1,\ldots,c_k,$ и в соседних членах этот набор "сдвигается" вперёд и назад на одну позицию.

[xjar1]

Кстати, получается, что все группы не открыты и никогда не будут полностью найдены?
Т.е. нам не известно какая часть из всех групп открыта? И всегда будет возможность найти какую-либо новую группу?

[Munin]

Однако очень многие группы конструируются явно, и встречаются постоянно.

[Anton_Peplov]

xjar1 в сообщении #1317479 писал(а):

Кстати, получается, что все группы не открыты и никогда не будут полностью найдены?

Разумеется. Открыты не все группы, и никогда не будут открыты все.

Определение группы состоит из трёх простых аксиом. Это очень небольшие ограничения. А чем меньше ограничений, тем больше разнообразие объектов, которые им удовлетворяют.

В математике это общая ситуация. Открыты не все топологические пространства, и никогда не будут открыты все. Открыты не все сигма-алгебры, и никогда не будут открыты все. Открыты не все непрерывные функции $\mathbb {R \to R}$, и никогда не будут открыты все. И так далее, и тому подобное.

Смысл выделения некоторого класса объектов (группы, сигма-алгебры, непрерывные функции) не в том, чтобы перебрать и изучить их все их разновидности. А в том, чтобы, убедившись, что структура является, скажем, группой $\rm{SO}(3)$, даром получить для неё все свойства, которые мы знаем у этой группы. А, как уже сказано выше, некоторые разновидности групп встречаются с завидным постоянством (собственно, именно поэтому они выделены и изучены).

xjar1 в сообщении #1317479 писал(а):

Т.е. нам не известно какая часть из всех групп открыта?

Что Вы подразумеваете под "какой-то частью" бесконечного множества? Как Вы определите на нём половину, четверть, 99%?

Если что, последний вопрос - наводящий и адресован строго к ТС.

[xjar1]

Anton_Peplov в сообщении #1317487 писал(а):

Что Вы подразумеваете под "какой-то частью" бесконечного множества? Как Вы определите на нём половину, четверть, 99%?

Меня самого смущал этот вопрос, но решил его оставить.
Могу ошибаться, но кажется вероятность того, что "ткнув" в случайную группу мы получим еще неоткрытую группу равна 1.
Но тут следующий вопрос: как правильно понимать "неизвестная", "неоткрытая" группа?

И еще, множество всех групп является множеством? Я здесь пока противоречий не вижу.

[Chanzaa]

Anton_Peplov в сообщении #1317487 писал(а):

Как Вы определите на нём половину, четверть, 99%?

Извините, но мне показалось, что ответ, к которому вы хотите подвести вашего собеседника, не вполне точен. Половину бесконечного множества иногда можно определить. Так, в некотором разумном смысле четные числа - это 50% от всех натуральных чисел. И вообще, если совокупность всех структур некоторого типа является множеством, пусть даже и бесконечным, - вопрос о том, какую часть этого множества составляют структуры некоторого конкретного вида, в принципе может быть поставлен. Разумеется, после надлежащего уточнения формулировок и, возможно, какого-то вспомогательного исследования. Например, доказано (Кантор-Бендиксон), что если мы случайно выберем точку в несчетном замкнутом подмножестве вещественных чисел, то эта точка всегда будет являться точкой конденсации, кроме не более чем счетного числа каких-то других точек. Однако с группами ситуация осложнена тем, что совокупность всех групп настолько велика, что не образует множества в ZFC, поэтому напрямую изучать класс групп вероятностными методами всё же проблематично.

[Anton_Peplov]

xjar1 в сообщении #1317493 писал(а):

Меня самого смущал этот вопрос, но решил его оставить.
Могу ошибаться, но кажется вероятность того, что "ткнув" в случайную группу мы получим еще неоткрытую группу равна 1.

Ваша интуиция на верном пути. Чтобы обрести ясность, советую открыть любой подходящий учебник на страницах, посвящённых азам теории меры. Например, подойдёт соответствующая глава из Колмогорова, Фомина Элементы теории функций и функционального анализа. Предыдущие главы можно не читать, они в данном случае не нужны, кроме параграфа про кольца множеств.

Вкратце: мера есть обобщение таких понятий как "длина", "объём", "площадь". Мы ведь можем говорить о 99% процентах отрезка, хотя в нём бесконечное множество точек. Но понятие меры шире, чем объёма в $\mathbb R^n$, оно включает разные другие случаи.

Впрочем, никакого полезного способа установить меру на множестве всех групп (даже если такое множество, по аксиомам некоторой теории множеств, есть) наверняка не существует.

xjar1 в сообщении #1317493 писал(а):

Но тут следующий вопрос: как правильно понимать "неизвестная", "неоткрытая" группа?

Можно понимать по-разному в зависимости от цели. Например, группа известна, если ей дали собственное название; или если верно предыдущее либо она является простой конечной, которые, как известно, классифицированны; или ещё как-нибудь. Всё равно при сколько-нибудь осмысленном = полезном = помогающем решать математические задачи понимании известности и открытости известные и открытые группы будут островком в безбрежном океане неизвестных и неоткрытых.

xjar1 в сообщении #1317493 писал(а):

И еще, множество всех групп является множеством?

Вряд ли. Думаю, при желании тут можно сформулировать свой аналог известных парадоксов.

Если хотите, можете обратить внимание на категорию всех групп. Категория в общем случае множеством в ZFC не является. Но обычно её можно понимать как класс в NBG.

Впрочем, вопросами о парадоксах теории множеств можно не задаваться, здесь соль не в них. И без них разнообразие таково, что ни в какую систему не поместится.

Вот, скажем, возьмём множество всех групп вида $(G, \otimes)$, где $G$ пробегает булеан $\mathbb R$ в ZFC, а $\otimes$ все бинарные операции на каждом конкретном $G$, удовлетворяющие аксиомам группы. Это уж точно множество. Ну и что, как все такие группы классифицировать в каком-нибудь разумном смысле?

-- 06.06.2018, 00:20 --

Chanzaa в сообщении #1317498 писал(а):

Извините, но мне показалось, что ответ, к которому вы хотите подвести вашего собеседника, не вполне точен.

Извините, но мне показалось, что Вам неправильно показалось, к какому именно ответу я хочу подвести собеседника.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1317487 писал(а):

Смысл выделения некоторого класса объектов (группы, сигма-алгебры, непрерывные функции) не в том, чтобы перебрать и изучить их все их разновидности. А в том, чтобы, убедившись, что структура является, скажем, группой $\rm{SO}(3)$, даром получить для неё все свойства, которые мы знаем у этой группы. А, как уже сказано выше, некоторые разновидности групп встречаются с завидным постоянством (собственно, именно поэтому они выделены и изучены).

На самом деле, не совсем. Например, те же самые конечные группы изучены достаточно хорошо именно в смысле "перебора всех разновидностей". Есть понятие простых групп, конечные простые - все описаны (это великий результат 20 века), и вообще про любые конечные группы известно, что они строятся из простых некими известными элементарными шагами. Это тоже ценный результат. Таким образом, можно получать свойства не только знакомых групп, но и каких-то новых, с которыми можно эффективно разобраться досконально.